RV減速器角度誤差調(diào)整及公差分配方法

中圖分類號(hào)：TH161 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.011

0 引言

旋轉(zhuǎn)矢量（RotaryVector，RV）減速器是一種精密傳動(dòng)裝置，是工業(yè)機(jī)器人的核心零件，其傳動(dòng)精度和平穩(wěn)性直接影響整個(gè)系統(tǒng)的性能。在RV減速器的生產(chǎn)和裝配階段，不可避免地會(huì)出現(xiàn)制造和裝配上的誤差。這些誤差會(huì)影響其傳動(dòng)精度和運(yùn)行穩(wěn)定性，同時(shí)也會(huì)影響減速器的使用壽命，而僅提高加工質(zhì)量又會(huì)使成本劇增。因此，研究RV減速器裝配過程中的角度誤差調(diào)整方法和公差分配方法，對精密減速器的制造裝配與降低成本有著重要的參考意義。

眾多學(xué)者對公差分配和RV減速器傳動(dòng)精度進(jìn)行了廣泛研究。在公差分配方面，謝雄偉等-2提出了基于3DCSVariationAnalyst軟件的RV減速器三維公差分析模型；吳翰林等采用基于三角模糊數(shù)的層次分析法來計(jì)算各個(gè)誤差因子的權(quán)重，初步為行星滾柱絲杠（PlanetaryRollerScrewMechanism，PRSM）行程精度的誤差項(xiàng)進(jìn)行公差分配，并利用序列二次規(guī)劃算法優(yōu)化了軸向間隙的誤差項(xiàng)公差；郭俊康等[4172-180通過狀態(tài)空間模型，提出了基于誤差狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的精密機(jī)床裝配調(diào)整工藝決策方法；劉奕穎等5-采用種群多樣性參數(shù)，為機(jī)床公差分配構(gòu)建了一種自適應(yīng)性遺傳算法；馬寧等通過幾何公差自上向下分配的定性分析與定量計(jì)算，提出了一種基于配合約束的幾何公差分配方法。在RV減速器傳動(dòng)精度方面，竹振旭等創(chuàng)新性地提出了一項(xiàng)涵蓋所有部件制造裝配誤差、齒輪強(qiáng)度及軸承強(qiáng)度等相關(guān)因素的非線性力學(xué)公式，全方位地進(jìn)行了系統(tǒng)的不確定性及非線性特性的靈敏度分析，得出了影響傳動(dòng)精度的關(guān)鍵因素；劉江等構(gòu)建了傳動(dòng)精度動(dòng)態(tài)可靠性優(yōu)化模型，并使用多目標(biāo)遺傳算法來求最優(yōu)解；魏征等[提出了基于Newmark- β 法的RV減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差分析方法；周建星等根據(jù)Archard公式，揭示了RV減速器的齒廓磨損特性；喬雪濤等[12]研究了兩級(jí)修形對機(jī)器人精密減速器傳動(dòng)精度的影響；麻東升等[3采用剛?cè)狁詈夏Ｐ驮O(shè)計(jì)了多組不同誤差的仿真樣機(jī)，并通過仿真分析了不同誤差因素對整機(jī)傳動(dòng)精度的影響。這些研究介紹了各種公差分配方法和RV減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的成因，擴(kuò)展了對其影響因素的認(rèn)知。然而，如何在裝配過程中對RV減速器各關(guān)鍵零件的角度誤差進(jìn)行調(diào)整以及公差分配未見展開分析。因此，本文利用狀態(tài)空間模型[14對RV減速器實(shí)際裝配過程進(jìn)行描述，根據(jù)最優(yōu)控制方法獲取RV減速器裝配過程中的最優(yōu)調(diào)整量，進(jìn)而獲得RV減速器精度指標(biāo)與組成零件誤差之間的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對RV減速器角度公差的最優(yōu)分配；最后，使用該技術(shù)方案，對BX40E型精密RV減速器進(jìn)行關(guān)鍵零件角度公差的分配。

1RV減速器角度誤差狀態(tài)空間模型

1.1RV減速器系統(tǒng)模型

對于RV減速器，動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差是衡量傳動(dòng)精度的指標(biāo)，也是評(píng)價(jià)角度誤差調(diào)整方法和公差分配方法是否有效的指標(biāo)。動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差越小，傳動(dòng)精度越高，減速器運(yùn)動(dòng)越平穩(wěn)。動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差表達(dá)式為

式中， θ_e（t） 為動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差； θ_i（t） 為理論輸入轉(zhuǎn)角；i_z 為總傳動(dòng)比； θ_o（t） 為輸出軸實(shí)際輸出轉(zhuǎn)角。

以BX40E型RV減速器為研究對象，詳細(xì)參數(shù)如表1所示。基于表1參數(shù)構(gòu)建的RV減速器的系統(tǒng)模型如圖1所示。該模型包括3部分：漸開線行星齒輪的高速級(jí)減速機(jī)構(gòu)I、擺線針輪的低速級(jí)減速機(jī)構(gòu)Ⅱ以及輸出部件Ⅲ。

1.2基于關(guān)鍵幾何特征的RV減速器誤差傳遞鏈

RV減速器結(jié)構(gòu)中，低速級(jí)傳動(dòng)部分與高速級(jí)傳動(dòng)部分都是以針齒殼中心軸線為基準(zhǔn)進(jìn)行安裝的。RV減速器角度公差分配通常是針對各零件中心軸線進(jìn)行的。所以，定義各零件中心軸線為RV減速器誤差傳遞過程中的關(guān)鍵幾何特征（KeyCharacters，KC）。

根據(jù)工程制造經(jīng)驗(yàn)，曲柄軸、擺線輪和針齒殼的裝配精度是影響RV減速器傳動(dòng)精度性能的關(guān)鍵。因此，本文考慮上述關(guān)鍵零件中心軸線在空間中的相對角度關(guān)系。在該RV減速器結(jié)構(gòu)中，將考慮曲柄軸偏心圓圓心所在軸線（ KC₁ ， KC₃ 、擺線輪轉(zhuǎn)臂軸承孔所在軸線（ KC₂ ， KC₄ 以及針齒殼圓心所在軸線（ ?KC₀） 作為關(guān)鍵幾何特征。

在描述RV減速器組裝及誤差調(diào)整過程中的角度誤差時(shí)，采用基于關(guān)鍵幾何特征的基準(zhǔn)傳遞鏈（DatumFlowChain，DFC）方法。在RV減速器的裝配步驟中，針齒殼的安裝往往是最先進(jìn)行的。因此，針齒殼軸線被視為RV減速器的基準(zhǔn)特征?；谶@一基準(zhǔn)特征，形成了包括DFC，和DFC在內(nèi)的兩個(gè)傳遞鏈，如圖2所示。

1.3RV減速器裝配過程誤差傳遞狀態(tài)空間模型

在基準(zhǔn)傳遞鏈中，通過微分運(yùn)動(dòng)向量來描述第 n 個(gè)零件在其變化坐標(biāo)系中相對于鏈條首個(gè)零件參考坐標(biāo)系的總體方向偏差。這一過程可通過微分旋轉(zhuǎn)矢量來進(jìn)行描述，即

dθ_n=δ_n=[δ_n^xδ_n^yδ_n^z]^T

式中， δ_n 表示第 n 個(gè)零件相對于基準(zhǔn)傳遞鏈的總體方向偏差； 表示第 n 個(gè)零件相對于基準(zhǔn)傳遞鏈中坐標(biāo)軸的方向偏差。

角度誤差是由第 n 個(gè)零件的加工和裝配誤差引入的，可被表示為

Δθ_n=[Δθ_xnΔθ_ynΔθ_zn]^T

式中， Δθ_n 表示第 n 個(gè)零件相對于基準(zhǔn)坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的總體角度誤差； Δθ_?mn（m=x） ， 表示第 n 個(gè)零件相對于基準(zhǔn)坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的角度誤差。

δ_n 與 Δθ_n 有如下關(guān)系：

在裝配過程中，第 k 步是用狀態(tài)變量 x（k） 來表示在所有基準(zhǔn)傳遞鏈中關(guān)鍵幾何屬性的微分旋轉(zhuǎn)向量，有

式中， A（k） 為單位矩陣（在不同結(jié)構(gòu)時(shí)可能不是單位矩陣）； B（k） 為轉(zhuǎn)換矩陣，當(dāng) u（k） 與 w（k） 在零件坐標(biāo)系中定義一致時(shí)， B（k） 與 F（k） 相同； u（k） 為調(diào)整矢量，用于表示在RV減速器裝配過程中，對裝配體的關(guān)鍵幾何特征進(jìn)行角度調(diào)整，該概念與角度的變化 w（k） 類似，表示在零件坐標(biāo)系下，關(guān)鍵幾何特征相對于參考幾何特征的角度變化； F（k） 為轉(zhuǎn)換矩陣，其功能是將在裝配階段 k 中新增的零件誤差，從零件自身坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到基準(zhǔn)傳遞鏈的參考坐標(biāo)系中。

其中， w，o 均為一種子矩陣表示方法，可參考文獻(xiàn)[4]172-180

w（k） 為在裝配過程的第 k 步中，新裝配的零件帶來的幾何誤差，該誤差是依據(jù)零件本身坐標(biāo)系來計(jì)算的。針對本文中RV減速器裝配，有w（k）=Δθ_k ； C（k） 為由元素1、-1或0組成的觀測矩陣，其列數(shù)等同于狀態(tài)變量（即關(guān)鍵幾何特征的數(shù)量），用于定義在組裝的第 k 步中測量的關(guān)鍵幾何特征的相對位置； u（k） 為測量噪聲矩陣。在RV減速器的組裝過程中，通常需要關(guān)注兩個(gè)主要的幾何特性：零件中心軸線的平行度和垂直度。

2RV減速器關(guān)鍵零件公差分配方法

2.1RV減速器裝配精度成本函數(shù)

RV減速器裝配的目的之一是要在滿足最終傳動(dòng)精度要求條件下，付出盡可能少的經(jīng)濟(jì)代價(jià)。結(jié)合裝配過程中的測量、調(diào)整等，可以采用裝配精度成本函數(shù)來表達(dá)[15]，即

（5）

式中， 為在完成最終裝配步驟 N 之后測量的減速器的幾何誤差； Q（N） 為權(quán)重系數(shù)矩陣，可衡量裝配完成后各項(xiàng)測量結(jié)果誤差對整機(jī)精度“質(zhì)量損失”的影響程度，測量結(jié)果對應(yīng)的 Q（N） 矩陣中系數(shù)越大，說明該測量結(jié)果幾何精度對整機(jī)精度影響越大，設(shè)計(jì)中對該項(xiàng)幾何精度指標(biāo)的關(guān)注程度應(yīng)越大； 為第 k 步調(diào)整量； R（k） 為權(quán)重系數(shù)，體現(xiàn)了在裝配過程中每一步調(diào)整關(guān)鍵幾何特性所需的工時(shí)成本。 R（k） 的元素系數(shù)較高，意味著在第 k 步裝配過程中調(diào)整該關(guān)鍵幾何特性較為困難，因此，需要更多的工時(shí)成本。二次型性能指標(biāo) J 將兩個(gè)因素綜合考量，利用權(quán)重系數(shù) Q（N） 和 R（k） 設(shè)定了一個(gè)全面的優(yōu)化目標(biāo)。

2.2RV減速器裝配最優(yōu)調(diào)整序列

由式（5）可知，可以將裝配過程中求最優(yōu)調(diào)整序列問題轉(zhuǎn)化為離散隨機(jī)線性系統(tǒng)最優(yōu)輸出問題?？梢酝ㄟ^以下方法得到裝配過程中第 k 步最佳調(diào)整量，即最優(yōu)的裝配調(diào)整序列為

u^*（k）=-K（k）x（k）

B^T（k）P（k+1）A（k）

P（k）=Q（k）+A^T（k）P（k+1）?

[I+B（k）R^-1（k）B^T（k）P（k+1）]^-1A（k）

式中， K（k） 為卡爾曼增益，這是在當(dāng)前的裝配步驟中對誤差狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)調(diào)整的系數(shù)，它確保了 P（N） 與 Q（N） 的等價(jià)性； I 為單位矩陣（不隨結(jié)構(gòu)改變而改變）。因此，在已知裝配序列、完成裝配所導(dǎo)致的質(zhì)量損失以及調(diào)節(jié)工藝工時(shí)成本的權(quán)重系數(shù) Q（k） 和R（k） 的情況下，可以計(jì)算出最小化離散二次型性能指標(biāo) J 的最優(yōu)控制序列 u^*（k） ，從而優(yōu)化裝配過程的調(diào)整工藝。

最后，梳理基于RV減速器零件幾何誤差測量結(jié)果的調(diào)整工藝決策的整個(gè)過程。先確定影響傳動(dòng)精度的各關(guān)鍵零件的關(guān)鍵幾何特征。根據(jù)RV減速器實(shí)際裝配過程，構(gòu)建裝配過程誤差傳遞鏈，利用微分運(yùn)動(dòng)矢量表示各幾何特征的實(shí)際空間位姿，通過狀態(tài)空間模型對RV減速器實(shí)際裝配和調(diào)整過程進(jìn)行表述，使用最優(yōu)控制方法考慮傳動(dòng)精度、測量不確定度、調(diào)整工時(shí)成本等因素，計(jì)算出RV減速器裝配過程中最優(yōu)調(diào)整量。這時(shí)，只需通過遞推預(yù)測來判斷最終的誤差狀態(tài)是否符合RV減速器的傳動(dòng)精度標(biāo)準(zhǔn)，最優(yōu)調(diào)整量（即最優(yōu)調(diào)整序列）依賴于權(quán)重系數(shù)Q（N） 和 R（k） 。因此，當(dāng)所需的精度超過現(xiàn)有水平時(shí)，可以通過增加 Q（N） 的權(quán)重實(shí)現(xiàn)調(diào)整，直到在第k 步中達(dá)到滿足傳動(dòng)精度要求的最優(yōu)調(diào)整量 u^*（k） 。圖3所示為RV減速器公差分配技術(shù)路線。

3 實(shí)例分析

本節(jié)以BX40E型減速器為例，說明利用狀態(tài)空間模型對RV減速器進(jìn)行誤差傳遞建模和公差分配的方法。將 KC₁ 、 KC₂ 、 KC₃ 、 KC₄ 選擇為關(guān)鍵特征，KC₀ 作為基本特征。該計(jì)算模型有4個(gè)關(guān)鍵特征，每個(gè)關(guān)鍵特征有3個(gè)角度誤差，可能會(huì)導(dǎo)致建模和公式推導(dǎo)的混淆。為了簡化，只研究圖4所示的二維平面上的角度誤差。

在建模階段使用 KC₀ 作為坐標(biāo)系統(tǒng)的基本參考平面，在裝配結(jié)束時(shí)，可以用式（9）來表示其他4個(gè)關(guān)鍵幾何特性的空間角度誤差，即

狀態(tài)空間方程為

RV減速器的裝配順序根據(jù)結(jié)構(gòu)不同而不同。本文中的BX40E型減速器裝配順序定義如下：

1）安裝 KC₁ ；2）安裝 KC₂ ；3）安裝 KC₃ ；4） 安裝 KC₄ ○

在裝配過程中，需要計(jì)算出最優(yōu)調(diào)整序列。該序列由裝配結(jié)束時(shí)的觀測矩陣、各調(diào)整步驟的矩陣及其各自的權(quán)重共同確定。在此過程中，調(diào)整矩陣T（k） 顯示了在當(dāng)前組裝階段可以調(diào)整的關(guān)鍵幾何屬性。 R（k） 是裝配過程中的調(diào)整權(quán)重矩陣。在此矩陣?yán)?，目前階段的每個(gè)元素反映了調(diào)節(jié)關(guān)鍵幾何屬性的單位角度所需的工作時(shí)間成本。如果零件還沒有被組裝好，可以把權(quán)重系數(shù)調(diào)整至較高的值（如1000），表示該特性暫時(shí)無法調(diào)整。表2所示為各步驟的測量特征以及相應(yīng)的 T（k） 和 R（k） 。

公差分配中，重點(diǎn)關(guān)注的是最終精度要求。因此，將裝配過程中的觀測矩陣賦為 24×24 的零矩陣。在本文中，幾何要求是 KC₁ 人 KC₂ 、 KC₃ 、 KC₄ 相對于KC₀ 的平行度。各零件裝配后的觀測矩陣為

將權(quán)重系數(shù) 的矩陣設(shè)置為對角矩陣，其各個(gè)對角線上的元素代表了不同誤差項(xiàng)的權(quán)重。為了簡化，設(shè)定這些對角線元素都是相同的，并且值為Q ，取 Q=10（Q 值越大，對精度要求越高），有

卡爾曼增益可由式（7）計(jì)算，有

隨機(jī)生成的一組零件初始角度誤差如表3所示。每個(gè)裝配步的調(diào)整值即可由 x（k） 、 T（k） 、 K（k） 確定。裝配過程中的角度誤差變化如圖5所示。

（a）不同精度權(quán)值下的 KC₁ ， KC₂ 角度誤差狀態(tài)

經(jīng)誤差調(diào)整后，RV減速器傳動(dòng)誤差、動(dòng)態(tài)嚙合力隨時(shí)間的變化如圖6所示（ 代表無誤差狀態(tài)）。將調(diào)整后的傳動(dòng)誤差、動(dòng)態(tài)嚙合力與未經(jīng)調(diào)整狀態(tài)進(jìn)行對比，由圖6可知，經(jīng)過調(diào)整后的傳動(dòng)誤差與無輸入誤差狀態(tài)更加接近。同時(shí)，隨著精度權(quán)值Q 的增加，傳動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)嚙合力進(jìn)一步接近，但接近速度逐漸減緩。圖7所示為傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值、最大總嚙合力及相對誤差。由圖7可知，隨著精度權(quán)值的增加，傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值和最大總嚙合力逐漸減小，提高了運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。

為了探究角度誤差對傳動(dòng)誤差的影響成因，以DFC2為例進(jìn)行誤差調(diào)整，得到最終狀態(tài)下 KC₄ 與 KC₀ 之間的角度誤差。設(shè)計(jì)了不同精度權(quán)值下不同角度誤差的光彈性試驗(yàn)，試驗(yàn)設(shè)備主要包括光彈性檢測設(shè)備、固定裝置、由聚碳酸酯制成的擺線針輪零件以及用于加載的砝碼、加載擺臂，目的是研究擺線針輪的接觸狀態(tài)。為了便于測量安裝，將 KC₄ 與 KC₀ 之間的角度誤差增加到原來的10倍，并在施加10N?m 的負(fù)載轉(zhuǎn)矩情況下，通過試驗(yàn)與仿真分析擺線輪和針齒間的應(yīng)力分布情況（圖8），同時(shí)也觀察參與嚙合的針齒在嚙合線方向上的最大變形（圖9）。各精度權(quán)值下的角度誤差如表4所示。

由圖8、圖9可知，隨著精度權(quán)值增加，試驗(yàn)和仿真的最大接觸應(yīng)力減小，且與最大總嚙合力變化趨勢一致，針齒變形量同時(shí)減小，精度權(quán)值從0＼～5的提升度明顯高于從5＼～10的提升度。因此，在實(shí)際生產(chǎn)中，應(yīng)根據(jù)需求選擇合適的精度權(quán)值。

綜上所述，不同精度權(quán)值對系統(tǒng)傳動(dòng)精度的影響是通過增加精度權(quán)值來減小針齒與擺線輪角度誤差的，增加針齒與齒根的嚙合面積，減小參與嚙合齒對數(shù)承載，從而減小齒面變形量，進(jìn)而減小傳動(dòng)誤差，提高傳動(dòng)平穩(wěn)性。

在此基礎(chǔ)上，假設(shè)床身的角度誤差為 ν₁ ；立柱的角度誤差為 ν₂ ；滑鞍的角度誤差為 ν_?3 ；主軸箱的角度誤差為 川漢以左月 u₄ 。則

將這些數(shù)據(jù)引入到式（8）進(jìn)行迭代。其中，式（8）中矩陣 A 為單位矩陣；矩陣 B 與矩陣 F 相同，均為式（9）中的系數(shù)矩陣。忽略高階項(xiàng)，得到該RV減速器相對于基準(zhǔn)的角度誤差與零件公差之間的函數(shù)映射關(guān)系為

成本與KC公差之間的關(guān)系可以用倒數(shù)或指數(shù)函數(shù)來表示。通過優(yōu)化算法（如模擬退火或遺傳算法）可以解決成本目標(biāo)問題。通過使用倒數(shù)函數(shù)和遺傳算法，建立了零件加工的總成本函數(shù)，其中， m=3 /n=4 ，表示BX40E型減速器的4個(gè)基本組件，每個(gè)組件包含3個(gè)角度公差，如表5所示。

4結(jié)論

以滿足RV減速器傳動(dòng)精度，降低裝配難度及成本為目標(biāo)，基于遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，給出了RV減速器角度誤差調(diào)整方法及公差分配方法，得出如下結(jié)論：

1）給出了一種針對RV減速器角度公差分配的新方法。該方法充分考慮了傳動(dòng)精度的需求、調(diào)節(jié)工序的時(shí)間成本和測量不確定性等多個(gè)因素。通過BX40E型減速器裝配實(shí)例分析，驗(yàn)證了所提方法的可行性和有效性。

2）精度權(quán)值越大，傳動(dòng)誤差及傳動(dòng)平穩(wěn)性與無誤差狀態(tài)越接近，但接近速度越來越緩慢。因此，需根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的精度權(quán)值。

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Adjustment of angle error and tolerance allocation methods for RV reducers

ZHANG Bowen ZHOU Jianxing CUIQuanwei LIN Kaihong ZHOU Yadong XU Wenqiang （School ofMechanical Engineering，Xinjiang University， Urumqi 83oo47，China）

Abstract： [Objective] Aiming at the problems that angular errors in key load-bearing components such as crankshafts， cycloidalgears，and pingearshellsduring processingand manufacturing leadtothereductionoftransmissionaccuracyand stabilityofrotaryvector（RV）reducers，anangularerroradjustment methodandatolerance alocation method forRVreducers basedonstate space models were proposed.[Methods]Firstly，taking theBX40Ereduceras theresearch object，theeror transmissionchainofthereducerwasconstructedtoilustratetheerrortransmissonpathoftheRVreducer.Secondlyatate space modelof theerrortransmission process was established.Combining withtheoptimal controltheoryandcomprehensively considering factorssuch as transmisionaccuracyadjustment man-hourcost，and measurement uncertainty，theoptimal adjustmentamountforeachassmblystepandthefinalerorstate weregiven.Finaly，withthe minimumtotalprocesingcost as the objective function，the angular tolerance alocation of keycomponents was completed byusing the genetic algorithm. [Results]Theresearchresultsprove the efectiveness ofthis method inimprovingthe transmissionaccuracyand stabilityofRV reducers，but diferentaccuracyweight valuesshouldbeselectedaccrding toactualaccuracyrequirements to minimizecosts.

Keywords：RV reducer; Tolerance allocation; State space model; Transmission accuracy