2-UPS/RRR并聯(lián)機構(gòu)位置逆解與可達工作空間分析

中圖分類號：TH112 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.004

0 引言

踝關(guān)節(jié)在人體行走時扮演著維持平衡的關(guān)鍵角色，它承擔著身體的主要質(zhì)量，是人體下肢中較為脆弱、容易受傷的關(guān)節(jié)之一。踝關(guān)節(jié)受傷后若沒有得到及時有效的治療，可能導(dǎo)致關(guān)節(jié)穩(wěn)定性下降、關(guān)節(jié)本體感覺減弱、持續(xù)的疼痛和不適等后果。這些癥狀會增加踝關(guān)節(jié)反復(fù)受傷的風險，并可能影響行走、跑步等日常活動。此外，卒中后神經(jīng)系統(tǒng)受到損害，可導(dǎo)致踝關(guān)節(jié)周圍的肌肉疲軟無力，使患者無法像正常人一樣行走。

為了避免踝關(guān)節(jié)損傷帶來的各種問題，患者需要及時進行大量重復(fù)的康復(fù)訓(xùn)練[4。經(jīng)過一定時間的訓(xùn)練，恢復(fù)踝關(guān)節(jié)的相關(guān)肌肉力量和平衡能力，進而使腳踝恢復(fù)正常的運動功能[5]。傳統(tǒng)的腳踝康復(fù)通常由醫(yī)生親自指導(dǎo)和訓(xùn)練患者，這一過程不僅耗時費力、過程復(fù)雜，而且成本高昂，增加了患者及其家庭的經(jīng)濟負擔，難以滿足患者對于腳踝康復(fù)的迫切需求[6-7]。隨著機器人技術(shù)在康復(fù)領(lǐng)域的研究和廣泛應(yīng)用，使用踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人[8-10來替代傳統(tǒng)的康復(fù)方法已成為一種發(fā)展趨勢。這些康復(fù)機器人不僅提高了康復(fù)效率，減輕了醫(yī)生的工作負擔，而且能夠通過規(guī)律且合適的康復(fù)運動幫助患者更快地康復(fù)[1-12]

經(jīng)過多年研究，國內(nèi)外已經(jīng)研制出多種踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人。PAYEDIMRRI等[13提出的基于Steward-Gough平臺設(shè)計的RutgersAnkle并聯(lián)機器人是較為典型的最早應(yīng)用于人體腳踝的康復(fù)機構(gòu)，可以根據(jù)患者的具體需求和康復(fù)進度調(diào)整訓(xùn)練程序，且可遠程控制、評估、指導(dǎo)患者的日常訓(xùn)練；但RutgersAnkle的設(shè)計、制造以及操作十分復(fù)雜，成本高昂且運動范圍有限，限制了該康復(fù)系統(tǒng)的普及。CHO等[4設(shè)計了一款串聯(lián)型踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，其腳踏板可實現(xiàn)空間的復(fù)合轉(zhuǎn)動；但是，該機構(gòu)只有2個自由度，只能實現(xiàn)腳踝的背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻康復(fù)訓(xùn)練。DAI等5提出了一款并聯(lián)式踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)，可以實現(xiàn)腳踝的復(fù)合運動；但是同樣只具有2個自由度，且運動時機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)中心不能和人體腳踝的運動中心相重合。樊曉琴等提出了一款名為（ 2-SPS+PU ）amp;R的混聯(lián)式踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)，不僅能實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)基本動作的康復(fù)運動，還能實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的牽引運動。黃鍵等提出了一款并聯(lián)3-URS踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，可以實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)3個自由度方向上的運動。王海芳等[18提出了一款名為3-SPS/S的3自由度并聯(lián)康復(fù)機構(gòu)，通過3個電動推桿實現(xiàn)機構(gòu)3個自由度的旋轉(zhuǎn)。但以上兩種康復(fù)機構(gòu)都無法實現(xiàn)運動時機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)中心和人體腳踝的運動中心相重合。李劍鋒等[19-21]也從不同角度設(shè)計了不同的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，并進行

了相關(guān)的理論分析。此外，市面上功能相對齊全、比較成熟的產(chǎn)品有上海某智能技術(shù)公司開發(fā)的AnkleMo-tus[22]。但這種康復(fù)器械體積龐大、價格昂貴，只適合在醫(yī)院或治療中心使用，不適合家庭使用；不適用于卒中患者的早期臥床不起階段。

結(jié)合前人的研究成果，基于并聯(lián)機構(gòu)具有的較低的慣性、較小的能量消耗、高精度、重復(fù)定位能力以及高載荷能力等優(yōu)點，本文設(shè)計了一款2-UPSRRR踝關(guān)節(jié)并聯(lián)康復(fù)機構(gòu)。該機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、易于操作、成本低廉，可以很好地滿足腳踝損傷患者的康復(fù)需求。

1基于踝關(guān)節(jié)運動特征的并聯(lián)康復(fù)機器人機構(gòu)設(shè)計

1. 1 踝關(guān)節(jié)的運動分析

為了方便理解，通常將踝關(guān)節(jié)的基本運動23描述為背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻、內(nèi)旋/外旋。背伸是指腳尖向上抬起的動作，使腳背靠近小腿。跖屈是指腳尖向下的動作，像踩油門或站立時腳尖觸地的動作。內(nèi)旋是指腳踝向體內(nèi)側(cè)旋轉(zhuǎn)的動作。外旋是指腳踝向體外側(cè)旋轉(zhuǎn)的動作。內(nèi)翻是指腳底向身體中線方向移動、使得腳的內(nèi)側(cè)抬起的動作。外翻是指腳底向身體中線外側(cè)移動、使得腳的外側(cè)抬起的動作。圖1為踝關(guān)節(jié)基本運動示意圖。

各種旋轉(zhuǎn)運動的范圍區(qū)間因人而異，但大致在一個范圍之內(nèi)。踝關(guān)節(jié)運動范圍如表1所示。

1. 2 機構(gòu)設(shè)計

踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)的三維模型如圖2所示，主要由3個電動推桿（P）、動平臺、編碼器、伺服電動機以及約束支鏈構(gòu)成。其中，兩個電動推桿通過虎克鉸（U）與靜平臺相連，通過球鉸（S）與動平臺相連。另一個電動推桿用來調(diào)節(jié)機構(gòu)的角度，可以使患者在康復(fù)過程中改變小腿的姿勢，增加舒適性。約束支鏈相當于一個RRR支鏈，保證3個轉(zhuǎn)軸相交于一點。采用電動推桿驅(qū)動3個移動副 P_1? P₂ 、 P₃ ；伺服電動機驅(qū)動轉(zhuǎn)動副 R₁ 。通過調(diào)節(jié)電動推桿 P₁^′ 、 P₂^′ 的伸縮，可實現(xiàn)動平臺的背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻動作；通過伺服電動機的旋轉(zhuǎn)，可實現(xiàn)動平臺的內(nèi)旋/外旋動作。在轉(zhuǎn)動副 R₂ 和 R₃ 的轉(zhuǎn)軸上配備有角度編碼器，以便根據(jù)每個編碼器的角度信息實時地掌握動平臺的姿態(tài)角參數(shù)。驅(qū)動支鏈分布在動平臺的兩側(cè)。

電動推桿電動機為步進電動機，運行時可以通過可編程控制器設(shè)置電動推桿以及伺服電動機合適的運轉(zhuǎn)速度以及行程。為避免電器元件出現(xiàn)故障而導(dǎo)致運動范圍超出患者腳踝的承受范圍，增加了機械限位，如圖3所示。根據(jù)患者腳踝的承受范圍，將螺栓固定在合適的位置，一旦裝置運轉(zhuǎn)超過程序設(shè)置的范圍，螺栓可阻擋裝置繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，從而保障患者的安全。

為了讓患者腳踝的運動中心與機構(gòu)的運動中心貼合，在動平臺上增加了高度調(diào)節(jié)裝置，如圖4所示。

設(shè)計的動平臺由上平臺和下平臺構(gòu)成。轉(zhuǎn)動調(diào)節(jié)旋鈕可改變上平臺的高度，使患者的腳踝旋轉(zhuǎn)中心與設(shè)備旋轉(zhuǎn)中心大致對齊。在康復(fù)階段，使用彈性帶將患足固定在動平臺上，確保轉(zhuǎn)動過程中患足相對于上平臺的位置保持穩(wěn)定，不發(fā)生滑動或偏移，有效避免不必要的傷害，提高了康復(fù)設(shè)備的兼容性和實用性。

2 理論分析

2.1 坐標系建立

圖5所示為2-UPS/RRR機械裝置的機構(gòu)簡圖以及坐標系。

圖5中，坐標系定義如下：軸交點 o 為兩個旋轉(zhuǎn)軸空間的位置，定坐標系 O-XYZ 以 o 點為原點，水平方向設(shè)為 X 軸，垂直方向設(shè)為 Z 軸，根據(jù)右手定則確定Y軸方向；動坐標系 m-xyz 的原點與固定坐標系的原點重合。圖5中，3個轉(zhuǎn)動副 R₁ 、 R₂ 、 R₃ 的軸線交會于一點，該點是機構(gòu)旋轉(zhuǎn)中心與腳踝旋轉(zhuǎn)中心的重合處。3個轉(zhuǎn)動副 R₂ 、 R₃ 、 R₁ 的旋轉(zhuǎn)角度分別表示為 α，β 和 γ 。位于靜平臺的兩個虎克副的旋轉(zhuǎn)軸中心點設(shè)為 A_i（i=1 ，2），位于動平臺的兩球副球心點設(shè)為 B_i（i=1 ，2）。

2.2 自由度計算

由于推桿 P₃^′ 只用來調(diào)節(jié)角度，對機構(gòu)自由度不產(chǎn)生影響，故只分析上半部分的自由度。選取其中一條支鏈，基于螺旋理論，分析并聯(lián)踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人的運動自由度。初始狀態(tài)下，虎克副的一個軸線橫向平行于 X 軸，另一個軸線縱向平行于Y軸?；诖藖順?gòu)建坐標系，圖6所示為UPS-1支鏈的螺旋系。

該螺旋系表達式為

式中， h₃ 為原點處力矩向量各分量的大小。

通過式（1）可以看出，6個螺旋線是線性無關(guān)的，可利用螺旋間的互易積等于0的規(guī)律來尋求支鏈的反螺旋，即

S₁₁^r=（0，0，0; 0，0，0）

根據(jù)式（2）可以推斷，這條運動支鏈UPS并未對動平臺引入新的運動約束。同樣，另一側(cè)的支鏈也并未對動平臺產(chǎn)生任何運動約束。依據(jù)Kutzbach-Grubler自由度計算公式，有

式中， F 為機構(gòu)自由度數(shù)； n 為桿件數(shù)； g 為鉸鏈數(shù)；f_i 為第 i 個鉸鏈的自由度。因此， F=6×（6-7-1）+（2× 2+2×1+2×3+1×3=3 。機構(gòu)自由度為3，可以實現(xiàn)腳踝3個方向的基本運動。

2.3 位置逆解

采用閉環(huán)矢量法求解圖5所示機構(gòu)的運動學(xué)逆解。選擇 Z-Y-X 型歐拉角來表述機構(gòu)動平臺姿態(tài)信息， B_i 點在靜平臺坐標系 O-XYZ 的坐標設(shè)為 B_i^o ， B_i 點在動坐標系 m-xyz 中的坐標設(shè)為 B_i^m ， A_i 點在靜平臺坐標系 O-XYZ 的坐標設(shè)為 A_i^o ，如式（4）所示。動平臺繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角度設(shè)為 γ ，繞Y軸旋轉(zhuǎn)的角度設(shè)為 β ，繞 X 軸旋轉(zhuǎn)的角度設(shè)為 α 。據(jù)此，可以計算得出所有點的坐標。

動平臺繞 oz 、OY、 OX 的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為

R_m^o 為坐標系 m-xyz 到坐標系 O-XYZ 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。由式（5）＼～式（7）可得

式中，s表示 sin 函數(shù)；c表示 cos 函數(shù)。

根據(jù)人體腳踝的一般尺寸以及運動范圍，設(shè)置動平臺長度為 275mm ，寬度為 130mm ，驅(qū)動支鏈1與驅(qū)動支鏈2的初始長度為 215mm 。在定坐標系 O- XYZ 中，借助SolidWorks軟件中的測量工具，可獲得靜平臺上點 A_i（i=1 ，2）的坐標，即

同理，測得驅(qū)動桿1、驅(qū)動桿2與坐標軸的夾角；結(jié)合兩桿的長度，即可得知 B_i 點的坐標，即

由 B_i^o=R_m^oB_i^m 可求得

由此，支鏈 i 長度 l_i（i=1 ，2）可表示為

明確了動平臺的旋轉(zhuǎn)角度，即 α 、 β 、 γ 的具體數(shù)值，就可以算出每個連桿的長度 l_i° 比較當前與初始狀態(tài)下連桿長度 L 的差值，就可以求出驅(qū)動桿長度的變化。

2.4位置逆解驗證

首先，將運動時間設(shè)為 2s ，步長設(shè)為 0.01s ，在Adams軟件中建立虛擬模型，將驅(qū)動副 P_1? P₂ 的位移量設(shè)為 l₁ 與 l₂ 。背伸/跖屈運動時，將式（14）設(shè)為動平臺質(zhì)心處的驅(qū)動方程，繪制 l₁ 與 l₂ 隨時間 Φ_t 的變化曲線。同樣，將式（15）設(shè)為動平臺進行內(nèi)翻/外翻時質(zhì)心處的驅(qū)動方程，式（16）設(shè)為內(nèi)旋/外旋時動平臺質(zhì)心處的驅(qū)動方程，分別繪制 l₁ 與 l₂ 隨時間 Φ_t 的變化曲線。最后，將動平臺質(zhì)心的驅(qū)動方程代入運動學(xué)逆解方程中，通過Matlab軟件分別繪制3種運動下 l₁ 與 l₂ 隨時間 Φ_t 的變化曲線。將Adams軟件與Mat-lab軟件求出的驅(qū)動副運動曲線數(shù)據(jù)進行對比，驗證位置逆解的正確性。

1）利用Adams軟件與Matlab軟件求出的驅(qū)動支鏈在進行背伸/跖屈運動時的曲線規(guī)律如圖7所示。

從圖7可以看出，此時Adams軟件與Matlab軟件計算出的1號驅(qū)動桿與2號驅(qū)動桿的曲線運動規(guī)律及數(shù)值一致，表明康復(fù)機構(gòu)在進行背伸/跖屈運動時的位置逆解正確。

2）利用Adams軟件與Matlab軟件求出的驅(qū)動支鏈在進行內(nèi)翻/外翻運動時的曲線規(guī)律如圖8所示。

從圖8可以看出，此時Adams軟件與Matlab軟件計算出的1號驅(qū)動桿與2號驅(qū)動桿的曲線運動規(guī)律及數(shù)值一致，表明康復(fù)機構(gòu)在進行內(nèi)翻/外翻運動時的位置逆解正確。

3）利用Adams軟件與Matlab軟件求出的驅(qū)動支鏈在進行內(nèi)旋/外旋運動時的曲線規(guī)律如圖9所示。

從圖9可以看出，此時Adams軟件與Matlab軟件計算出的1號驅(qū)動桿與2號驅(qū)動桿的曲線運動規(guī)律及數(shù)值一致，表明康復(fù)機構(gòu)在進行內(nèi)旋/外旋運動時的位置逆解正確。

2.5 位置正解

本文采用數(shù)值法來求解并聯(lián)機構(gòu)位置正解。根據(jù)式（13）可知，機構(gòu)驅(qū)動桿長 l_i 的非線性方程組表達式為

式中， A₁ 、 A₂ 均為連接驅(qū)動支鏈到靜平臺上的點的坐標向量； B₁ 、 B₂ 均為連接驅(qū)動支鏈到動平臺上的點的坐標向量； P 為動平臺質(zhì)心在靜坐標系 O-XYZ 中的位置向量。

取 X=[α β γ』，化簡后得到

f_i（X）=l_i²-（B_i^o-A_i^o）^T（B_i^o-A_i^o）=0

將方程組的理論解設(shè)為 ，則 為該方程組的初始 值； δ 為方程組的誤差矢量， δ=[δ_?1 δ_?2 δ₃ J?？傻?/p>

當 f_i（X_k+δ）=f_i（X^*）=0 時，可得一線性方程組：

將其展開為

簡記為

[J][δ]=[-f]

式中， [J] 為Jacobian矩陣。

接下來，根據(jù)Newton-Raphson迭代法尋求正解。將式（18）＼～式（20）聯(lián)立，可得到并聯(lián)機構(gòu)關(guān)于動平臺末端位姿 α 、 β 、 γ 和桿長 l_i 的約束方程組，即

當桿長 l_i 的數(shù)值確定時，根據(jù)以上方程組即可求得動平臺的位姿參數(shù) α 、 β 、 γ 的值。

3 工作空間分析

工作空間分析是機械設(shè)計和應(yīng)用中的一個關(guān)鍵步驟。通過分析工作空間可以確定機構(gòu)是否能夠覆蓋所需的工作范圍，同時可以更好地設(shè)計和優(yōu)化機構(gòu)結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)特定應(yīng)用的需求?；诘?.3節(jié)求出的位置逆解，設(shè)置驅(qū)動支鏈的移動范圍為 ±200mm ，虎克鉸的轉(zhuǎn)動角度范圍為 ±30^° ，幾何數(shù)據(jù)如表2所示。借助Matlab軟件編寫求解程序，代入相關(guān)的數(shù)據(jù)，求得的機構(gòu)可達工作空間如圖10＼～圖13所示。

從圖10＼～圖13可以發(fā)現(xiàn)，工作空間整體區(qū)域沒有出現(xiàn)空洞，表明在此條件下康復(fù)機構(gòu)可以到達區(qū)域內(nèi)的所有位置。同時，將康復(fù)機構(gòu)的運動角度數(shù)據(jù)列于表3中。與表1中人體踝關(guān)節(jié)的運動范圍進行對比發(fā)現(xiàn)，設(shè)計的康復(fù)機構(gòu)的運動范圍可以滿足踝關(guān)節(jié)的運動范圍要求。

4結(jié)論

基于人體踝關(guān)節(jié)的基本運動與前人的研究成果，提出了一款2-UPS/RRR的康復(fù)并聯(lián)機構(gòu)。設(shè)計了限位結(jié)構(gòu)，保證機器不會給患者帶來二次傷害；使用螺旋理論以及Kutzbach-Grubler自由度計算公式計算了機構(gòu)自由度；建立了位置逆解方程及正解方程，并采用Adams與Matlab軟件對逆解方程進行了聯(lián)合驗證。對并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間分析表明，該康復(fù)機構(gòu)運動范圍可以滿足人體踝關(guān)節(jié)的康復(fù)需求，且結(jié)構(gòu)簡單、操作便捷、康復(fù)成本低廉，具有良好的應(yīng)用價值。

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2-UPS/RRR parallel mechanism position inverse solution and reachable workspaceanalysis

LI ChangWANG Youqiang ZHENGYi WANG FeiyangWANG Dengze （SchoolofMechanicalamp;Automotive Engineering，Qingdao UniversityofTechnology，Qingdao，China

Abstract：[Objective]A2-UPS/RRRparallelmechanismwascreatedfortherehabilitationoftheankle.[Methods]The mechanism’sthre-dimensionalmodelwascreatedusingSolidWorkssoftware，andamoveableplatformwithanadjustable centerofrotationwasdesignedinaccordancewithvariousanklerotationcentersofdiferentpatients;thedegreeoffreedomof themechanismwascalculatedandanalyzedusingthehelixtheory，andtheresultswereverifiedbyusingtheKutzbach-Grbler formula;theinversesolutionequationforthemechanism'spositionandthepolynomialequationwerederived;theresults were jointlysimulatedandverifiedusingMatlabandAdamssimulationsoftware；theworkspaceof theparalelmechanism was solvedusing the limit search method.Results]Theresults indicate thatthe mechanismcanmeet therehabilitation training requirementsofthehumananklejoint.Theresearchcanprovidereferencefor thesubsequentphysicalprototypemanufacturing.

KeyWords：Ankle rehabilitation;Parallel mechanism; Degree of freedom; Position inverse solution