聚焦綜合 追本溯源 提高能力

在高考不斷深化改革的大背景下，高考數(shù)學命題愈加重視數(shù)學學科內(nèi)部不同主題知識之間的相互交叉和綜合，在知識的結(jié)合點處命制試題已成為高考數(shù)學命題的一種重要趨勢.因此，通過精選一些知識聯(lián)系緊密、綜合性強的典型試題，在解題過程中積極探索和深人挖掘試題中蘊含的數(shù)學知識和方法，嘗試追溯試題的原始來源，理解問題的本質(zhì)與原始問題之間的關(guān)聯(lián)，以提升數(shù)學思維能力和發(fā)展核心素養(yǎng)為出發(fā)點，進行多角度深度訓練，可以達到高效復習的目的.本文以一道2025屆高三數(shù)學模擬試題為例，探討試題的解法，溯源試題的出處，然后對其進行變式探究.

1 試題展現(xiàn)

引例 （多選題）過點 P（-1，0） 向曲線 C_n：x²- 2nx+y²=0（n∈N^* 引斜率 k_n（k_n）gt;0） 的切線 ，切點為 P_n（x_n，y_n） ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A

B.數(shù)列 {y_n} 的通項為 C.當 ngt;3 時， D.

2 試題評析

這是一道綜合多個數(shù)學模塊知識的多選壓軸題，試題以直線與圓相切為背景，重點考查數(shù)列不等式的證明，涉及直線與圓相切、曲線的切線、點的坐標數(shù)列、數(shù)列不等式的證明等知識.試題解答思路清晰，切入點寬，方法多樣，具有較強的層次感和較高的區(qū)分度，是一道高水準的知識“跨界\"綜合試題.解題時按兩步走的策略：首先根據(jù)過點 P（-1，0） 的直線與曲線 C_n 相切這一條件求出切點 P_n 的坐標，這可以從“數(shù)”與“形”兩個角度來求解，從而對A和B兩個選項作出判斷；其次由于C和D兩個選項中不等式的證明是試題的核心部分，根據(jù)C和D兩個選項中不等式的結(jié)構(gòu)特點，運用放縮技巧以及累乘法進行轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造數(shù)列、用數(shù)學歸納法等途徑進行證明.

3解法探究

解法1設(shè) l_n：y=k_n（x+1） ，將其與 C_n：x²- 2nx+y²=0 聯(lián)立，得 x²-2nx+k_n²（x+1）²=0 ，展開整理得

（k_n²+1）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0.

由題意得

Δ=（2k_n²-2n）²-4（k_n²+1）k_n²=4n²-（8n+4）k_n²=0， （20號解得 2n+1.將k2

（k_n²+1）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0，

整理得

所以 （n+1）²x_n²-2（n+1）nx_n+n²=0 ，則 [（n+1） ：

x_n-n]²=0 ，解得 ：

由 k_ngt;0 ，可得 則

由于

故A正確.

由 可知B錯誤.

由于 （2n-1） -1）（2n+1）=（2n）²-1lt;4n² ，則 因此 故 ，于是

又 ，所以 ，故C 正確.

由于 設(shè) ，則

令 φ^'（t）=0 ，則cos 所以

當 時 φ^′（t）lt;0 ，則 φ（t） 在 上單調(diào)遞減，所以 φ（t）lt;φ（0） ，故

因此， 在 上恒成立.

又 所以 則 sin 即 故D正確.

綜上，選ACD.

點該解法先設(shè)出直線 的方程，再將之與曲線C_n 的方程聯(lián)立，利用 求得切點 P_n 的坐標，進而利用累加求和對選項A作出判斷.對于選項C，先對代數(shù)式進行放縮變換，得到不等關(guān)系式后，再證明數(shù)列不等式.對于選項D，先推出 \"，然后引入?yún)?shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷.

解法2由 x²-2nx+y²=0 ，得 （x-n）²+y²= n² ，由此可知 C_n 是以 C_n（n，0） 為圓心 ?ⁿ 為半徑的圓.連接 C_nP_n ，根據(jù)題意可得 C_nP_n⊥PP_n ，過點 P_n 作P_nQ_n 垂直 x 軸于點 Q_n ，在 RtΔC_nP_nP 中，由射影定理得 ∣C_nP_n∣²=∣C_nQ_n∣?∣C_nP∣ ，即 n²=（n+1） ：∣C_nQ_n∣ ，因此 n+1，故

由射影定理得 ，所以

由題意知 _yngt;0 ，則

同解法1可判斷A正確，B錯誤.

由于

則

由基本不等式可得

則 a_n+1n ，因此數(shù)列 {a_n} 單調(diào)遞減.

又 ，所以 a_n?a₄lt;1 ，當 ngt;3 時，有 成立，故C正確.由于 故

，則 ω（t）= 所以

若 則 ，所以 tlt; ，則tcos ，從而 ω^′（t）lt;0 ，故ω（t） 在 上單調(diào)遞減.

則 sin 即 ，故D正確.

綜上，選ACD.

該解法根據(jù)直線 與曲線 C_n 相切，運用直線與圓相切的幾何性質(zhì)以及直角三角形中的射影定理求出點 P_n 的坐標，同解法1對選項A和B作出判斷，然后通過構(gòu)造單調(diào)數(shù)列并運用基本不等式證明選項C中的數(shù)列不等式，最后通過構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明選項D中的數(shù)列不等式.

解法3選項ABD的求解同解法1或解法2，下面分析選項C.設(shè)

由糖水不等式：當 agt;bgt;0，mgt;0 時，有 可得 則 故 A

根據(jù)不等式的性質(zhì)可得 A²

則 所以C正確.

點選項C中數(shù)列不等式左邊每個因式的分子是奇數(shù)，分母是比分子大1的偶數(shù)，聯(lián)想構(gòu)造寸偶式，利用不等式的性質(zhì)進行證明.

解法4選項ABD 的求解同解法1或解法2，下面分析選項C.當 ngt;3 時， x等價于

當 n=4 時，式 ① 左邊 式 ① （2號右邊 由于 故式 ① 成立.

假設(shè)當 n=k（k∈N，kgt;3） 時，式 ① 成立，即

則當 n=k+1 時，有

所以當 n=k+1 時，式 ① 也成立.

綜上，C正確.

點解法4應(yīng)用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式，解題思路過程流暢、清晰，其中有兩點需要注意：根據(jù)當 n=k 時數(shù)列不等式成立，證明當 n=k+1 時數(shù)列不等式也成立，需進行歸納假設(shè)；當 n=k+1 時證明數(shù)列不等式，常用到配方、放縮等技巧.

4追本溯源

溯源題已知曲線 C_n：x²-2nx+y²=0（n=1 2，…） ，從點 P（-1，0） 向曲線 C_n 引斜率 k_n（k_ngt;0） 的切線 ，切點為 P_n（x_n，y_n）

（1）求數(shù)列 {x_n} 與 {y_n} 的通項公式；

（2）證明：

本題是2009年高考廣東卷數(shù)學理科第21題，由此可以看出，引例只是把高考題改編為一個多選壓軸題而已.把往年的高考真題賦予新的生機和活力，經(jīng)過形式上的包裝或改頭換面改編成新的試題，已成為現(xiàn)如今高考數(shù)學命題的一個重要趨勢.因此在復習備考的沖刺階段，即使在時間緊、任務(wù)重的情況下，也要多分析和研究高考真題，從中挖掘數(shù)學本質(zhì)，領(lǐng)悟高考命題的方向，進而提高應(yīng)試能力.

5 變式探究

變式1 （多選題）過點 P（-1，0） 向曲線 C_n ： n1（n∈N\"）引斜率k\"（k\"gt;O）的切線l， 切點為 P_n（x_n，y_n） ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.

B.數(shù)列 {y_n} 的通項為

C.當 ngt;3 時， D

簡解由題意可知切線 ，代 人點 P（-1，0） 可得 所以 n+1，故y2=

由題意可知ygt;0，則yn=n√2n+1. .下同引例的解法.因此，選ACD.

變式2 （多選題）過點 n+1，0）向曲線C： 引斜率 k_n（k_ngt;0） 的切線 ，切點為 P_n（x_n，y_n） ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

B.數(shù)列 {y_n} 的通項為

C.當 ngt;3 時， D

簡解 由題意可知切線 ，代入點 n+1，0）可得x= =n+1，所以

由題意知 _yngt;0 ，則 .下同引例的解法.因此，選ACD.

變式3 （多選題）已知曲線 y=xⁿ⁺¹（n∈N^* ）在點（1，1）處的切線與 x 軸的交點的橫坐標為 x_n ，P_n（x_n，y_n） 是直線 上的點，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A

B.數(shù)列 {y_n} 的通項為

C.當 ngt;3 時， D

簡解由題意可知點（1，1）為切點.由 y=xⁿ⁺¹ ，得 y^′=（n+1）xⁿ ，所以切線方程為

y-1=（n+1）（x-1）.

令y=0，得xn=n1' 代人 中

得 .下同引例的解法.因此，選ACD.

6 知識解讀

6.1 直曲相切

直曲相切是高考數(shù)學中的重要命題點，有關(guān)切線問題在高考命題中層出不窮，且常考常新.在中學數(shù)學階段，直曲相切包括兩大類問題：一是直線與函數(shù)圖像相切，本質(zhì)是導數(shù)幾何意義的應(yīng)用；二是直線與二次曲線相切，是一種重要的直線與二次曲線的位置關(guān)系.

1）直線與函數(shù)圖像相切

直線與函數(shù)圖像（曲線）的相切問題是高考命題的重點，如2022年新高考I卷第15題、2023年全國甲卷文科第8題、2024年全國甲卷理科第6題、2024年新高考I卷第13題等都對切線問題進行考查，主要考查導數(shù)幾何意義的應(yīng)用，

2）直線與二次曲線相切

當直線與二次曲線有且只有一個公共點時，稱它們相切.直線與二次曲線相切也是高考命題的核心考點，尤其是直線與圓相切是考查的重點.一般地，求解直線與二次曲線相切問題的基本方法是代數(shù)法，即將直線方程與曲線方程聯(lián)立，消去其中一個變量，使原問題轉(zhuǎn)化為另一個變量的二次方程有唯一實數(shù)解，即判別式為零，比如引例的解法1；對于直線與圓相切，運用幾何法更為簡捷、直觀，比如引例的解法2.

6.2數(shù)列不等式證明

數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，不僅涉及多方面知識的綜合應(yīng)用，而且對學生的邏輯思維和解題能力要求較高，因而一直以來是高考的熱門考點.在數(shù)列不等式的證明過程中常用到放縮技巧.放縮的基本思路是將通項適當放大或縮小，向有利于相消或有利于求和的方向轉(zhuǎn)化

1）裂項放縮

2）糖水不等式放縮

糖水不等式： （2

3）添項或舍項放縮

依據(jù)數(shù)列不等式中式子的特點，通過對數(shù)列不等式作添項或舍項放縮處理，以達到證明數(shù)列不等式的目的.

7小結(jié)

教育部考試中心在“2025年高考數(shù)學全國卷試題評析\"（以下簡稱“評析\"指出，高考數(shù)學命題強調(diào)知識間融會貫通，加強在同一主題下必修模塊與選擇性必修模塊以及在不同主題下模塊之間的相互聯(lián)系與綜合，在知識網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合點、交叉點處設(shè)計試題，以促進各不同分支知識向縱深拓展，增強知識分支間的橫向延伸.

本文探究的這道試題，一題多解縱深拓展，一題多變橫向延伸，正是對“評析”中這一精神的很好體現(xiàn).這充分說明，一道經(jīng)典的、經(jīng)得起推敲的試題，都不會是孤立地去考查某個單一的知識點，更多是把幾方面的知識綜合、交會到一起加以考查，考查學生在面對創(chuàng)新情境設(shè)計下的一些復雜問題時，能夠綜合運用知識和方法靈活處理問題的能力.教師在高三復習備考的過程中對此要引起高度重視.

解決一道數(shù)學試題，實質(zhì)就是揭示一種聯(lián)系，這種聯(lián)系包括與已被解決的問題的聯(lián)系、問題中的條件與待判斷、待證明的結(jié)論的聯(lián)系等，通過解題學會將一個知識點向其他知識點轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化條件、轉(zhuǎn)化結(jié)論，學會對各個不同的知識點進行挖掘、擴展，并嘗試不同的解題方法，可以引導學生更加深人地理解數(shù)學知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，加深對所學數(shù)學知識的理解和應(yīng)用.

（完）