盤(pán)點(diǎn)新概念背景下的各種距離問(wèn)題

本文系統(tǒng)介紹歐幾里得距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離等多種距離概念，詳細(xì)闡述它們的基本原理，并通過(guò)豐富的例題展示其在幾何、函數(shù)最值等領(lǐng)域的應(yīng)用.這些距離概念不僅拓展了數(shù)學(xué)研究的范疇，還具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，為解決各類(lèi)問(wèn)題提供了有利工具.

1引言

距離概念在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中不斷演變與拓展.從經(jīng)典的歐幾里得距離出發(fā)，隨著數(shù)學(xué)理論及實(shí)際應(yīng)用需求的增長(zhǎng)，涌現(xiàn)出一系列距離概念.這些距離概念在數(shù)學(xué)的不同分支，如泛函分析、計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、地理學(xué)等眾多學(xué)科中扮演著至關(guān)重要的角色.深入剖析這些距離概念，對(duì)于理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)、解決實(shí)際問(wèn)題以及推動(dòng)跨學(xué)科研究具有深遠(yuǎn)意義.

2各種距離概念及其應(yīng)用

2.1 歐幾里得距離

在二維平面中， A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 兩點(diǎn)間的歐幾里得距離 在 n 維空間中， X（x₁，x₂，…，x_n），Y（y₁，y₂，…，y_n） 兩點(diǎn)間的歐幾里得距離

它基于勾股定理，是傳統(tǒng)幾何中兩點(diǎn)間距離的量化.

例1 已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 x²+y²=4 ，求 的最小值.

由 x²+y²=4 ，可得

則原式等價(jià)于

其幾何意義為圓 x²+y²=4 上的點(diǎn) P（x，y） 到點(diǎn)

A（4，0） 與 B（0，1） 的距離之和.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得 ∣PA∣+∣PB∣?∣AB∣ .又 ，當(dāng)點(diǎn) P 為線段 AB 與圓 x²+y²=4 的交點(diǎn)時(shí)， 取得最小值

本題巧妙地將代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為歐幾里得距離形式，借助圓和兩點(diǎn)間距離的幾何性質(zhì)求解最值，充分體現(xiàn)了歐幾里得距離在處理最值問(wèn)題時(shí)直觀、有效的特點(diǎn).

2. 2 曼哈頓距離

在二維平面中， A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 兩點(diǎn)間的曼哈頓距離 d（A，B）=∣x₂-x₁∣+∣y₂-y₁∣ .在 n 維空間中， 兩點(diǎn)間的曼哈頓距離 .曼哈頓距離適用于網(wǎng)格狀空間，它反映了沿坐標(biāo)軸方向移動(dòng)時(shí)兩點(diǎn)間的路徑長(zhǎng)度.

例2已知點(diǎn) P（x，y） 在圓 （x-2）²+y²=1 上，點(diǎn) Q（m，n） 在直線 2x+y-5=0 上，定義兩點(diǎn)間的曼哈頓距離 d（P，Q）=∣x-m∣+∣y-n∣ ，求 d（P，Q） （204號(hào)的最小值.

由已知易得直線與圓相交，這意味著在圓上沂 存在點(diǎn) P（x，y） ，同時(shí)該點(diǎn)也在直線 2x+ 上（即直線與圓的交點(diǎn)）.

對(duì)于在直線 2x+y-5=0 上的點(diǎn) Q（m，n） ，當(dāng) Q 取直線與圓的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 重合，即 x=m 且y=n .當(dāng) x=m 且 y=n 時(shí)， d（P，Q）=∣m-m∣+ ∣n-n∣=0. 直線 2x+y-5=0 與圓 （x-2）²+y²=1 相交，存在點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 重合的情況，所以兩點(diǎn)間曼哈頓距離 d（P，Q） 的最小值為0.

該解析思路清晰，先判斷直線與圓相交得出 點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 重合的結(jié)論，再結(jié)合曼哈頓距離 的定義推導(dǎo)出最小值.

2.3 切比雪夫距離

在二維平面中， A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 兩點(diǎn)間的切比雪夫距離 d（A，B）=max{∣x₂-x₁∣，∣y₂-y₁∣} .在 n 維空間中， X（x₁，x₂，…，x_n），Y（y₁， y₂，…，y_n） 兩點(diǎn)間的切比雪夫距離 d（X，Y）= max_1?i?n{∣y_i-x_i∣} .切比雪夫距離著重考慮各維度差值中的最大值，用于衡量多維度數(shù)據(jù)差異.

例3已知 A（1，2），B（3，4），C（5，1） ，求點(diǎn) A 到線段 BC （包含端點(diǎn)）上的點(diǎn)的切比雪夫距離的最小值.

設(shè)線段 BC 上的點(diǎn)為 P（x，y） ，根據(jù)兩點(diǎn)間的切比雪夫距離公式可得

d（A，P）=max{∣x-1∣，∣y-2∣}.

先求出線段 BC 的方程，由兩點(diǎn)式可得 .即 3x+2y=17 ，所以 ，則

當(dāng) 時(shí)，兩邊平方得 （x-1）²? （13-3）2，解不等式得3≤≤11，則3≤≤5，此時(shí)d（A，P）=|x-1| ，在 x=3 處取得最小值2.

當(dāng) 時(shí)，同理可得 xlt;3 或 11，與 3?x?5 矛盾.

綜上，點(diǎn) A 到線段 BC （包含端點(diǎn)）上的點(diǎn)的切比雪夫距離的最小值為2.

本題將切比雪夫距離與線段上的點(diǎn)相結(jié)合，通過(guò)建立距離表達(dá)式并分類(lèi)討論求得最小

值.在解題的過(guò)程中需要綜合運(yùn)用切比雪夫距離、線段方程以及不等式等知識(shí).

2.4閔可夫斯基距離

在 n 維空間中， X（x₁，x₂，…，x_n），Y（y₁，y₂，…， y_n ）兩點(diǎn)間的閔可夫斯基距離

其中 當(dāng) p=1 時(shí)，其為曼哈頓距離；當(dāng) p=2 時(shí)，其為歐幾里得距離；當(dāng) 時(shí)，其為切比雪夫距離.閔可夫斯基距離是一種廣義的距離度量，通過(guò)參數(shù) Σ_P 的變化統(tǒng)一了多種常見(jiàn)距離形式.

例4閔可夫斯基距離是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的常見(jiàn)方法，設(shè)點(diǎn) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，閔可夫斯基距離 N^* ）.若點(diǎn) A，B 分別在 y=e^x 和 y=x-1 的圖像上，求 D_ρ（A，B） 的最小值.

設(shè) ，則

（ （20

設(shè) ， h（x）=x-e^x-1 h^′（x）=1-e^x .令 h^′（x）gt;0 ，得 xlt;0 ；令 h^′（x）lt;0 得 xgt;0 ，所以 h（x） 在 （-∞，0） 上單調(diào)遞增，在（O，+∞ ）上單調(diào)遞減， ，即 h（x）? -2 ，則

故 D_ρ（A，B） 的最小值為

本題通過(guò)閔可夫斯基距離構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來(lái)求解最值，充分展

示了閔可夫斯基距離作為一種廣義距離度量的靈活性和強(qiáng)大功能.

2.5 豪斯多夫距離

在歐氏空間中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)集 A={a₁ ， a2，… |a_n} 和 B={b₁，b₂，…，b_n} ，豪斯多夫距離包括單向豪斯多夫距離和雙向豪斯多夫距離.單向豪斯多夫距離

（204號(hào) ，表示點(diǎn)集 A 中的點(diǎn)到點(diǎn)集 B 中的點(diǎn)的最小距離的最大值；同理，有

雙向豪斯多夫距離

（20用于衡量?jī)蓚€(gè)點(diǎn)集間的距離，反映了點(diǎn)集間的最大不匹配程度.

例5在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對(duì)于給定的點(diǎn)集 M，N ，若 M 中的每個(gè)點(diǎn)在 N 中都存在點(diǎn)使得兩點(diǎn)間的距離最小，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為 d（M，N） .已知橢圓 c 0 （agt;bgt;0） 的離心率為 ，其短軸上的點(diǎn)的集合記為 M ，橢圓 C 上的點(diǎn)的集合記為 N ，且 d（M，N）=1

（1）求橢圓 C 的方程.

（2）已知直線 ξ_l 與橢圓 C 相切，且與圓 O：x²+ y²=16 交于 A，B 兩點(diǎn)，線段 AB 上的點(diǎn)的集合記為G ，圓 o 上的點(diǎn)的集合記為 H

（i）若點(diǎn) P 為圓 O 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求 d（G，H） ：

（ii）求 d（G，H）+d（H，G） 的值.

（求解過(guò)程略）.

（2）（i）依據(jù)幾何性質(zhì)，當(dāng) ΔPAB 面積最大時(shí)，∣AB∣ 確定，此時(shí)直線 l 與橢圓相切且盡可能靠近圓 O 的圓心.設(shè)切點(diǎn)為 Q ，連接 OQ ， OA ，因?yàn)橹本€ l 與橢圓相切，所以 OQ⊥l .利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)切點(diǎn) ，則切線 ξ_l 的斜率為 根據(jù)點(diǎn)斜式可寫(xiě)出切線 ξ_l 的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心 O 到直線 ξ_l 的距離，進(jìn)而得到 d（G，H）=2

（ii）根據(jù)（i）可求出 d（G，H）=4-d （其中 d 為圓心 O 到直線 ξ_l 的距離）.對(duì)于 d（H，G） ，即圓 O 上的點(diǎn)到線段 AB 的最小距離的最大值，當(dāng)圓 O 上的點(diǎn)向線段 AB 作垂線時(shí)， d（H，G）=4+d ，所以d（G，H）+d（H，G）=4-d+4+d=8.

這種解法巧妙地運(yùn)用了幾何性質(zhì)和橢圓的參數(shù)方程，將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，在一定程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，但對(duì)幾何直觀能力和參數(shù)方程的運(yùn)用技巧要求較高.

2.6 “t-距離”

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于 P₁（x₁，y₁），P₂（x₂ y₂ ）兩點(diǎn)，記

稱(chēng)其為點(diǎn) P₁ 與點(diǎn) P₂ 之間的“ t^- 距離”.該距離概念從獨(dú)特角度衡量?jī)牲c(diǎn)間的距離，為幾何圖形和空間關(guān)系研究提供新思路.

例6在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn) A₁（x₁ y₁ ）和 A^₂（x^₂，y^₂） 之間的“ t^. 距離”為

求點(diǎn) A₁（0，0） 與點(diǎn) A₂（2，3） 之間的“ t^- 距離”若點(diǎn)A（x，y） 和點(diǎn) A（1，1） 之間的“ t^- 距離”為 ，求點(diǎn) A 的軌跡圍成的封閉圖形的面積.

對(duì)于點(diǎn) A₁（0，0） 與點(diǎn) A₂（2，3） ，有

若 ，則

不妨設(shè) 解得 x=0 或2，此時(shí) ，即 0?y?2. 由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng) y=0 或2時(shí)， 0?x?2 ，所以點(diǎn) A 的軌跡是邊長(zhǎng)為2的正方形，其圍成的封閉圖形的面積為 2×2=4

點(diǎn)本題通過(guò)“ t^- 距離”的定義先求解出兩點(diǎn)間的： t^- 距離”，再根據(jù)給定的距離值確定點(diǎn)的軌，該過(guò)程充分體現(xiàn)了“ t^- 距離”概念的獨(dú)特性.

例7在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) P（3，4） ，若點(diǎn) Q（x，y） 與點(diǎn) P 的“ t^- 距離\"為 ，求點(diǎn) Q 的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng).

由“ t^- 距離”的定義可知

當(dāng) 時(shí)，解得 x=5 或1，此時(shí) ，即 2?y?6

時(shí)，解得 y=6 或2，此時(shí) ，即 1?x?5

因此，點(diǎn) Q 的軌跡是邊長(zhǎng)為4的正方形，其周長(zhǎng)為 4×4=16

本題通過(guò)給定“ t^- 距離”的值來(lái)確定點(diǎn)的軌跡，并進(jìn)一步求解軌跡圖形的周長(zhǎng)，考查了

學(xué)生對(duì)“ t^- 距離”概念的靈活應(yīng)用能力以及對(duì)幾何圖形性質(zhì)的掌握情況，有助于提升學(xué)生對(duì)距離概念與幾何圖形關(guān)系的綜合分析能力.

3小結(jié)

新概念背景下的各種距離具有獨(dú)特的定義和性質(zhì)，它們?cè)跀?shù)學(xué)理論研究及實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用.隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深人以及跨學(xué)科知識(shí)應(yīng)用的日益廣泛，距離概念將持續(xù)為解決復(fù)雜問(wèn)題提供新的思路和工具，其理論和應(yīng)用也有望得到進(jìn)一步的拓展和深化.

（完）