聚焦距離公式在最值問題中的應(yīng)用

求解最值問題必須講究策略，否則往往會(huì)事倍功半，甚至無功而返.尤其是遇到所求問題的代數(shù)式比較復(fù)雜時(shí)，不妨嘗試從數(shù)形結(jié)合的角度加以轉(zhuǎn)化，深挖代數(shù)式的幾何意義，這樣有利于運(yùn)用幾何圖形的直觀性求解.基于此，本文談?wù)劸嚯x公式在最值問題中的應(yīng)用，供學(xué)生參考.

1兩點(diǎn)間距離公式在最值問題中的應(yīng)用

已知 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，則 |AB|= .當(dāng)最值問題中出現(xiàn)代數(shù)式平方和的開方形式或平方和形式時(shí)，一般可將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離問題.

例1 已知 ，則 的最小值為

O 設(shè) A（2，1），B（x，0），C（0，y） ，則解析 表示點(diǎn) C 到點(diǎn) A 的距離， 表示點(diǎn) B 到點(diǎn) A 的距離， 表示點(diǎn) B 到點(diǎn) c 的距離，即 表示 ∣AC∣+∣AB∣+

∣BC∣ ，顯然當(dāng)點(diǎn) B 與點(diǎn) C 在 x 軸、 y 軸的非負(fù)半軸上時(shí)，原式的結(jié)果更??；當(dāng)點(diǎn) B 與點(diǎn) c 均不在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，如圖1所示.

考慮到求解最小值，所以 x?2，y?1. 設(shè) B，A

兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 B^′，A^′ ，所以

|AB|+|BC|+|AC|=|AC|+|B^′C|+|A^′B^′|?

當(dāng) ^B，C 中只有一個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，有|AC|+|BC|+|AB|gt;|AC|+|AC|= |AC|+|BC|+|AB|gt;|AB|+|AB|=

所以 ；當(dāng) B，C 都在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有

綜上， 的最小值為 ：

點(diǎn)求解形如式子 的最小值思路：1）先將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和問題；2）畫出圖示，必要時(shí)借助點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行分析；3）根據(jù)距離之和的最小值得到原式的最小值.

例2已知函數(shù) f（x）=|x²-2x-1| ，若 agt; b?1，f（a）=f（b） ，則對(duì)任意的實(shí)數(shù) ∣c∣ ， （a+c²）²+ （b-c²）² 的最小值為

作出 f （x）= ∣x²-2x-1∣ 的圖像，如圖3所示.由 f（a）= f（b） 且 agt;b?1 ，可得 a²- 2a-1=-b²+2b+1 ，即（a-1）²+（b-1）²=4 ，其中 ：

如圖4所示，圓 c ：（x-1）²+（y-1）²=4 ，易知點(diǎn) P（a，b） 在劣弧 AB 上，記 M（-c²，c²） ，則點(diǎn) M 在直線 Φ_y=-Φ_x 上，（a+c²）²+（b-c²）² 表示點(diǎn) P（a，b） 到點(diǎn) M 的距離的平方.由圖4可知 ∣PM∣² 的最小值為點(diǎn) B（3，1） 到原點(diǎn)的距離的平方，即 3²+1²=10

點(diǎn)求解本題的關(guān)鍵是利用代數(shù)式的幾何意義.（a+c²）²+（b-c²）² 的幾何意義是點(diǎn) Ψ（aΨ，bΨ） 與點(diǎn) （-c²，c²） 的距離的平方，這樣只要確定點(diǎn) （a，b） 所在曲線和點(diǎn) （-c²，c²） 所在直線，即可由幾何方法得出結(jié)論.

2點(diǎn)到直線的距離公式在最值問題中的應(yīng)用

點(diǎn) A（x₀，y₀） 到直線 l：ax+by+c=0（a，b 不同時(shí)為0）的距離 ，如果有關(guān)最值問題中出現(xiàn)形如 或 ∣ax₀+by₀+c∣ 的代數(shù)式，一般可將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題.

例3 已知對(duì)任意的 x∈[-1，1] ，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的最大值為

0 設(shè)直線 l：y=mx+4 ，半圓 解析 （ （y?0） ，則 表示半圓孤上的任意一點(diǎn) 到直線 ξ_l 的距離大于或等于1，即原點(diǎn) O 到直線 ξ_l 的距離 d 大于或等于2，即 ，解得 ，故實(shí)數(shù) ∣m 的最大值為 ：

評(píng) 解題的關(guān)鍵是將 轉(zhuǎn)化為半圓弧上的任意一點(diǎn) 到直線 ξ_l 的距離大于或等于1，即原點(diǎn) O 到直線 l 的距離 d 大于或等于2.

例4已知實(shí)數(shù)1，x2，y1，y2滿足x2+y2=1， ，則 ∣x₁+y₁-2∣+ 2|x₂+y₂-2| 的最大值為

記 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） .由題意可知點(diǎn) A 和點(diǎn) B 位于單位圓上.因?yàn)? 所

以cos 則 如

圖5所示， 分別表示點(diǎn) A

和點(diǎn) B 到直線 l：x+y-2=0 的距離 |AA₁|，|BB₁| 不妨設(shè) |AA₁|?|BB₁| ，則

|x₁+y₁-2|+2|x₂+y₂-2|=

分別取 AB?A₁B₁ 靠近 B，B₁ 的三等分點(diǎn)為 c ，C₁ ，連接 CC₁ ，過點(diǎn) B 作 AA₁ 的垂線，交 AA₁ ， CC₁ 于 M，N ，則

由勾股定理可得

又點(diǎn) O 到直線 ξ_l 的距離為 ，則 ，所以

從而

|x₁+y₁-2|+2|x₂+y₂-2|=

當(dāng)且僅當(dāng) CC₁ 過原點(diǎn) o 且點(diǎn) C 在第三象限時(shí)，等號(hào)成立，故 ∣x₁+y₁-2∣+2∣x₂+y₂-2∣ 的最大值為

點(diǎn)求解本題，先設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，由題意可得 ，再根據(jù) |x₁+y₁-2|+ 2|x₂+y₂-2| 的幾何意義求出目標(biāo)代數(shù)式的最大值.解題的關(guān)鍵是挖掘方程、代數(shù)式蘊(yùn)含的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系中的最值問題.

（完）