基本不等式求最值問題探究與拓展

基本不等式在高中數(shù)學學習中極為常見，常用于求解與最值相關(guān)的題目.它不僅是不等式理論的基礎(chǔ)，還在求解最值、證明不等式、處理優(yōu)化問題等方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用.本文重點探究如何運用基本不等式求解最值.

1運用基本不等式求代數(shù)式最值

例1 （多選題）已知 a，b∈（0，+∞） ，且 a+b= 1，那么下列不等式中一定成立的是（ ）.

A. C. D a 6

對于選項A，因為 a+b=1，a，b∈（0，+∞） 所以 ，則 當且僅當 時，等號成立，故A正確.

對于選項B，易知

當且僅當 時，等號成立，故B正確.

對于選項C，有

當且僅當 時，等號成立，故C正確.

對于選項D，有

當且僅當 時，等號成立，故D錯誤綜上，選ABC.

點本題考查基本不等式在求代數(shù)式最值問題中的綜合應(yīng)用，涉及利用“一正 （a，b∈（0 ，+∞） ，保證正數(shù)條件）、二定（借 a+b=1 構(gòu)造定值，如 中“和定”）、三相等（驗證等號成立條件，如 ”求解最值、判斷不等式，難度適中.解題時需注意精準變形代數(shù)式以適配基本不等式結(jié)構(gòu)，嚴格驗證等號成立的條件.

例2 已知 x 為正數(shù)， y 為非負實數(shù)，且 x+ 2y=2 ，則 的最小值為（ ）.

由 x 為正數(shù)， y 為非負實數(shù)，可得 xgt;0，y+ 1?1.

由 x+2y=2 ，可得 x+2（y+1）=4 ，則 當且僅當 即 時，等號成立，故 的最小值為 ，故選B.

先將式子變形，再通過“1”的代換將問題簡化.通過乘“1”代換“1”湊“1”等方法可以巧妙利用“1”來解決最值問題.這道題所給的式子并不滿足基本不等式的使用條件，此時利用“1”進行等價代換可以創(chuàng)造出使用基本不等式的條件，從而快速解題，提高解題效率.

例3若實數(shù)a，b滿足 ab-4a-b+1=0（agt;

1），則 （a+1）（b+2） 的最小值為因為 ab-4a-b+1=0 （ agt;1 ，所以 b= 所以

當且僅當 即 a=2 時，等號成立，故（a+1）（b+2） 的最小值為27.

消元法適用于求解變量過多且難以直接處理的問題，本題運用消元法將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，讓后續(xù)操作有了明確的變量對象.在消元后，運用配湊法巧妙地對代數(shù)式進行等價變形，構(gòu)造出適合利用基本不等式的形式，進而利用基本不等式這一工具求出最值.解題過程體現(xiàn)了解決多元代數(shù)式最值問題時常用的解題思路：先減少變量，再對表達式進行等價變形，進而借助不等式等工具求解.該過程將看似復雜的問題逐步拆解、轉(zhuǎn)化，最終得到答案，很好地體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學解題中的應(yīng)用，也讓學生體會到不同方法配合使用能有效攻克難題.

2 運用基本不等式求恒成立問題

例4若對于任意實數(shù) xgt;0，ygt;0 ，不等式 x+ （ x+y） 恒成立，則實數(shù) a 的最小值為.

O 由題意可得對于任意實數(shù) xgt;0，ygt;0，a? A解析 恒成立，則只需求 的最大

值即可.因為 xgt;0 ，所以

設(shè) ，則 設(shè) 1+t=

m ，則

當且僅當 ，即 時，等號成立，所以 Φ_a?Φ

（204號 即實數(shù) a 的最小值為 故選D.

求含參不等式恒成立問題，歸根結(jié)底還是求最值問題，先通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對

于任意實數(shù)xgt;0，ygt;0，a≥x+√xy 恒成立，即求

x+√xy（xgt;0，ygt;0）的最大值，進而通過換元法結(jié)合基本不等式求得答案.

3小結(jié)

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.\"希望學生能夠積極將所學的理論知識運用到實際解題中，在實踐中加深對所學知識的理解和掌握，同時也期待學生能夠在解題的過程中發(fā)現(xiàn)新的問題和規(guī)律，共同推動數(shù)學知識的傳承和創(chuàng)新.

（完）