初中數(shù)學(xué)中條件求值問(wèn)題的解法探討

條件求值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的一種常見(jiàn)題型，常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)中考題、競(jìng)賽題中.條件求值問(wèn)題一般可通過(guò)消元、降次、換元、賦值等手段實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙解決，下面通過(guò)舉例探討一下這種題型的解法.

1利用根與系數(shù)的關(guān)系

例1若 2a²+1=6a，2b²+1=6b ，且 a≠b ，則 a²+b² 的值為

解：因?yàn)?2a²+1=6a . 2b²+1=6b ，且 a≠b ，所以a，b 是方程 2x²+1=6x 的兩個(gè)根.

于是，有 所以

點(diǎn)評(píng)：抓住條件式的結(jié)構(gòu)特征，判斷 a，b 是一元二次方程 2x²+1=6x 的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出 a+b 與 ab 的值，再利用 a²+b² 與 a+b，ab 的關(guān)系求 a²+b² 的值.

2利用乘法公式

例2已知 （a+b）²=9，a²-b²=6 ，求 ab 的值.解：由 a²-b²=6 ，得 （a+b ） （a-b）=6 ，則（a+b）² （20 （a-b）²=36 又 （a+b）²=9 ，所以 （a-b）²=4 所以 （204號(hào)

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件式，可求出 （a-b）² 的值，根據(jù)完全平方公式，找出 ab 與 （a+b）²，（a-b）² 之間的關(guān)系，再利用它們的關(guān)系求 ab 的值.

3利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

例3若 ，則 x- s=_-

解：由 ，變形可得 2所以 解得

所以 x-y=4

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用配方法將條件式變形為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零的形式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出 x 與 的值，再進(jìn)一步求出 x-y 的值.

4利用消元法

例4若 x-y-2=0，2y²+y-4=0 ，則 y=?

解：由 x-y-2=0 ，得 x=y+2 由 2y²+y-4=0 得

點(diǎn)評(píng)：將條件式變形，用變量 表示變量 x ，消去求值式一y中的變量，將二元變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題，再通過(guò)化簡(jiǎn)求值.

5利用整體代換法

例5 已知 ，則 的值為

解：由 ，知 xy≠0 所以，原式 .

點(diǎn)評(píng)：先將求值式變形，再將分子、分母同除以 xy 出現(xiàn) ，最后將 整體用3來(lái)代換，進(jìn)而 化簡(jiǎn)求值.

6利用降次法

例6已知 x²-x-1=0 ，求 x³-2x²+2 021 的值.

解：由 x²-x-1=0 ，得 x²=x+1 ，所以

x³-2x²+2 021

點(diǎn)評(píng)：將條件式變形為 x²=x+1 ，通過(guò)將求值式中的 x² 用 _x+1 來(lái)代換，實(shí)現(xiàn)由高次多項(xiàng)式向低次多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)化，再化簡(jiǎn)求值.

7利用換元法

例7若 x 滿足 （70-x）（x-50）=30 ，求 （70-x）²+（x-50）² 的值.

解：設(shè) a=70-x，b=x-50 ，則 ab=30，a+b= 70-x+x-50=20

所以 a²+b²=（a+b）²-2ab=20²-2×30= 340，即 （70-x）²+（x-50）²=340

點(diǎn)評(píng)：將 70-x 與 50-x 都看作整體，進(jìn)行換元，能實(shí)現(xiàn)條件式、求值式的簡(jiǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn) （70-x） ·（x-50） 與 （70-x）²+（x-50）² 之間的關(guān)系，從而有利于解題.

8利用逆代法

例8 已知 abc=1 ，則 （20 的值為

解：由 abc=1 ，可得

點(diǎn)評(píng)：將求值式中的某些常數(shù)1用變量abc逆代后，能使分式的分子、分母出現(xiàn)公因式，從而能夠約分，實(shí)現(xiàn)分母的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一.

9利用設(shè)參數(shù)法

例9 已知 的值.

解：設(shè) =k，則{x+x=ky，于 是可得 2（x+y+z）=k（x+y+z）

當(dāng) x+y+z=0 時(shí)， x+y=-z，k=-1 ，此時(shí)

當(dāng) x+y+z≠0 時(shí)， k=2，x+y=2z ，此時(shí)

綜上， 的值為 ^-1 或

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于等比問(wèn)題，通常設(shè)比值為參數(shù)，建立分子與分母的關(guān)系式，通過(guò)適當(dāng)變形求出比值，再化簡(jiǎn)求值.

10利用賦值法

例10 已知 a+b+c=0 ，則

解：取 a=-2，b=c=1 ，則可得

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于恒等式，在選填題中可以通過(guò)給變量賦特殊值的方法求值.

當(dāng)兩個(gè)未知數(shù)滿足相同結(jié)構(gòu)的方程時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系能有效避免分別求解未知數(shù)的繁瑣過(guò)程；面對(duì)多元條件求值問(wèn)題，通過(guò)變量表示和消元，將多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題；整體代換法通過(guò)對(duì)求值式變形，使其出現(xiàn)與已知條件相關(guān)聯(lián)的整體結(jié)構(gòu)，再整體代入已知條件；降次法則適用于已知高次方程求低次或相關(guān)表達(dá)式值的問(wèn)題，通過(guò)將高次方程變形為低次方程的形式，降低求值式的次數(shù)；換元法通過(guò)引入新變量替換原式中的復(fù)雜部分或關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化問(wèn)題并便于觀察變量關(guān)系；逆代法在分式求值問(wèn)題中效果顯著，通過(guò)將常數(shù)或已知量用變量關(guān)系式逆向代入，改變分式結(jié)構(gòu)；設(shè)參數(shù)法常用于等比類或比例關(guān)系的條件求值題，通過(guò)設(shè)定比值為參數(shù)，建立變量間的等式關(guān)系，再通過(guò)代數(shù)變形和分類討論求解；對(duì)于恒等式求值問(wèn)題，賦值法簡(jiǎn)單直接，在選擇填空題中賦予變量特殊值，滿足條件后直接計(jì)算求值.

初中數(shù)學(xué)條件求值問(wèn)題解法多樣，各有優(yōu)勢(shì).解題時(shí)需仔細(xì)分析題目條件和所求式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選擇或組合使用多種方法.