換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過程中，方法的選擇和運(yùn)用至關(guān)重要.隨著數(shù)學(xué)教育的不斷發(fā)展和深化改革，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解題能力的培養(yǎng)越發(fā)受到重視.在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在解決各類數(shù)學(xué)問題時(shí)常常面臨困難，需要更有效的解題方法來提高解題效率和準(zhǔn)確性[1].換元法作為一種有效的解題策略，具有重要的研究價(jià)值.換元法能夠簡化問題、轉(zhuǎn)化思路，其應(yīng)用場景廣泛，但在教學(xué)和實(shí)踐中仍存在一些問題和挑戰(zhàn)，如學(xué)生對換元法的理解和運(yùn)用不夠熟練，教學(xué)方法的針對性和有效性有待提升等.因此，對換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1從一道高考改編題的多種解法講起

本文從一道高考改編題出發(fā)，探究二元變量最值問題的多種解法，重點(diǎn)研究換元法的實(shí)施策略.

題目 （2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第12題改編）若實(shí)數(shù) ^x，y 滿足 x²+y²-xy=1 ，求 x+y 的取值范圍.

解法1（目標(biāo)換元）：設(shè) x+y=t ，代入已知得3x²-3tx+t²-1=0 ，由判別式 Δ_x=9t²-12（t²-1） （204號?0 ，解得 - 2?t?2 ，則 x+y∈[-2，2] ·

法2（均值換元）：設(shè) ，則 -xy= 由 x²+y²?2|xy| 解得 則 ，則 x+ y∈[-2，2]

法3（比值換元）：設(shè) ，代人已知求得 x²= 當(dāng) t≠0 時(shí)， （2

4]；當(dāng) ?_t=?₀ 時(shí) ?_x+y=?_±1 ；當(dāng) x=0 時(shí) ，x+y=±1. 綜上， （x+y）²∈[0，4] ，則 x+y∈[-2，2] ：

法4（和差換元）：設(shè) x=a+b，y=a-b ，代入已知得 a²+3b²=1 ，由橢圓性質(zhì)可知 - 1?a?1 ，則x+y=2a∈[-2，2]

法5（乘積換元）：設(shè) xy=t ，則 x²+y²=1+t ，由x²+y²?2|xy| 解得 ，所以 （x+y）²= x²+y²+2xy=3t+1∈[0，4] ，則 x+y∈[-2，2]

法6（對偶換元）：設(shè) x²+y²+xy=t ，則 x²+y²= 由 x²+y²?2|xy| 解得 ，所以 ，則 x+y∈[-2，2]

法7（三角換元）：由已知得 μ=1σ ， θ∈[0，2π） ，所以

法8（極坐標(biāo)換元）：設(shè)

0，θ∈[0，2π） ），代入已知得 ，所

以

，所以 x+y∈[-2，2] 法9（重要不等式）：由已知得 （x+y）²-1=3xy

2，解得 x+y∈[-2，2] 法10（齊次化）：因?yàn)椋?y）2=（x+y）2 x2+y2-xy

同解法3可得 x+y ：

法11（權(quán)方和不等式）：由權(quán)方和不等式得 1= ，所以 x+y∈[-2，2]

法12（柯西不等式）：由柯西不等式得 ，解得 x+y ，當(dāng)且僅當(dāng) x=y=1 時(shí)取最大值， x=y= -1時(shí)取最小值

本題的解法相當(dāng)豐富，換元法是解決這類題目的常用方法，而且換元的方式非常靈活，下文就換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開研究.

2 換元法的理論基礎(chǔ)

2.1 換元法的概念與分類

一般地，換元法也稱為變量替換法，是一種通過引入新的變量（稱為“元”）來替換原有的變量（稱為“式”），從而簡化問題的解題策略.換元的實(shí)質(zhì)是等價(jià)轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究結(jié)構(gòu)和研究對象，將問題遷移至新的結(jié)構(gòu)和對象中去研究.從分類的角度來看，常見的換元法包括：代數(shù)換元、三角換元和極坐標(biāo)換元.其中代數(shù)換元情境豐富、手段多樣，主要包括：整體換元、局部換元、目標(biāo)換元、均值換元、比值換元、和差換元、乘積換元、常數(shù)換元和對偶換元.三角換元和極坐標(biāo)換元特點(diǎn)鮮明，能解決一些復(fù)雜的問題.

2.2 換元法的數(shù)學(xué)原理

換元法的背后蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理.從函數(shù)的角度來看，換元法基于函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)的概念.通過替換變量，改變函數(shù)的形式，使得原本難以處理的函數(shù)關(guān)系變得清晰明了.在代數(shù)運(yùn)算中，換元法利用等量代換的思想，將復(fù)雜的代數(shù)式用新的變量表示，簡化運(yùn)算過程，降低計(jì)算難度.從方程的角度，換元法可以將高次方程、分式方程、無理方程等轉(zhuǎn)化為低次方程或整式方程，便于求解.在多元不等關(guān)系的求解中，恰當(dāng)?shù)膿Q元能夠使式子的結(jié)構(gòu)更加規(guī)整，有利于運(yùn)用已知的不等式定理和常見方法進(jìn)行求解.

2.3 換元法的適用條件

當(dāng)所給問題中的變量關(guān)系較為復(fù)雜、直接求解困難時(shí)，換元法往往能發(fā)揮作用.對于具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如含有平方和、倒數(shù)關(guān)系等，換元法能夠簡化運(yùn)算.當(dāng)問題中存在多個(gè)變量相互制約，通過換元可以減少變量個(gè)數(shù)，降低問題的復(fù)雜度.在一些不等式證明和求最值的問題中，如果原表達(dá)式的形式適合通過換元轉(zhuǎn)化為常見的函數(shù)形式，如二次函數(shù)、三角函數(shù)等，也可以考慮使用換元法.

3換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

典型換元法解題案例，如下.

3. 1 換元法在代數(shù)問題中的應(yīng)用

在代數(shù)運(yùn)算中，通過巧妙地運(yùn)用換元法，可以將復(fù)雜的式子簡化，從而更輕松地解決問題

例1 已知 ，且 ，則 的最小值為

分析：如何溝通目標(biāo)式和條件之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.目標(biāo)式過于復(fù)雜，可從條件入手采用“局部雙換元”對本題等價(jià)轉(zhuǎn)化

解 令 ，則 x+y=1（xgt;0，ygt; 0），解得 所以 當(dāng)且僅當(dāng) x= 時(shí)等號成立），所以 時(shí)， 的最小值為

評注：本題解法很多，“局部雙換元”的運(yùn)算量相對較小，結(jié)合“常數(shù)換元”轉(zhuǎn)化為熟悉模式求解

例2求方程 的實(shí)數(shù)根.

分析：對其中兩個(gè)無理式進(jìn)行換元，嘗試變無理方程為整式方程

解令 （204號 gt;0，ngt;0? ，則 2x²-x+4=m² ， x²+2x+2=n²

用待定系數(shù)法求得 3x²-9x+6=3m²-3n² ，則 原方程等價(jià)為 ，解得 m=2n ，即 ，求得 或 x= -4，經(jīng)檢驗(yàn) 和－4是原方程的根

評注：本題利用“目標(biāo)雙換元”，將 表示為兩個(gè)“元”的式子，通過恒等變形轉(zhuǎn)化為整式方程求實(shí)數(shù)根（要驗(yàn)根）.

3.2 換元法在幾何問題中的應(yīng)用

換元法在幾何問題中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在立體幾何和解析幾何中.立體幾何綜合問題往往可以設(shè)元轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題或建立空間直角坐標(biāo)系解決，解析幾何問題往往涉及復(fù)雜的方程和圖形關(guān)系，很多時(shí)候換元法可以解決這些綜合問題

例3 已知 ΔF₂MN 的面積為 s ，且 s= ，則 s 的最大值為

分析：用換元法改變 s 的結(jié)構(gòu)，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜ば问?

解法1：設(shè) ，則 tgt;0 且 m²=t²+ 2.所以 X

法2：設(shè) ，則 · 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立），所以 s 的最大值為

評注：在圓錐曲線的優(yōu)化問題中，類似的分式結(jié)構(gòu)最值問題，一般都可以考慮對分子或分母換元

例4（多選題）設(shè)曲線 L 的方程為 y⁴+（2x²+ 2）y²+（x⁴-2x²）=0 ，則（ ）.

A. L 是軸對稱圖形

B. L 是中心對稱圖形

C.L?{（x，y）∣x²+y²?1}

分析：條件看成以 y² 為元的一元二次方程或?qū)l件進(jìn)行配方，轉(zhuǎn)變條件結(jié)構(gòu).

解由條件解得 ，易知_A，B 正確;

對于C項(xiàng)，原方程中令 y=0 得 x²=2 或 x²=0 取 x²=2 ，則 x²+y²=2 ，故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

由 可設(shè) 2x=tanθ ，則 ，令 sec θgt;0 ，解得 + sec 由 sec 得 ，則 0?x²+y²?2 ，故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

所以當(dāng)sec θ=2 時(shí)， 所以 故D項(xiàng)正確.

另，對于C、D項(xiàng)，設(shè) x=ρcosθ，y=ρsinθ（ρ? 0），將條件化為 （x²+y²）²=2（x²-y²） ，則 ρ⁴= 2ρ²cos2θ ，即 ρ²=2cos 2θ. 所以 ρ²?2 ，即 x²+y²? 2，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤;

因?yàn)? 所以 故D項(xiàng)正確.

綜上，此題答案為ABD.

評注：對無理式 進(jìn)行三角換元 2x= tan θ ，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笕呛瘮?shù)的范圍.對于伯努利雙紐線 （x²+y²）²=2（x²-y²） ，利用極坐標(biāo)換元比較容易求解問題.

4換元法解題的常見錯(cuò)誤

在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用換元法時(shí)，常見的錯(cuò)誤有以下情況.

4.1 錯(cuò)誤選擇換元變量

學(xué)生可能會在選擇換元變量時(shí)出現(xiàn)失誤，導(dǎo)致新變量的引入無法有效簡化問題，反而使問題更加復(fù)雜.未能準(zhǔn)確把握原問題中變量之間的關(guān)系，隨意選擇換元變量，使得后續(xù)的計(jì)算和推理陷入困境.

4.2 換元過程中忽略新變量的取值范圍

由于換元后變量發(fā)生了變化，其取值范圍也可能隨之改變，如果忽略這一點(diǎn)，可能會得出錯(cuò)誤的結(jié)果.

4.3 計(jì)算或推理錯(cuò)誤

在換元后的計(jì)算和推理環(huán)節(jié)，可能會出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，如符號錯(cuò)誤、公式運(yùn)用不當(dāng)?shù)?，從而影響最終的解題結(jié)果.

4.4 未檢驗(yàn)取等號的條件

此外，有些學(xué)生在完成換元后的求解后，未能正確還原到原變量，導(dǎo)致答案不符合原問題的要求.

5小結(jié)：換元法解題的優(yōu)化策略

換元法解題的優(yōu)化策略對于提高解題效率和準(zhǔn)確性具有關(guān)鍵意義，優(yōu)化策略可以從下幾個(gè)方面入手

5.1 注重對換元變量的合理選擇

根據(jù)條件和問題的特點(diǎn)，選取能夠簡化問題、降低計(jì)算難度的變量進(jìn)行換元.例如，對于復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式，選擇能夠消除根式、分式或高次冪的變量如前文例2，需對兩個(gè)根式換元

5.2 加強(qiáng)對換元范圍的精確把控

在進(jìn)行換元時(shí)，要充分考慮原問題中變量的限制條件，確保換元后的表達(dá)式在新的變量下仍然滿足這些條件.前文中多處有體現(xiàn)“對換元范圍的精確把控”，現(xiàn)再舉例如下：若正實(shí)數(shù) x，y 滿足 2，設(shè) ，則 z 的最小值為

解條件 轉(zhuǎn)化為 x+2y=2xy ，則 ，設(shè) x+2y=2xy= t m 由 得 xy?2 ，所以 t?4. 令 4），則 所以 f（t） 在 [4，+∞] ）上單調(diào)遞增，所以 z=f（t）?f（4）=4- 6ln2 （當(dāng)且僅當(dāng) x+2y=2xy=4 ，即 時(shí)等號成立）.

點(diǎn)評：要注重對換元變量的合理選擇，本題最合理的是整體換元，設(shè) x+2y=2xy=t. 在引入新的變量時(shí)，一定要注意變量的范圍.例如本題中，若由 tgt; 0，則 z=f（t） 的最小值為 ，這個(gè)顯然是錯(cuò)誤的.

5.3 靈活運(yùn)用多種換元方式的組合

有時(shí)單一的換元方式可能無法完全解決問題，此時(shí)可以嘗試將不同類型的換元方法結(jié)合使用，以達(dá)到更好的解題效果，例如前文例1先后用到“局部換元”和“黨數(shù)換元”.

5.4 注重?fù)Q元法與其它方法的結(jié)合

換元法是一種很基礎(chǔ)的方法，通常需與基本不等式、柯西不等式等方法結(jié)合使用.再舉例如下：已知 xgt;1，ygt;2 ，求 的最小值.

解令 （204

0），貝 法

由柯

西不等式， 所以

法2：由閔可夫斯基不等式得 ，則 （當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)等號成立），所以 時(shí) 的最小值為6.

6 變式練習(xí)

以下練習(xí)供讀者們練手，體會換元法的巧妙和靈活，感受換元法之強(qiáng)大.

（1）已知 agt;bgt;0 且 ，則 2a 的最小值為

（2）已知 agt;3，bgt;2 ，則 的 最小值為

（3）（多選題）設(shè)曲線 C 的方程為 （x²+y²）³= 4x²y² ，則.

A. C 是關(guān)于原點(diǎn)對稱

B. C 只有兩條對稱軸

C.C?{（x，y）∣x²+y²?1}

正 日

（4）求方程 的實(shí)數(shù)根.

參考答案：（1）12；（2）10；（3）ACD;和

參考文獻(xiàn)

[1]曾麗.變式訓(xùn)練教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2023（24）：17-19.

作者簡介閔啟蒙（1977—），男，湖北黃岡人，中學(xué)高級教師，任惠州市高中數(shù)學(xué)兼職教研員；曾榮獲“惠州市優(yōu)秀思想政治者”榮譽(yù)稱號；主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)；主持市級課題一個(gè)，參與市縣級課題多個(gè)，發(fā)表論文6篇.