有限域 Fpn 上完全置換多項(xiàng)式的構(gòu)造

中圖分類號(hào)：0236.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

設(shè) Fpn 為含有 pn 個(gè)元素的有限域，其中 p 為素?cái)?shù)， n 為正整數(shù)， Fpn* 表示 Fpn 的乘法群。如果多項(xiàng)式 F（x） 從 Fpn 到其自身的映射 F：x?F（?x） 是雙射，則稱 F（x） 為 Fpn 上的置換多項(xiàng)式。如果 F（x） 和 F（x）+x 都是 Fpn 上的置換，則多項(xiàng)式 F（x） 稱為 Fpn 上的完全置換多項(xiàng)式。有限域上的完全置換多項(xiàng)式因在密碼學(xué)[1-2]，組合設(shè)計(jì)[3]，編碼理論[45]等領(lǐng)域均有著重要應(yīng)用而受到眾多學(xué)者的關(guān)注。因此，構(gòu)造新的完全置換多項(xiàng)式有著重要的理論意義和實(shí)際意義。

完全置換多項(xiàng)式是在構(gòu)造正交拉丁方時(shí)首次引人的。隨后，NIEDERREITER等[對(duì)有限域上的完全置換多項(xiàng)式做了進(jìn)一步的研究。然而，因?yàn)榕袛嗤耆脫Q性質(zhì)的方法極為有限，所以有限域上已知的完全置換多項(xiàng)式并不多見(jiàn)。因此，發(fā)現(xiàn)新的完全置換多項(xiàng)式是一項(xiàng)重要且具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。關(guān)于完全置換多項(xiàng)式的早期研究成果主要有Dickson多項(xiàng)式[8]、F16上的二項(xiàng)式和三項(xiàng)式[9]以及在 F_q 上的單項(xiàng)式[1°]。直到2011年，AGW準(zhǔn)則的提出為研究完全置換多項(xiàng)式提供了一種重要的方法[]，這一進(jìn)展推動(dòng)了相關(guān)領(lǐng)域的深入探索。之后，基于這一準(zhǔn)則，學(xué)者們構(gòu)造了有限域上一些稀疏型完全置換多項(xiàng)式[12-14]。與此同時(shí)，文獻(xiàn)[15-16]利用加法特征標(biāo)和極坐標(biāo)表示，將多項(xiàng)式完全置換性質(zhì)轉(zhuǎn)化為有限域特定方程根的問(wèn)題，從而構(gòu)造出幾類新的完全置換多項(xiàng)式。在此基礎(chǔ)上，一些其他類型的完全置換多項(xiàng)式也被構(gòu)造出來(lái)。例如，LI等[17]構(gòu)造出了基于線性化多項(xiàng)式的完全置換多項(xiàng)式。隨后，XU等[18]進(jìn)一步構(gòu)造了幾類形式相似的完全置換多項(xiàng)式，并對(duì)其特性進(jìn)行了全面的分析。在此基礎(chǔ)上，LIU等[也得到了4類完全置換多項(xiàng)式，這些完全置換多項(xiàng)式構(gòu)造的關(guān)鍵在于如何找到合適的指數(shù)參數(shù)。

受到已有結(jié)論的啟發(fā)，本文構(gòu)造了 F_pⁿ 上9類新的完全置換多項(xiàng)式，主要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是找到合適的指數(shù)和線性化多項(xiàng)式。為了證明多項(xiàng)式的完全置換性質(zhì)，利用AGW準(zhǔn)則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限域上一些特殊方程根的存在性問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

本章我們給出一些基本概念及相關(guān)引理。

設(shè) m 和 n 為2個(gè)正整數(shù)，且 m∣n ，從 F_pⁿ 到 F_p^m 的跡函數(shù)定義為

Tr_mⁿ（x）=x+x^pm+x^p2m+…+x^pn-m

定義 F_pⁿ 的一個(gè)集合

T={γ^pm-γ|γ∈F_pⁿ}

對(duì)于任意 β∈I ，我們有 Tr_mⁿ（β）= 0 。

設(shè) ，其中 q 為素?cái)?shù)冪， α_i∈F_q^m （i=0，1，2，…，s） ，則稱 L（x） 是 F_q^m 上的一個(gè) q -多項(xiàng)式，它也被稱為 F_q^m 上的線性化多項(xiàng)式。

引理1[20] 有限域 F_2ⁿ 上的多項(xiàng)式 F（x） 是 F_2ⁿ 上的置換多項(xiàng)式，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立：

（1）對(duì)任意的 y∈F_2ⁿ ，方程 在 F_2ⁿ 中恰有一個(gè)根;

（2）對(duì)任意的 y∈F_2ⁿ ，方程 在 F_2ⁿ 中至多有一個(gè)根。

引理1提供了判斷置換多項(xiàng)式的一般方法，接下來(lái)的引理2就是文中提到的AGW準(zhǔn)則。引理 2^[11] 設(shè) A ， s 和 為有限集合，且 ，并設(shè) ， ， 和 滿足 。若 λ 和 λ 都是滿射，則下列2個(gè)條件是等價(jià)的：

（1） f 是雙射;（2） g 是 s 到 的雙射，且對(duì)每一個(gè) s∈S，f 在 λ^-1（s） 上是單射。

根據(jù)AGW準(zhǔn)則，我們可以直接得到以下引理，該引理在證明多項(xiàng)式的完全置換性質(zhì)時(shí)被用到。引理 3[18] 設(shè) m，n，t，sj 是正整數(shù)，且 m∣n 。令（204號(hào) δ∈Fpn ， b∈Fpm* ， aj∈Fpn ，則 是 Fpn 的一個(gè)置換當(dāng)且僅當(dāng) G（x）= 是式（1）中定義的 I 上的置換。

根據(jù)引理3，我們可以得出以下引理。

引理4設(shè) m （20號(hào) ，s₁，s₂ 是正整數(shù)， δ∈F_2^2m ， a+b∈ 。則 在 F_2^2m 上是一個(gè)完全置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) 在 F_2^2m 上是一個(gè)完全置換多項(xiàng)式。

證明把多項(xiàng)式 F₁（x） 改寫成 （204號(hào) aδ 。則 F₁（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式的充分必要條件 a（x^2m+x+δ）+（a+b）x 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

根據(jù)引理3，對(duì)于任意 θ∈F_2^m ，當(dāng) F₂ 時(shí)， G₁（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)以下2個(gè)方程

和

（3）在 F_2^m 中都有唯一的根。

按照同樣的方法也可以證明 F₂（x） 是 F_2^2m 上的完全置換當(dāng)且僅當(dāng)式（2）和（3）在 F_2^m 中有唯一根。因此，結(jié)論成立。

接下來(lái)，我們列出一些引理，這些引理可以用來(lái)確定本文中一些方程的根的個(gè)數(shù)。

引理5[21] 設(shè) m 為正整數(shù)， a∈F2m* ，則對(duì)于三次方程 x3+x+a=0 有

（1）在 F_2^m 上有唯一的根當(dāng)且僅當(dāng) Tr₁^m（a^-1）≠ Tr₁^m（1） ：

（2）在 F_2^m 上有3個(gè)不同的根當(dāng)且僅當(dāng) p_m（a）= 0，其中多項(xiàng)式 p_m（x） 遞歸方程為 p₁（x）=p₂（x）=x ，p_k（x）=p_k-1（x）+x^2k-3p_k-2（x） ， k?3 ；

（3）否則，在 F_2^m 上無(wú)根。

引理 6^[22] 設(shè) m 為正整數(shù)， c ，d∈F_p^2m 。當(dāng) c^pm+1≠ 1時(shí)，方程 x^pm-cx+d 在 F_p^2m 中有唯一的根 否則，當(dāng) c^pmd+d^pm≠0 時(shí)，方程在 F_p^2m 中無(wú)根;當(dāng) c^pmd+d^pm=0 時(shí)，方程在 F_p^2m 中有 p^m 個(gè)根。

引理 7^[23] 對(duì)于素?cái)?shù) p ，設(shè)2個(gè)正整數(shù) m，n 滿足 個(gè)非負(fù)整數(shù) i，j 滿足 gcd（i-j，n）= 1， gcd（i-j，p-1）=1 。那么對(duì)于2個(gè)給定元素α，β∈F_pⁿ ，如果 α 在 F_p^m 中是 p-1 次冪元，則方程x^pi-αx^pj+β=0 在式（1）中定義的 I 中最多有一個(gè)根。

2 有限域 上形如 （204號(hào) 的完全置換多項(xiàng)式

在本章中，我們構(gòu)造了在 F_2^2m 上4種形如（ x^2m+ （204號(hào) 的完全置換多項(xiàng)式。

定理1設(shè) m 為正整數(shù)， δ，a，b∈F_2^2m，a+b∈ ， （a^2m+b）（a^2m+b+1）≠0 ， s₁∈{2^m+ 2， ， s₂∈{2^m+1+3，3?2^m+2} ，若滿足下列條件之一：

（1） Tr_m^2m（δ）=0 （20號(hào) （2）Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且

則 bx 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

證明根據(jù)引理4，只需要證明 s₁=2^m+2 和 s₂= 2^m+1+3 的情形。由引理3 知 F（x） 是 F_2^2m 上的置換當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意 θ∈I=F_2^m ，方程

在 F_2^m 中最多有一個(gè)根。此方程等價(jià)于

Tr_m^2m（δ）x⁴+（Tr_m^2m（δ）+（Tr_m^2m（δ））³）x²+（Tr_m^2m（δ²）+ （20 （4）

注意到 a+a2m∈F2m ， ， a2m+ （204號(hào) b≠0 ，所以 a2m+b∈F2m* 。

若 Tr_m^2m（δ）=0 ，則式（4）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，在式（4）兩邊同時(shí)除以 Tr_m^2m（δ） ，可得

顯然，式（5）在 F_2^m 中最多有一個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)

在F _2^m 中有唯一根。因此只需要證明

在F 中沒(méi)有根。用 替換 x ，則式（6）變?yōu)?/p>

若

由引理5知該方程在 F_2^m 中沒(méi)有根。因此， F（x） 是F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

同樣地，若 Trm2m（δ）=0 或 Trm2m（δ）∈F2 且 則有 也是 F22m 上的置換多項(xiàng)式。因此，F(xiàn)（x） 是 F22m 上的完全置換多項(xiàng)式。例1設(shè) m=3 。由Magma程序，得到2304個(gè)不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 Tr36（δ）=0 且 a+ 這些 （δ，a， b ）使得

F（x）=（x⁸+x+δ）¹⁰+（x⁸+x+δ）¹⁹+ax⁸+bx

是 F_2⁶ 上的完全置換多項(xiàng)式。

定理2設(shè) m 為正整數(shù)， ，且滿足 ， s₁∈ （204號(hào) {2^2m-2+ 3?2^m-2， 3?2^2m-2+2^m-2} ， s₂∈{2^2m-2+ 2^m+2^m-2 ， 。若滿足下列條件之一：

（1） （2） Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且

則 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

證明根據(jù)引理4，我們只需要證明 s₁=2^2m-2+3 ·2^m-2 和 s₂=2^2m-2+2^m+2^m-2 的情形。由引理3知F（x） 是 F_2^2m 上的置換當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意 θ∈I ，方程

在 F_2^m 中最多有一個(gè)根。對(duì)式（7）左右兩邊取4次冪，得

即

（8）

若 ，則式（8）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，則式（8）在 F_2^m 中最多有一個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)

（b⁴+a^2m+2）x⁴+（Tr_m^2m（δ²）+Tr_m^2m（δ⁴））x²+ （Γ（Tr_m^2m（δ））³+（ΓTr_m^2m（δ））⁵）x=0

即

在 F_2^m 中最多有一個(gè)根，即

沒(méi)有根。用 替換 x ，式（9）化簡(jiǎn)為

若 則式（10）在 F_2^m 上無(wú)根。因此 F（x） 是 F_2^2m 上的一個(gè)置換多項(xiàng)式。

同樣地，若 或 Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且 （2則 F（x）+x 也是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

因此， F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

例2設(shè) m=3 。由Magma程序，可得到4608個(gè)不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 且 ， （a23+b）（a23+b+1）≠0 。進(jìn)而，有2304個(gè)不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 且

其中 。這些 （δ，a，b） 使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項(xiàng)式。

定理3設(shè) m 是正整數(shù) δ，a，b∈F_2^2m 且 a+b∈ （204 （a^2m+b）（a^2m+b+1）≠0，F(xiàn)（x）= F（x）=（x^2m+ 。

（1）若 s₁∈{2^m+1+1，2^m+2} ， s₂∈{2^2m-1+ 2^m+1+2 ， 5?2^m-1+2！ ，且滿足下列條件之一：

（a） Tr_m^2m（δ）=0 （b） Tr_m^2m（δ）∈F_2² 且

則 F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

（2）若 s₁∈{3?2^m+2，2^m+1+3}，s₂∈{2^2m-1+ 2^m+1+2 ， 5?2^m-1+2} ，且滿足下列條件之一：

（a） ：（b） Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且

則 F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

證明（1）我們只需要證明 s₁=2^m+1+1 ， s₂= 2^2m-1+2^m+1+2 的情況。利用引理3，證明 F（x） 是F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式，只需證明對(duì)于任意 θ∈F_2^m ，方程

在 F_2^m 中最多有一個(gè)根。由此方程可得

即

式（11）可化簡(jiǎn)為

（2 82m+1+2 （12）

若 Tr_m^2m（δ）=0 ，則式（12）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此， F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F_2² ，則式（12）在 F_2^m 中最多有一個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)

無(wú)根。即

在 F_2^m 中沒(méi)有根。用 替換x ，式（13）化簡(jiǎn)為

由引理5和

可以得到式（14）在 F_2^m 上無(wú)根，所以 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

同樣地，當(dāng) Tr_m^2m（δ）=0 時(shí)或者當(dāng) Tr_m^2m（δ）∈ F_2² 時(shí)且

F（x）+x 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

因此， F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

（2）我們只需證明 s₁=3?2^m+2 和 s₂=2^2m-1+ 2^m+1+2 的情形。通過(guò)引理3，證明 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式只需證明對(duì)于任意 θ∈F_2^m ，方程

在 F_2^m 中最多有一個(gè)根。由此方程可得

即

顯然，式（15）可化簡(jiǎn)為

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，則式（16）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，則式（16）在 F_2^m 中最多有一個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)

在 F_2^m 中沒(méi)有根。用 Tr_m^2m（δ）x 代替 x ，則式（17）變?yōu)?/p>

若 且 ，得到式（18）在F_2^m 上無(wú)根，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。

同樣地，若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ 或 Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且滿足條件（2）（b），則 F（x）+x 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式。因此， F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式。

例3 （1）設(shè) m=2 。由Magma程序，可得到64個(gè)不同的三元組 （δ，a，b）∈F243 滿足 Tr24（δ）=0 且 ， （a22+b）（a22+b+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 恰好是所有三元組使得

是 F_2⁴ 上的完全置換多項(xiàng)式。

（2）設(shè) m=3 。由Magma程序，可得到4608個(gè)不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 且（20 ， （a23+b）（a23+b+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 恰好是所有三元組使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項(xiàng)式。

定理4設(shè) m 為正整數(shù)， δ，a，b∈F_2^2m 且滿足a+b （20號(hào)E 。則 是 F_2^2m 上的完全置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) Tr_m^2m（δ）=0 。證明 我們只需要證明 s₁=2^m+1 和 s₂=2^m+1+1 的情形。根據(jù)引理3， F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意 θ∈F_2^m ，方程

（x+δ）^2m（2m+1）+（x+δ）^2m+1+（x+δ）^{2m（2m+1+1）}+ （204 （x+δ）^2m+1+1+（a^2m+b）x=θ （204

在 F_2^m 中最多有一個(gè)根。即

（19）

在 F_2^m 中最多有一個(gè)根。

若 Tr_m^2m（δ）=0 ，則式（19）變?yōu)?/p>

（a^2m+b）x+δ^2m+1+1+δ^2m+2=θ

因?yàn)?a2m+b≠0 且 a+b∈F2m* ，所以 a2m+b∈ F2m* 。因此，式（19）在 F2m 中只有唯一根為 （204號(hào) （204號(hào) ， F（x） 是 F22m 上的置換多項(xiàng)式。

反過(guò)來(lái)，如果 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式，根據(jù)引理3，對(duì)于任意 θ∈F_2^m ，式（19）在 F_2^m 中有唯一根。假設(shè) Tr_m^2m（δ）≠0 且 θ=δ^2m+1+1+δ^2m+2 。顯然，式（19）有2個(gè)根0和 （204號(hào) ，得到矛盾。因此， F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)Tr_m^2m（δ）=0 。

同樣，可以證明 F（x）+x 是 F_2^2m 上的置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) Tr_m^2m（δ）=0 結(jié)論成立。

例4設(shè) m=3 。由Magma程序，可以得到2304個(gè)不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 Tr36（δ）=0 且滿足 a+b ， a+b+1∈F23* ， a23+b，a23+b+1∈ 。每一個(gè)三元組都可以使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項(xiàng)式。

3 有限域 上形如 的完全置換多項(xiàng)式

本章我們構(gòu)造 F_p^2m 上2種形如 的完全置換多項(xiàng)式，其中p 是任意素?cái)?shù)。

定理5對(duì)于任意素?cái)?shù) p 和2個(gè)正整數(shù) i，j ，令δ∈F_p^2m 并滿足 Tr_m^2m（δ）=0，a ， b∈F_p^2m 且 （a+ b） （a+b+1）≠0 。則 F（x）=（x^pm-x+ 是（204號(hào) F_p^2m 上的完全置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) （-1）^j+1）（a+b+a^pm+b^pm）-a^pm+1+b^pm+1≠0 且 （20 （b+1）^pm+1≠0 。

證明由于 Tr_m^2m（δ）=0 ，則有 δ^pm=-δ 。因此（x^pm-x+δ）^pm=-（x^pm-x+δ） ，則

$$（-1）^j）x+（（-1）ⁱ+（-1）^j）δ

當(dāng) a+（-1）ⁱ+（-1）^j=0 時(shí)，因?yàn)?a+b≠0 ，我們得到 b-（-1）ⁱ-（-1）^j≠0 。所以， F（x）= （b-（-1）ⁱ-（-1）^j）x+（（-1）ⁱ+（-1）^j）δ 顯然是 F_p^2m 上的置換多項(xiàng)式。

當(dāng) a+（-1）ⁱ+（-1）^j≠0 時(shí)，假設(shè) F₁（x）= 則 F（x）=（a+（-1）ⁱ+（-1）^j）F₁（x） ， F（x） 是F_p^2m 上的置換當(dāng)且僅當(dāng) F₁（x） 是 F_p^2m 上的置換。根據(jù)引理6，可以得到 F（x） 是 F_p^2m 上的置換當(dāng)且僅當(dāng)

式（20）等價(jià)于

當(dāng) a+（-1）ⁱ+（-1）^j≠0 時(shí)，有 （-1）^j+1 ） （a+b+a^pm+b^pm）-a^pm+1+b^pm+1≠0 。另外，當(dāng) a+（-1）ⁱ+（-1）^j=0 時(shí)， （204 也成立。

因此， F（x） 是 F_p^2m 上的置換當(dāng)且僅當(dāng) （（-1）ⁱ⁺¹+ （-1）^j+1）（a+b+a^pm+b^pm）-a^pm+1+b^pm+1≠0 。

類似地，可以證明 F（x）+x 是 F_p^2m 上的置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)（ （-1）ⁱ⁺¹+（-1）^j+1 ） （2+a+b+ a^pm+b^pm）-a^pm+1+（b+1）^pm+1≠0 。

例5（1）設(shè) p=3 ， m=2 ， i=3 ， j=2 。通過(guò)Magma我們可以得到45441個(gè)不同的三元組（ Ωδ ，a，b）∈F343 滿足 Tr24（δ）=0 且 （a+b）（a+b+1）≠0 b10-a10≠0 ！ （b+1）10-a10≠0 。這些 （δ，a，b） （24使得

F（x）=（x⁹-x+δ）²⁵+（x⁹-x+δ）¹⁷+ax⁹+bx 是 F_3⁴ 上的完全置換多項(xiàng)式。

（2）設(shè) p=2 ， m=2 ， i=4，j=3 。通過(guò)Magma我們可以得到496個(gè)不同的三元組 （δ，a，b） （2∈F243 滿足 Tr24（δ）=0 且 （a+b）（a+b+1）≠0 ，（2號(hào) b5-a5≠0 ， （b+1）5-a5≠0 。這些 （δ，a，b） （20使得

F（x）=（x⁴-x+δ）¹³+（x⁴-x+δ）¹⁰+ax⁴+bx 是 F_2⁴ 上的完全置換多項(xiàng)式。

定理6對(duì)于任意素?cái)?shù) p 和2個(gè)正整數(shù) j，l ，令δ∈Fp2n，a，b∈Fp2m* 且 a+b ， a+b+1∈Fpm* 。則 F（x）=（xpm-x+δ）l（pm+1）+pj+（xpm-x+δ）l（pm-1）+pj δ）l（pm+1）+pm+j+axpm+bx 是 Fp2m 上的完全置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) （b-apm）（b-apm+1）≠0 。

證明根據(jù)引理3， F（x） 是 F_p^2m 上的置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意 θ∈I ，方程

（204號(hào) （20號(hào) δ）^{l（p2m+pm）+p2m+j}-（x+δ）^{l（pm+1）+pm+j}+（b-a^pm）x=θ 在 I 中恰好有一個(gè)根。該方程可以簡(jiǎn)化為 Ω（b←Ω） a^pm）x=θ 。顯然，當(dāng)且僅當(dāng) b-a^pm≠0 時(shí)，方程在I 中只有一個(gè)根。因此， F（x） 是一個(gè)置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) b-a^pm≠0 。

同樣，可以證明 F（x）+x 是置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) b-a^pm+1≠0 。證畢。

例6（1）設(shè) p=2 ， m=2 ， l=1，j=2 。通過(guò)Magma程序可以得到192個(gè)不同的三元組 （δ，a ，b λ）∈F24×F24*×F24* 滿足 a+b ， a+b+1∈F22* 且（b-a22）（b-a22+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 使得

F（x）=（x⁴-x+δ）⁹+（x⁴-x+δ）²¹+ax⁴+bx 是 F_2⁴ 上的完全置換多項(xiàng)式。

（2）設(shè) p=3 ， m=2 ， l=2，j=3 。通過(guò)Magma程序可以得到2196個(gè)不同的三元組 （δ ，a，b）∈F34×F34*×F34* 滿足 a+b ， a+b+1∈F32* 且 （b-a32）（b-a32+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 使得

F（x）=（x⁹-x+δ）⁴⁷+（x⁹-x+δ）²⁴³+ax⁹+bx 是 F_3⁴ 上的完全置換多項(xiàng)式。

X 有限域 上形如 的完全置換多項(xiàng)式

下面，我們構(gòu)造 F_2^3m 上形如 的完全置換多項(xiàng)式。

定理7設(shè)正整數(shù) m ， i 滿足gcd （jm+i，3m）=1 j∈{0，1，2}，δ∈F23m，a∈F2m，b，b+1∈F2m* 且 （a+b）（a+b+1）≠0 ，則 F（x）=（x2m+ bx 是 F23m 上的完全置換多項(xiàng)式。

證明對(duì)于不同的 j ，我們可以用同樣的方法證明相應(yīng)的結(jié)論。下面只證明 j=0 的情況， F（x） 可以寫成

顯然， F（x） 是 F_2^3m 上的完全置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)

是 F_2^3m 上的完全置換多項(xiàng)式。

根據(jù)引理3， G（x） 是置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意 θ∈I ，

在 I 中最多有一個(gè)根。式（21）等價(jià)于

Tr_m^3m（δ）x²ⁱ+（（Tr_m^3m（δ））²ⁱ+a+b）x=θ+ δ^22m+i+1+δ^2m+i+1+δ^22m+2i+δ^2m+2i+aδ^2m+aδ^22m

若 Tr_m^3m（δ）=0 ，則有 （a+b）x=θ+δ^22m+i+1+ δ^2m+i+1+δ^22m+2i+δ^2m+2i+aδ^22m+aδ^22m ，該方程在 I 中有唯一根，因此 F（x） 是 F_2^3m 上的置換多項(xiàng)式。

若 Tr_m^3m（δ）≠0 ，則式（21）變?yōu)?/p>

其中 A=θ+δ^22m+i+1+δ^2m+i+1+δ^22m+2i+δ^2m+2i+ aδ^2m+aδ^22m 。由于 gcd（jm+i，3m）=1 ，根據(jù)引理7，式（22）在 I 中最多有一個(gè)根。因此 F（x） 是F_2^3m 上的置換多項(xiàng)式。同樣，我們可以證明 F（x）+x 是 F_2^3m 上的置換多項(xiàng)式。證畢。

例7設(shè) j=0 ， m=2 ， i=1 。通過(guò)Magma 程序可以得到256個(gè)不同的三元組 F22×F22* 滿足 b，b+1∈F22* 且 （a+b）（a+b+1）≠ 0。這些 （δ，a，b） 使得

（20 ax⁴+bx （204

是 F_2⁶ 上的完全置換多項(xiàng)式。

定理8設(shè) m 為正整數(shù)， δ∈F_2^3m 且滿足 Tr_m^3m（δ）=0 。令 a∈F_2^m ， 滿足 （a+b）（a+b+） （204 1）≠0 ，則 x+δ）^22m+2m+1+ax^22m+ax^2m+bx 是 F_2^3m 上的完全置換多項(xiàng)式。

證明根據(jù)引理3，證明 F（x） 在 F_2^3m 是一個(gè)置換多項(xiàng)式等價(jià)于證明對(duì)于任何 θ∈I ，方程

（x+δ）^22m+2m+1+（a+b）x=θ

在 I 中恰好有一個(gè)根。因?yàn)?Tr_m^3m（δ）=0 ，所以 （204號(hào)式（23）左端變成

顯然，當(dāng) a+b≠0 時(shí)， （a+b）x=θ 在 I 中有唯一的根。因此， F（x） 是 F_2^3m 上的完全置換多項(xiàng)式。同樣地，當(dāng) a+b+1≠0 時(shí)，也可證明 F（x）+x 是F_2^3m 上的置換多項(xiàng)式。證畢。

例8設(shè) m=2 ?？梢则?yàn)證有64個(gè)不同的三元組（δ，a，b）∈F26×F22×F22* 滿足 ，（a+b）（a+b+1）≠0 且 Tr26（δ）=0. 這些 （δ，a，b） 使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項(xiàng)式。

定理9設(shè) m 為正整數(shù)， δ∈F_2^3m ， a∈F_2^m，b，b+ ，則 F（x）=（x^2m+x+δ）^2m+1+（x^2m+x+δ δ）^22m+2m+ax^22m+ax^2m+bx 是 F_2^3m 上的完全置換多項(xiàng)式。

證明根據(jù)引理3，只需要證明對(duì)于任何 θ∈I ，方程 （x+δ）^2m（2m+1）+（x+δ）^2m+1+（x+δ）^{2m（22m+2m）} （204 +（x+δ）^22m+2m+（a+b）x=θ 在 I 中恰好有一個(gè)根。該方程可改寫為

即

x²+（Tr_m^3m（δ）+a+b）x=θ+δ^2m+1+δ^22m+1

根據(jù)引理7，式（24）在 I 中最多有一個(gè)根。因此，F(xiàn)（x） 是 F_2^3m 上的置換多項(xiàng)式。

類似地，可以證明 F（x）+x 也是 F_2^3m 上的置換。因此， F（x） 是 F_2^3m 上的完全置換多項(xiàng)式。

例9設(shè) m=3 。利用Magma可以得到24576個(gè)不同的三元組 （δ，a，b）∈F29×F23×F23* 且滿足 b ，b+1∈F23* 。這些 （δ，a，b） 使得 x+δ）9+（x8+x+δ）9+ax64+ax8+bx 是 F29 上的完全置換多項(xiàng)式。

5結(jié)語(yǔ)

本文利用AGW準(zhǔn)則和特定方程根數(shù)的確定方法，在有限域 F_pⁿ 上構(gòu)造了9類形如 （x^pm-x+ 的完全置換多項(xiàng)式，其中 L（x） 為線性化多項(xiàng)式。這一成果豐富了有限域上完全置換多項(xiàng)式理論，我們將進(jìn)一步拓展該領(lǐng)域的研究成果。

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（責(zé)任編輯：周曉南）

Construction of Complete Permutation Polynomials overtheFinite Field F_pⁿ

ZHANG Weiguang'，LIU Xianping*1，XU Xiaofang2 （1. School of Mathematics and Statistics，Hubei Minzu University，Enshi 445o0O，China; 2.School of Mathematics and Physics，Hubei Polytechnic University，Huangshi 435oO3，China）

Abstract：In recent years，complete permutation polynomialsover F_pⁿ have attracted the attention of many scholars in the fields of mathematics and cryptography.In this paper，using the AGW criterion and deter-mining the number of roots of some specific equations，we construct nine types of complete permutation polynomials with the form over F_pⁿ ，where L（x） are linearized polynomials over F_pⁿ Keywords ： permutation polynomial; complete permutation polynomial; AGW criterion ; finite field