基于“牛頓法”的高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用研究

人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第82頁“探究與發(fā)現(xiàn)\"欄目，介紹了“牛頓法—一用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解”的相關(guān)內(nèi)容.教材的探究欄目不僅是知識的延伸，更是數(shù)學(xué)思維（建模、迭代、分析）與科學(xué)素養(yǎng)（實證、創(chuàng)新）融合的重要載體，旨在幫助學(xué)生從“學(xué)會數(shù)學(xué)\"走向“會用數(shù)學(xué)”，是對課程標(biāo)準(zhǔn)中要求培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要體現(xiàn)

1“牛頓法\"基本原理介紹

“牛頓法”也稱牛頓迭代法，是牛頓提出的一種求解方程 f（x）=0 近似解的方法，多數(shù)方程 f（x）=0 不含求根公式，導(dǎo)致解方程很困難，牛頓利用切線原理設(shè)計了迭代法求方程的近似解.該原理的基本思想是從一個初始的近似解出發(fā)，過該點作曲線的切線，以切線與 x 軸的交點橫坐標(biāo)作為下一個更精確的近似解.

如圖1所示，在函數(shù)圖像上選取橫坐標(biāo)為 x_?0 的點處作函數(shù) f（x） 的切線，切線與 x 軸交點的橫坐標(biāo)就是 x₁ ；用 x₁ 代替 x_?0 重復(fù)上面的過程得到 x₂ ；一直繼續(xù)下去，得到一個近似解序列： x₀，x₁，x₂，…，x_n 從圖像上可以看到近似解序列不斷地逼近函數(shù) f（x） 的零點 r .由于函數(shù) f（x） 在點 （x_n，f（x_n）） 處切線的斜率是 f^′（x_n） ，因此切線的點斜式方程為

y-f（x_n）=f^′（x_n）（x-x_n）.

如果 f^′（x_n）≠0 ，那么切線與 x 軸交點的橫坐標(biāo)為 ，稱此公式為牛頓迭代公式，數(shù)

列 {x_n} 為牛頓數(shù)列.

對于給定的精確度 ε ，可根據(jù)上述牛頓迭代公式得出函數(shù) f（x） 的零點 r 的近似值，即方程 f（x）=0 的近似解.

2基于“牛頓法\"的高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用

2.1 “牛頓法”與近似值計算

例1牛頓和拉弗森提出了牛頓迭代法，相比二分法可以更快速地給出近似值，至今仍在計算機(jī)等學(xué)科中被廣泛應(yīng)用.設(shè) r 是方程 f（x）=0 的根，選取 x₀ 作為 r 的初始近似值.過點 （x₀，f（x₀）） 作曲線 y= f（x） 在 （x₀，f（x₀） 處的切線 l₁ ，當(dāng) f^′（x₀）≠0 時，稱l₁ 與 x 軸的交點的橫坐標(biāo) x₁ 是 r 的1次近似值;過點 （x₁，f（x₁）） 作曲線 y=f（x） 在 （x₁，f（x₁） 處的切線 l₂ ，當(dāng) f^′（x₁）≠0 時，稱 l₂ 與 x 軸的交點的橫坐標(biāo) x₂ 是 r 的2次近似值；重復(fù)以上過程，得到 r 的近似值序列 {x_n} .這就是所謂的牛頓迭代法.

（1）當(dāng) f^′（x_n）≠0，n∈N^* 時， r 的 n+1 次近似值x_n+1 與 n 次近似值 x_n 可建立等式關(guān)系： x_n+1= ；

（2）若取 x₀=2 作為 r 的初始近似值，根據(jù)牛頓迭代法，計算 的2次近似值為 （用分?jǐn)?shù)表示）.

（1）由 y-f（x₀）=f^′（x₀）（x-x₀） ，令 y= 0，解得 同理可得 x₂= 故推得 r 的 n+1 次近似值 x_n+1 與 n 次近似值n可建立關(guān)系式：xn+1=x\"-

（2）記函數(shù) f（x）=x²-3 ，則 f^′（x）=2x ，故

由于 x₀=2 ，則 所以 ，故

的2次近似值為

基于“牛頓法”可以求解方程的近似解，進(jìn)一步估計一些不清楚具體數(shù)值的量，從而解決常見的比較大小問題，這是一種遷移能力的體現(xiàn).

2.2 “牛頓法\"與牛頓數(shù)列

例2若數(shù)列 {x_n} 滿足 則稱數(shù)列 {x_n} 為牛頓數(shù)列.若 ，數(shù)列 {x_n} 為牛頓數(shù)列，且 x₁=1，x_n≠0 ，數(shù)列 {x_n} 的前 n 項和為S_n ，則滿足 S_n?2024 的最大正整數(shù) n 的值為（ ）.

A. 10 B. 11 C. 12 D.13， 因為 所以 川析

故數(shù)列 {x_n} 是以 x₁=1 為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以 ，解得 n?10 ，故選A.

通過牛頓迭代法作切線得到牛頓數(shù)列，這既是導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，也是函數(shù)與數(shù)列知識的交融，能夠有效加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解.

2.3“牛頓法\"與面積計算

一例3從函數(shù)的觀點看，方程的根就是函數(shù)的零點，設(shè)函數(shù)的零點為 r .牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一—“牛頓法”.具體做法如下：先在 x 軸上找一初始點 P₀（x₀，0） ，然后作_y=f（x） 在點 Q₀（x₀，f（x₀）; 處的切線，切線與 x 軸交于點 P_l（x₁，0） ，再作 y=f（x） 在點 .f（x₁） 處的切線 （Q₁P₁⊥x 軸，以下同），切線與 x 軸交于點 P₂（x₂，0） ，再作 y=f（x） 在點 Q₂（x₂） .f（x₂） ）處的切線，一直重復(fù)，可得到一列數(shù)： x₀，x₁ x₂，…，x_n .顯然，它們會越來越逼近 r .于是，求 r 的近似解的過程轉(zhuǎn)化為求 x_n ，若精度為 ε ，則把首次滿足∣x_n-x_n-1∣lt;ε 的 x_n 稱為 r 的近似解.

（1）設(shè) f（x）=x³+x²+1 ，試用“牛頓法\"求方程 f（x）=0 滿足精度 ε=0.5 的近似解（取 x₀=-1 ，且 結(jié)果保留小數(shù)點后第二位）.

（2）設(shè)函數(shù) g（x）=2^x

（i）根據(jù)所學(xué)知識可知函數(shù) g（x）=2^x 沒有零點，你能否用上述材料中的“牛頓法\"加以解釋？

（ii）設(shè)初始點為 P₀（0，0） ，類比上述算法，求所得前 n 個 _∴PQP₁，ΔP₁Q₁P₂，…，ΔP_n-1Q_n-1P_n 的面積和.

（1）因為 f（x）=x³+x²+1 ，所以 f^′（x）= 3x²+2x .又函數(shù) f（x） 在點 （x_n，f（x_n）） 處的切線方程為 y-f（x_n）=f^′（x_n）（x-x_n） ，令 y= 0，可得

由于 x₀=-1 ，所以 ，此時 |x₁-x₀|=1gt;0.5， 繼續(xù)計算可得

此時 ，故 為方程 f（x）=0 的近似解.

（2）（i）因為 g（x）=2^x ，所以 .由（1）知

，即 為定值，因此數(shù)列 {x_n} 不會逼近某一定值 r ，根據(jù)“牛頓法”可知此函數(shù)沒有零點.

（i）因為 x₀=0 ，所以 二

|P₀P₁|=|P₁P₂|=|P₂P₃|=…=

記 S_ΔPi-1Qi-1Pi=a_i（i=1，2，3，…，n） ，則

基于“牛頓法”，通過逼近原理，能夠解釋指數(shù)函數(shù)等沒有零點的函數(shù)，從不同的角度認(rèn)識零點問題，同時針對這些函數(shù)，進(jìn)一步將三角形的面積之和問題與等差數(shù)列求和問題有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)在知識的交會處命題的特點，突出對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查.

2.4“牛頓法\"與分式平方遞推數(shù)列

對于分式平方遞推關(guān)系 4p≠0 ），考慮背景函數(shù) 的不動點方程 =x，即x2+qx-p=0.

記 α?β 為方程 x²+qx-p=0 的兩個根，則 所以 此時

，兩邊同時取對數(shù)得

所以 是一個等比數(shù)列.

例4 給定函數(shù) f（x） ，若數(shù)列 {x_n} 滿足 x_n+1= 則稱數(shù)列 {x_n} 為函數(shù) f（x） 的牛頓數(shù)列.已知 {x_n} 為 f（x）=x²-x-2 的牛頓數(shù)列， a_n= In xn+1且a1=1，xgt;2（n∈N\"），數(shù)列{an）的前n項和為 S_n ，則 ：

A. 2²⁰²⁴-1 B. D 因為 f（x）=x²-x-2 ，所以 f^′（x）=2x- 1，則

考慮方程 ，解得 x=2 或—1，故

因為 _xngt;2 ，所以 ，對式 ① 兩邊取對數(shù)得

即 a_n+1=2a_n .因此，數(shù)列 {a_n} 是以 a₁=1 為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以

故選B.

對于分式型遞推數(shù)列，若分子為二次式，分母為一次式，則可利用“不動點法”求出數(shù)列

背景函數(shù)的不動點，從而構(gòu)造等比數(shù)列求解.此題將牛頓數(shù)列與分式型數(shù)列問題相結(jié)合，可拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生的問題解決能力.

3小結(jié)

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的基本參照，是高考命題的重要背景.教材中的“探究與發(fā)現(xiàn)”“閱讀與思考”等欄目是對正文內(nèi)容的有益補(bǔ)充，適當(dāng)對其進(jìn)行挖掘和拓展有助于加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解與應(yīng)用，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有重要的作用。

（完）