圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)探秘

1圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的發(fā)展史

圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的發(fā)展史，本質(zhì)上是一段數(shù)學(xué)理論與光學(xué)技術(shù)相互成就的歷史.古希臘時(shí)期，阿波羅尼奧斯對(duì)圓錐曲線進(jìn)行了系統(tǒng)分類，為研究幾何學(xué)奠定了基礎(chǔ).與此同時(shí)，歐幾里得設(shè)想光線筆直傳播，并用數(shù)學(xué)方法研究反射定律.相傳，阿基米德利用鏡子拼成拋物面陣列聚焦陽光.這些成就展示了早期科學(xué)家對(duì)光學(xué)性質(zhì)的幾何直覺.

中世紀(jì)，阿拉伯學(xué)者海什木系統(tǒng)研究拋物面鏡的反射，提出光從物體反射入眼的路徑問題，為圓錐曲線的光學(xué)應(yīng)用提供了實(shí)驗(yàn)與理論橋梁.

開普勒發(fā)現(xiàn)行星軌道呈橢圓形，太陽位于其中一個(gè)焦點(diǎn)；伽利略通過實(shí)驗(yàn)證明拋射體軌跡為拋物線，這引發(fā)了學(xué)者對(duì)圓錐曲線在動(dòng)力學(xué)與光學(xué)領(lǐng)域共性問題的深人思考.笛卡爾則將曲線代數(shù)化，這一方法為光學(xué)反射性質(zhì)的嚴(yán)謹(jǐn)證明奠定了基礎(chǔ)，

在17—18世紀(jì)，費(fèi)馬提出的“光程最短原理”為反射定律奠定了變分學(xué)基礎(chǔ)，從而使圓錐曲線的反射性質(zhì)（如橢圓的焦點(diǎn)反射）得到了嚴(yán)格的驗(yàn)證.

圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了幾何猜想 $$ 實(shí)驗(yàn)觀測 $$ 物理應(yīng)用 $$ 數(shù)學(xué)證明的演進(jìn)，這一歷程不僅是數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯的演進(jìn)，更是人類對(duì)光與運(yùn)動(dòng)本質(zhì)的探索縮影，彰顯了圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在科學(xué)與工程的核心地位.

2圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線一定會(huì)通過另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖1所示.

雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖2所示.

拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，與拋物線的對(duì)稱軸平行的光線，經(jīng)拋物線反射后，匯聚于其焦點(diǎn)，如圖3所示.

3圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明

從數(shù)學(xué)史可以看出，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與光學(xué)的發(fā)展密不可分，要理解圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，就需要先了解光的反射定律.

3.1 光的平面反射定律

光的反射定律包含三個(gè)比較重要的結(jié)論：反射時(shí)，反射光線、入射光線與法線在同一平面內(nèi)；反射時(shí)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；反射時(shí)，反射角等于入射角（如圖4）.

3.2 光的曲面反射規(guī)律

從特殊的球面出發(fā)，如圖5所示，當(dāng)光線從球心M 射出，經(jīng)過球面反射后還會(huì)經(jīng)過球心 M ，說明此時(shí)入射光線、反射光線重合，這意味著入射點(diǎn)處的切面相當(dāng)于鏡面.同樣地，如果光線從球內(nèi)任意一點(diǎn)出發(fā)（如圖6），在人射點(diǎn)處的切面都為鏡面，球心與入射點(diǎn)的連線為法線.

因此，我們可以推導(dǎo)出一般結(jié)論：當(dāng)反射面是曲面時(shí)（如圖7），過光線的入射點(diǎn)作曲面的切面，稱該切面為鏡面，即反射平面，此時(shí)入射光線、反射光線與反射平面所成夾角相等.

這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“以

曲代直”，于是在圓錐曲線中過焦點(diǎn)的光線照射到圓錐曲面上，再經(jīng)過圓錐曲面反射時(shí)，可以將圓錐曲面在入射點(diǎn)的切面當(dāng)作反射面.有了以上認(rèn)識(shí)之后就可以證明圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).

3.3拋物線光學(xué)性質(zhì)的證明

先將光學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：如圖8所示，從拋物線 y²=2px 的焦點(diǎn) F 發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn) A（x₀，y₀） 反射，求證：反射光線平行于 x 軸.

分析如圖9所示，由反射定律可得 ∠1=∠2 ，要證明反射光線平行于 x 軸，只需證 ∠1=∠3 即可.要證∠1=∠3 ，只需證 |AF|= ∣BF∣ ，其中 ∣AF∣=x₀+" { p } } { 2 }，所以完成本次證明的關(guān)鍵是求出 ∣BF∣ ：

設(shè)在點(diǎn) A 處拋物線的切線方程為 y₀y=p（x+ x₀ ），直線 AB 為法線，與切線垂直，所以直線 AB 的方程為 ，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （x₀+ p，0） ，所以 即 |AF|=|BF| ，故反射

光線與 x 軸平行.

同樣地，結(jié)合光在曲面的反射定律，求出在入射點(diǎn)處的切線方程，通過證明入射角與反射角相等就可以證明出橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì).

因此，若問題中出現(xiàn)“從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)曲面反射”“切線”“角平分線”等關(guān)鍵信息時(shí)，可以考慮借助圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)求解.

4圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用

例1 如圖10所示，橢圓 T Φ₀），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂ 分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn) F₂ 發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn) A 和點(diǎn) B 反射后，滿足 .tan 則該橢圓的離心率為

分析根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從右焦點(diǎn) F₂ 發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn) A 和點(diǎn) B 反射后會(huì)經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn) F₁ ，由此可以補(bǔ)全光的反射路徑（如圖11）.在ΔABF₁ tan 4，于是可以得到△ABF，三邊長度的比值.設(shè) |AF₁|=3k ， |AB∣=4k ，則 |BF₁|=5k .結(jié)合橢圓的定義有

則 a=3k，∣AF₂∣=3k ，所以

故橢圓的離心率為

本題的解題思路圍繞橢圓的光學(xué)性質(zhì)展開：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)，利用這一特性將復(fù)雜的幾何條件轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)間的路徑關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.

例2 已知橢圓 c 的左焦點(diǎn)為 F₁ ，設(shè) M 是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，證明點(diǎn) M 的軌跡為圓，并求該圓的方程.

分析如圖12所示，根據(jù)題意可知線段 F₁M 的垂直平分線 l 與 C 恰有一個(gè)公共點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn) P ），則線段 F₁M 的垂直平分線 ξ_l 為橢圓的切線，而過點(diǎn) P 恰好有兩條射線分別經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，可以將其看作是入射光線與反射光線.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為

F₂ ，根據(jù)光的反射定律可知 ∠F₁PE=∠F₂PN

再結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可知 ∣PM∣=∣PF₁∣ ，且直線 ξ_l 平分 ∠F₁PM ，即 ∠F₁PE=∠MPE ，于是∠F₂PN=∠EPM. 因?yàn)?E，P，N 三點(diǎn)均在直線 ξ_l 上，所以 M，P，F(xiàn)₂ 三點(diǎn)共線

因?yàn)辄c(diǎn) P 在橢圓上，由橢圓的定義可得 ∣PF₁∣+ ∣PF₂∣=4 ，所以 ∣PM∣+∣PF₂∣=∣MF₂∣=4 ，即點(diǎn) M 到定點(diǎn) F₂ 的距離是定值，故點(diǎn) M 的軌跡為圓，軌跡方程為 （x-1）²+y²=16

例3如圖13所示，設(shè)拋物線 C：y=x² 的焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) P 在直線 ξ_l ：x-y-2=0 上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) P 作拋物線 C 的兩條切線 PA，PB ，與拋物線C 分別相切于 A，B 兩點(diǎn).證明： ∠PFA=∠PFB

分析題干出現(xiàn)了過拋物線上點(diǎn) A，B 的切線，所以考慮借助拋物線的光學(xué)性質(zhì)解決問題.因?yàn)轭}干中恰有兩條拋物線的焦半徑 FA，F(xiàn)B ，所以將 FA ，F(xiàn)B看作從焦點(diǎn)發(fā)出的入射光線，經(jīng)過拋物面反射后，反射光線應(yīng)與拋物線的對(duì)稱軸平行，即與 y 軸平行，

如圖14所示.接下來觀察圖形，因?yàn)?∠PFA 與∠PFB 在圖中沒有直接聯(lián)系，且分別在△AFP和ΔBFP 中，所以不妨先探究這兩個(gè)三角形.

觀察發(fā)現(xiàn)此時(shí)若反向延長反射光線，則延長線

與準(zhǔn)線 相交，設(shè)交點(diǎn)分別為點(diǎn) A^′，B^′ .由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知入射光線、反射光線與切線夾角相等，即 ∠MAH=∠PAF. 又對(duì)頂角相等，即∠MAH=∠PAA^′ ，所以 ∠PAF=∠PAA^′ ，同理可得 ∠PBF=∠PBB^′ .由拋物線的定義可知 ∣AF∣= |AA^′|，|BF|=|BB^′| .又公共邊相等，所以 ΔAA^′P? ΔAFP，ΔBFP?ΔBB^′P ，則 ∠PFA=∠PA^′A ∠PFB=∠PB^′B，|PA^′|=|PF|，|PB^′|=|PF|

接下來觀察 ∠PA^′A 和 ∠PB^′B ，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角均由兩部分組成，即

（20所以只需證 ∠PA^′B^′=∠PB^′A^′ .在 ΔPA^′B^′ 中，|PA^′|=|PF|，|PB^′|=|PF| ，則 |PA^′|=|PB^′| 所以 ΔPA^′B^′ 為等腰三角形，故 ∠PA^′B^′=∠PB^′A^′ 則 ∠PFA=∠PFB

本題由拋物線的切線聯(lián)想到光學(xué)性質(zhì)，核心在于以光學(xué)性質(zhì)為切入點(diǎn)，通過構(gòu)造輔助線與幾何變換，將抽象的角度問題轉(zhuǎn)化為直觀的對(duì)稱關(guān)系.通過反向延長反射光線至準(zhǔn)線，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何對(duì)稱性，再利用拋物線的定義，結(jié)合全等三角形與等腰三角形的性質(zhì)，證明 ∠PA^′A=∠PB^′B ，體現(xiàn)拋物線幾何性質(zhì)與光學(xué)規(guī)律的內(nèi)在統(tǒng)一.

例4如圖15所示，已知拋物線 E：x²=4y ，拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn) P ，過點(diǎn)（0，7）且斜率為 的直線交拋物線 E 于 A，B 兩點(diǎn)，在 A，B 處的切線交于點(diǎn) C，ΔABC 的外心為點(diǎn)D ，求 ΔABD 的面積.

分析 觀察題干條

件，此處 AC，BC 均為拋物線的切線.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可將切面視作鏡面，下一步需要尋找過焦點(diǎn)的直線作為人射光線，如圖16所示，很快可以找到PA和PB.確定人射光線后，根據(jù)反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，也即 軸，則不妨來觀察點(diǎn) A 處的反射.設(shè)入射光線與切線的夾角 ∠PAC=α ，則反射光線 AQ//y 軸，故反射光線與切線的夾角也等于 α .反向延長反射

光線與 x 軸交于點(diǎn) s ，由對(duì)頂角相等得 ∠CAS=α ，則 ∠PAS=2α .因?yàn)?2S// y 軸，所以 ∠APM=2α ：

觀察 CA 與 y 軸正方向的夾角，由平行關(guān)系可知該夾角為 α ，不妨設(shè)CB與 y 軸正方向的夾角為 β 同理可得 ∠BPM=2β ，故∠BPA=2（α+β）.

下面進(jìn)一步通過幾何關(guān)系來計(jì)算 ∠BPA 的大小.

由題意可知直線 AB 的方程為 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，聯(lián)立直線和拋物線的方程可得 ，則 -28. 又 P（0，1） ，所以

故 ，則 ∠BCA=α+ 是一個(gè)定值.

又 ΔABC 的外心為點(diǎn) D ，所以 ∠BDA= ，則 ΔABD 是等腰直角三角形，故

本題以拋物線的切線為切入點(diǎn)，巧妙運(yùn)用入射角等于反射角的光學(xué)原理，借助幾何圖形的變化將一個(gè)未知的角轉(zhuǎn)化為一個(gè)好求的角，進(jìn)而判斷出 ∠BDA 是個(gè)直角，在這一背景下計(jì)算ABD的面積就十分輕松了.

例5 如圖17所示，已知橢圓 T 點(diǎn) M（m，n） 在 T 上，且mlt;0，ngt;0 ，直線 l：mx+ 2ny=0 與 T 在第一象限的交點(diǎn)為 N ，點(diǎn) R 在線段

ON上，且 ，則直線 MR 過定點(diǎn)分析橢圓 T 在點(diǎn) M（m，n） 處的切線方程為

mx+2ny=6. 由于 ξ_l ：mx+2ny=0 ，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn) M 處的切線與 l 平行，這一發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)我們從橢圓的光學(xué)性質(zhì)入手嘗試解決問題.如圖18所示，不妨記橢圓的

左、右焦點(diǎn)分別為 F₁，F(xiàn)₂ ，則將 F₁M，MF₂ 分別看作入射光線和反射光線，所以 ∠GMF₁=∠HMF₂ .延長NO與 MF₁ 交于點(diǎn) T ，與 MF₂ 交于點(diǎn) Q ，由點(diǎn) M 處的切線與 l 平行可得 ∠MTQ=∠MQT ，故 ∣MT∣= ∣MQ∣ ：

因?yàn)辄c(diǎn) M 在橢圓上，所以 ∣MF₁∣+∣MF₂∣= ，而

∣MF₁∣+∣MF₂∣=（∣MT∣-∣TF₁∣）+ （|MQ|+|QF₂|）=2|MQ|+|QF₂|-|TF₁|， 那么 ∣QF₂∣ 與 ∣TF₁ |又有怎樣的關(guān)系呢？

不妨過點(diǎn) F_i 作 F₁S//MF₂ 交 NT 于點(diǎn) s ，則∠F₁TS=∠F₁ST ，故 ∣TF₁∣=∣SF₁ .又 ΔQOF₂? ΔSOF₁ ，所以 ∣QF₂∣=∣SF₁∣ ，則 ，故|MF₁|+|MF₂|=2|MQ| ，即

又 ，點(diǎn) R 在線段 ON 上，所以點(diǎn) Q 與點(diǎn) R 重合，故點(diǎn) R 也在線段 MF₂ 上，即直線 MR 過右焦點(diǎn)

在本題中，觀察到 ξ_l 與橢圓在點(diǎn) M 處的切線平行，從光學(xué)性質(zhì)視角入手，將切面視作鏡面，進(jìn)而找到入射光線和反射光線，再借助光的反射原理和橢圓的定義，確定線段ON上的點(diǎn) Q 滿足 ，以此判斷出點(diǎn) Q 與點(diǎn) R 重合，即確定直線MR的位置.

圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)蘊(yùn)含深刻的幾何原理，它展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家們對(duì)幾何與光學(xué)關(guān)系的卓越洞察力.通過深入理解“以曲代直\"的核心思想，不僅能掌握用切面作鏡面、用焦點(diǎn)定光路的關(guān)鍵方法，更能將這一原理靈活運(yùn)用于各類幾何問題的求解中.這一性質(zhì)生動(dòng)詮釋了數(shù)學(xué)中化歸與轉(zhuǎn)化思想的精髓一一通過幾何學(xué)與光學(xué)的聯(lián)系，將復(fù)雜的曲線反射問題轉(zhuǎn)化為直觀的角平分線問題.它啟示學(xué)生，在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科領(lǐng)域間的內(nèi)在聯(lián)系，用跨學(xué)科的視角尋找問題的突破口，這正是數(shù)學(xué)思維的魅力所在.

（完）