巧用“1\"的代換解題

“1\"是奇妙的數(shù)字，也是基本的數(shù)字，它在有些數(shù)學題中起到了缺“1\"不可的作用，“1”的代換往往能產(chǎn)生出奇制勝的效果，它不僅能建立已知條件與所求結論的聯(lián)系，而且能讓學生從整體的角度去審視問題、分析問題和解決問題

1 “1\"在三角函數(shù)中的妙用

在三角函數(shù)求值問題中，有 sin²α+cos²α=1 tan- 4 =1，….當題目中出現(xiàn)某個三角函數(shù)關系式等于“1\"時，可以考慮將它整體代換.

例1若tan θ=3 ，則

由題意可知

cosθ（sinθ+cosθ）=

點求解本題的關鍵是將原式化簡后，把分母“1”用 sin²θ+cos²θ 替換，繼而通過分子、分母同時除以 cos²θ ，實現(xiàn)了向正切的轉化，為已知條件的運用創(chuàng)造了條件.

例2若 則

解析

中 可得

所以 即tan ，則

故選D.本題根據(jù)兩角和的正切公式化簡得tan θ= ，再根據(jù)二倍角的正弦公式及同角三角函

數(shù)的基本關系得解，順利化簡的關鍵是把“1”看成

tan

例3若 sinα+sin²α=1 ，則 cos²α+cos⁴α= 因為 sinα+sin²α=1 ，且 cos²α+sin²α=1 所以 sinα=1-sin²α=cos²α ，故cos²α+cos⁴α=cos²α（1+cos²α）= sin α（1+sinα）=sinα+sin²α=1. 號本題根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關系 cos²α+ sin²α=1 化簡得s ，再將 cos²α+ cos⁴α 轉化為 sinα+sin²α ，最后利用已知條件整體代換得出答案.

2“1\"在基本不等式中的妙用

對于多元最值問題，為避免多次運用基本不等式，常常將條件等式的右側變形為“1\"的形式，然后利用\"1\"的代換將待求最值的代數(shù)式變形為可一次運用基本不等式求最值的模型，

例4 已知 ΔABC ，點 D 在線段 BC 上（不包括端點），向量 ，則 的最小值為（ ）.

A. B. 設 ，則 故 .結合 可得 x+y=1 ，且 xgt;0，ygt;0 ，故

當且僅當 ，即 時，等號成立，即 的最小值為 ，故選D.

點 本題根據(jù)向量的線性運算確定 x+y=1 ，且評 xgt;0，ygt;0 ，再將 轉化為+ 1+2）（x十y），將其展開后利用基本不等式即可求得答案.

例5 已知正數(shù) a_λ，b_λ 滿足 a+2b=1 ，則 的最小值為

由題意可得 a+1+2b=2 ，則

當且僅當 ， a+2b=1 ，即 a= 時，等號成立，故 的最小值為

根據(jù)題意可得a+1+2b ，進而利用“1”的代換將待求最值的代數(shù)式變形為 ，并結合基本不等式輕松解題.

3“1\"在其他方面的妙用

“1\"的代換作為一種整體思想，還可以用來解決其他問題，如復數(shù)中的運算、求代數(shù)式的值、解方程等，

例6設非零復數(shù) x，y 滿足 x²+xy+y²=0 ，則

A.2-1989 B.-1C. 1 D.以上答案都不對

令 y=ωx ， ω≠1 ，代人已知條件得 1+ω+ω²=0?（1-ω）（1+ω+ω²）=0， 即 ω³=1 ，則

故選B.

在復數(shù)運算中，若 ，則 ω³=1 ，-（ω+ω²）=1 ，利用該結論可以對相關復數(shù)計算問題實施“1”的代換，以減小計算量.

例7 （1）已知 ab=1 ，求 的值.

（2）若 abc=1 ，解關于 x 的方程

（1）由題意可得

（2）因為 abc=1 ，所以

則

所以

即 5x=1 ，解得

本題第（1）問根據(jù)題意將 ab=1 代入式中化簡計算即可得解；本題第（2）問將 abc=1 代入方程后化簡計算即可得解，從中可以看出“1”的代換的奧妙.

（完）