逆向思維·逆向求解

存在性問題，是判斷滿足特定條件的事物或事件是否存在，其知識覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，對學(xué)生能力要求高.反證法作為間接論證法，通過判定與論題矛盾的判斷（反論題）虛假來確立論題真實(shí).其論證過程為：先假設(shè)命題結(jié)論不成立，經(jīng)推理得出假設(shè)與已知條件、定理、公理等矛盾，從而證明原命題成立.因此，合理利用反證法，可快速解答初中數(shù)學(xué)中的存在性問題.

1代數(shù)存在性問題的反證法

代數(shù)存在性問題核心特點(diǎn)體現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）結(jié)論開放性，需判斷是否存在滿足條件的數(shù)或關(guān)系；（2）邏輯間接性，常通過反證法否定存在性；（3）構(gòu)造復(fù)雜性，需靈活運(yùn)用代數(shù)變形或不等式分析.此類問題注重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，如方程解的存在性、函數(shù)值的可能性等，要求學(xué)生突破正向思維定式，從矛盾推導(dǎo)中揭示問題本質(zhì).

例1 已知關(guān)于 x 的方程 0，是否存在整數(shù) k ，使得方程的兩個(gè)根均為整數(shù)？

解析 假設(shè)存在整數(shù) k 滿足條件，設(shè)方程兩根為 m，n（m，n 為整數(shù)）.根據(jù)韋達(dá)定理， m?n=2k② .由 ② 得 代入 ① 得 整理得 mn+2m+2n+2=0 ！配方變形 （m+2）（n+2）=2 .

因 ^m，n 為整數(shù)，故 （m+2），（n+2） 為2的整數(shù)因數(shù)對，可能組合為：（1，2）、（2，1）、（—1，—2）、 （-2，-1）

分組討論：（1）當(dāng) m+2=1，n+2=2 時(shí) .m=-1 n=0，代人k= ，驗(yàn)證方程 x²+x=0 ，根為0和—1，符合條件；

（2）當(dāng) m+2=2，n+2=1 時(shí) O，m=0，n=-1 同理 k=0 ，同上；

（3）當(dāng) m+2=-1，n+2=-2 時(shí) _m=-3，n= -4，代人 ，驗(yàn)證方程 x²+7x+12=0 ，根為-3 和一4，符合條件；

（4）當(dāng) m+2=-2，n+2=-1 時(shí) ，m=-4，n= -3，同理 k=6 ，同上.

綜上，存在整數(shù) k=0 或 k=6 ，使得方程兩根均為整數(shù).

2 幾何存在性問題的反證法

幾何存在性問題常以“是否存在\"“能否找到”等形式呈現(xiàn)，其特點(diǎn)是條件隱含性強(qiáng)，需通過逆向推導(dǎo)驗(yàn)證命題真假.此類問題對邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求較高，需結(jié)合方程、不等式、函數(shù)等知識，靈活運(yùn)用反證法的逆向思維突破常規(guī)思路.

例2在圖1所示的四邊形 ABCD 中， BC=AD ∠ADB+∠ACB=∠CAB+∠DBA=30^°. 求證： DB² +CA²=CD²

解析常規(guī)解題方法可借助構(gòu)造全等三角形來證明，該方法較為困難.使用反證法，根據(jù)已知條件BC=AD ，假設(shè) BC≠AB 則解題過程更為簡單，

證明 如圖1，設(shè)直線 AD 與 BC 相交于點(diǎn) E 業(yè)由角度關(guān)系可得： ∠E=120^° ，由此可知， CB 與

AD 的夾角為 60^° 下面用反證法證明 BC=AB .假設(shè) BC

∠ACB ，與已知條件矛盾.若假設(shè) BCgt;AB .則 ∠CAB+∠DBAgt;∠ADB+∠ACB ，同樣矛

盾.綜上， BCAB 均不成立，故 BC=AB ：則有

因此 DB²+CA²=CD² 成立.

3函數(shù)存在性問題的反證法

函數(shù)存在性問題常以方程根的存在性、函數(shù)參數(shù)范圍或變量關(guān)系為研究對象.其核心是驗(yàn)證數(shù)學(xué)對象（如解、參數(shù)、極值等）在特定條件下的存在性.此類問題需通過邏輯推理或代數(shù)運(yùn)算構(gòu)建矛盾關(guān)系，反證法則通過“假設(shè)結(jié)論不成立”反向推導(dǎo)矛盾，從而證明原命題成立.

例3是否存在實(shí)數(shù) Ψ_m ，使得二次函數(shù) f（x）= x²+mx+5 在實(shí)數(shù)域內(nèi)無零點(diǎn)？

解析 假設(shè)存在實(shí)數(shù) Ψ_m ，使得方程 x²+mx+5

Θ= 0 無實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次方程根的判別式，無實(shí)根需滿

足 ，即 若存在 Σ_m ，

則對于任意 x，x²+mx+5=0 取 .代人得 若 則 此時(shí) ，與假設(shè)矛盾，故原假設(shè)不成立，

即不存在實(shí)數(shù) Σ_m 使 f（x） 在實(shí)數(shù)域內(nèi)無零點(diǎn).

4動點(diǎn)存在性問題的反證法

動點(diǎn)問題是幾何與代數(shù)結(jié)合的典型題型，核心在于分析點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程.解題時(shí)需明確動點(diǎn)的約束條件，通過設(shè)定參數(shù)建立方程，再結(jié)合幾何性質(zhì)求解.當(dāng)直接構(gòu)造解有困難時(shí)，可假設(shè)存在性后推導(dǎo)矛盾，或通過代數(shù)計(jì)算驗(yàn)證無解情況，體現(xiàn)逆向思維的應(yīng)用.

例4在平面直角坐標(biāo)系中， A 點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，0），B 點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）.動點(diǎn) P 以每秒1單位的速度從 A 出發(fā)沿 x 軸正方向移動， Q 從 B 出發(fā)沿 x 軸負(fù)方向移動， R 從原點(diǎn)沿 y 軸正方向移動.問：是否存在時(shí)刻 χ_t ，使得ΔPQR 為等邊三角形？若存在，求 Ψ_tΨ_Ψ 的值；若不存在，說明理由.

解析 假設(shè)存在滿足條件的 χ_t ，則 Ω_tgt;0

設(shè) P（t，0），Q（4-t，0），R（0，t）.

則 ΔPQR 的三邊長度可分別表示為：

PQ=∣（4-t）-t∣=∣4-2t∣，

（204號

當(dāng) ΔPQR 為等邊三角形時(shí)，

PQ=PR=QR ，

聯(lián)立方程，由 PQ=PR .

得

解得 ，將 t 代人 QR 表達(dá)式驗(yàn)證，計(jì)算得 ，結(jié)果相等，故存在 滿足條件.

5結(jié)語

反證法作為逆向思維的典型代表，通過否定假設(shè)、揭示矛盾的邏輯路徑，不僅強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)學(xué)定理的深層理解，更培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐行运季S.教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生掌握反證法的適用場景與步驟，結(jié)合代數(shù)變形、幾何分析與函數(shù)性質(zhì)，將抽象問題具象化.同時(shí)，通過動點(diǎn)問題等綜合題型的訓(xùn)練，幫助學(xué)生建立“假設(shè)—推導(dǎo)一驗(yàn)證”的解題模型，為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ).反證法的靈活運(yùn)用，不僅是解題技巧的提升，更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.