不等式證明的多種方法及其選用策略

1引言

不等式證明是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要課題，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決依賴于對(duì)不等式的深刻理解和熟練運(yùn)用.掌握多種不等式證明方法，就意味著在面對(duì)不同類型的不等式時(shí)，學(xué)生可以選擇最合適的方法來(lái)簡(jiǎn)化證明過(guò)程，而這不僅是學(xué)生完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求，也是研究和解決更復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵.因此，結(jié)合例題展開相關(guān)的研究闡述極具現(xiàn)實(shí)教育價(jià)值，

2 反證法

反證法作為經(jīng)典數(shù)學(xué)證明方法之一，其核心內(nèi)容是通過(guò)否定假設(shè)結(jié)論，推理矛盾，間接證明原命題的正確性.反證法在證明一些形式復(fù)雜或者涉及多個(gè)條件的不等式時(shí)較為常用.反證法的優(yōu)勢(shì)在于能夠通過(guò)推翻不可能的假設(shè)來(lái)間接地確認(rèn)原命題的成立[1-2].

例1已知 x，y 都是正實(shí)數(shù)，且 x+y?2 （1）求 x²+y² 的最小值；

（2）求證： 和 至少有一個(gè)成立.

解析本題考查用反證法證明命題.在解答證明題時(shí)，對(duì)于一些條件相對(duì)較少或者證明時(shí)需要分類討論的題型，可以試用此方法證明問(wèn)題.本題中的證明結(jié)論結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來(lái)證明結(jié)論成立.

（1）解 因?yàn)?x，y 都是正實(shí)數(shù)，且 x+y?2 .所以

當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)等號(hào)成立，

所以

所以 x²+y² 的最小值為2.（2）證明 假設(shè) 和 都不成立，即 和 1+ygt;2同時(shí)成立.

因?yàn)?xgt;0 且 ，

所以 1+xgt;2y ，且 1+ygt;2x ，

兩式相加得 2+x+ygt;2x+2y

所以 x+ylt;2 ，

這與已知條件 x+y?2 矛盾，

所以 和 至少有一個(gè)成立.

點(diǎn)評(píng)有些不等式無(wú)法從正面證明，可以考慮反證法.含有“至少\"“唯一”或否定詞的命題，適宜用反證法.

3比較法

比較法是不等式證明中常用的方法之一，具體劃分為作商法和作差法，雖然兩種方法的使用條件有所差異，即作商法通過(guò)構(gòu)造比值揭示比例關(guān)系，作差法則基于構(gòu)造差值分析增減變化，但兩者都能夠幫助學(xué)生簡(jiǎn)化不等式，進(jìn)行合適的推導(dǎo)，并最終得出結(jié)論[3-4].

例2 已知函數(shù) f（x）=|x|+|x-3| （1）求不等式 f（x）lt;4-|x| 的解集；

（2）若 f（x） 的最小值為 λ_m ，且實(shí)數(shù) a，b，c 滿足a（b+c）=m ，證明： 2a²+b²+c²≥m+3.

解析本題考查絕對(duì)值不等式的解法、不等式的證明，以及學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.解題過(guò)程中只需通過(guò)去掉絕對(duì)值符號(hào)，簡(jiǎn)化不等式求解，并由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得出結(jié)果 m=3 ，然后利用重要不等式完成證明即可.

（1）解 不等式 f（x）lt;4-|x| ，可化為 2∣x∣+∣x-3∣lt;4. ① 當(dāng) x?0 時(shí)，不等式可化為 -2x-（x-3）lt;4 即 -3xlt;1 由此可得解 ，故 ：② 當(dāng) 0 ，顯然與 x?3 矛盾，不等式無(wú)解.綜上，不等式 f（x）lt;4-|x| 的解集為

（2）證明 由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，

|x|+|x-3|?|x-（x-3）|=3，

所以當(dāng) 0?x?3 時(shí)取得等號(hào)， f（x） 的最小值為3，

即 m=3 ，所以 a（b+c）=3 即 ab+ac=3 ，所以 2a²+b²+c²=（a²+b²）+（a²+c²）? 2ab+2ac=6 .即 2a²+b²+c²≥m+3 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)且次數(shù)較低時(shí)優(yōu)先考慮 作差法，指數(shù)形式或者冪次較高且兩邊為正數(shù)時(shí)可 嘗試作商法，兩邊式子正負(fù)不確定時(shí)作差法更通用， 兩邊式子均為正數(shù)時(shí)可考慮作商法.

4結(jié)語(yǔ)

總之，不等式的證明方法是多種多樣的，常見有直接證明法、數(shù)字歸納法、函數(shù)單調(diào)性法、比較法等.而要選擇合適的證明方法，需要學(xué)生具體進(jìn)行不等式形式、問(wèn)題上下文，以及證明技巧等的深入分析與總結(jié)，同時(shí)也需要學(xué)生對(duì)每種證明方法的特點(diǎn)、適用范圍等有扎實(shí)的了解，只有充分掌握這些方法并能靈活運(yùn)用，學(xué)生才能夠有效提高不等式證明的效率和準(zhǔn)確性.

參考文獻(xiàn)：

[1]張立青.不等式證明中的常用方法歸納[J].數(shù)理天地（高中版），2024（19）：2-3.

[2]尹丹青.不等式的證明方法賞析[J].中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2022（116）：33-34.

[3」杜成北，陳景文.一道多參不等式證明方法探究LJ」.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（3）：53-54.

[4]湯曉玲.不等式證明的幾種解題方法[J].數(shù)理化解題研究，2021（19）：66—67.