淺談初中數(shù)學(xué)開放性試題

隨著教育領(lǐng)域的不斷改革，開放性試題作為一種極其重要的題型，不僅契合核心素養(yǎng)的考查需求，還高度符合當(dāng)下新課程的評價理念.此類題型能夠幫助學(xué)生打破固有的解題思維定式，開拓學(xué)生的思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的求知欲.

1 條件開放型

例1琦琦和芬芬兩位同學(xué)各添加一個條件，求二次函數(shù) y=x²+bx+c 的表達(dá)式.

琦琦：“函數(shù)圖象關(guān)于直線 x=1 對稱，且經(jīng)過點（2，-1） .”芬芬：“函數(shù)圖象經(jīng)過點 （0，-3） .（1，4）.\"

（1）請根據(jù)其中一位同學(xué)所添加的條件，寫出二次函數(shù) y=x²+bx+c 的表達(dá)式 ；

（2）寫出一組 ^b，c 的值，使二次函數(shù) y=x²+ bx+c 的圖象與 x 軸有兩個不同的交點，并說明理由；

（3）在題（2）的條件下，如果點 P（m，n） 在該二次函數(shù)圖象上，求 m+n 的最小值.

解題思路 本題主要考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的最值問題.

利用琦琦的條件求解二次函數(shù)的解析式：依據(jù)已知條件結(jié)合二次函數(shù)的對稱性，求解 b 的值；然后

將 b 的值代入 y=x²+bx+c 中，即可求算出 c 的值；

最后便可得出二次函數(shù)的解析式.

利用芬芬的條件求解二次函數(shù)的解析式：根據(jù)已知條件，將點 （0，-3），（1，4） 代入 y=x²+bx+ c 中，分別求算出 b 和 c 的值，即可得出二次函數(shù)的解析式.

任選一組 b 和 c 的值，利用判別式 Δ=b²-4ac 判斷該二次函數(shù)與 x 軸的交點.判別式大于零，即可說明該二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個不同的交點.

解析 （20號 （1）① 選琦琦：因為函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1 對稱，且經(jīng)過點 （2，-1） ，所以 ，進(jìn)而可解得 b=-2

將 b=-2 代人 y=x²+bx+c 中，可得 y=x²-2x+c ：又因為函數(shù)圖象經(jīng)過點 （2，-1） ，所以 -1=2²-2×2+c ，可解得 c=-1 綜上所述，二次函數(shù)的表達(dá)式是 y=x²-2x-1 ② 選芬芬：將點 （0，-3），（1，4） 代人 y=x²+ bx+c 中，可得 ，解得因此二次函數(shù)的表達(dá)式是 y=x²+6x-3 （任選其一即可）（2）例如， ?b=3，c=1 4此時 y=x²+3x+1 因為 3²-4×1×1=5gt;0

所以二次函數(shù) y=x²+3x+1 的圖象與 x 軸有

兩個不同的交點.（答案不唯一）（3）因為點 P（m，n） 在該二次函數(shù)圖象上，所以 n=m²+3m+1 所以 m+n=m²+3m+1+m=m²+4m+1

=（m+2）²-3. 因為 （m+2）²?0 所以 m+n 的最小值是—3.（答案不唯一，與上一問對應(yīng)即可）

2 結(jié)論開放型

例2假設(shè)二次函數(shù) y=ax²+bx+c（a≠0 b 是實數(shù)）.已知函數(shù)值 y 與自變值 x 的部分對應(yīng)取值如表1所示：

（1） ① 求二次函數(shù)的表達(dá)式；② 任寫一個符合條件的 x 的取值范圍，使得 y 隨 x 的增大而增大.（2）如果 M（m，n） 是該拋物線上一點，且-2

解題思路 本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求解、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值問題.

將表1中的三組數(shù)據(jù)逐一代人二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式 y=ax²+bx+c 中，便可得到一個三元一次方程組，求解該方程組，即可得出 a，b，c 的值，最后便可確定二次函數(shù)的表達(dá)式.

根據(jù)二次函數(shù)的解析式，即可明確該函數(shù)的開口方向和對稱軸，進(jìn)而判斷出此函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性.

將點 M（m，n） 代入二次函數(shù)的解析式中，即可得出 n 與 m 的關(guān)系表達(dá)式，再根據(jù) m 的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，便可求解出 Ω_n 的取值范圍.

解析 （20號 （1）① 將點 （-1，10） ，（0，5），（2，1）

代人 y=ax²+bx+c 中，可得 .{a=1，進(jìn)而可解得 b=-4 ，c=5，因此二次函數(shù)的表達(dá)式是 y=x²-4x+5 ②xgt;8 （符合 xgt;2 即可），因為 y=x²-4x+5=（x-2）²+1， 所以拋物線開口向上，對稱軸是直線 x=2 所以當(dāng) xgt;2 時， y 隨 x 的增大而增大.（2）將點 M（m，n） 代人 y=x²-4x+5 可得 m²-4m+5=n ：當(dāng) m=-2 時，

n=（-2）²-4×（-2）+5=17; 當(dāng) m=2 時，n=2²-4×2+5=1; （當(dāng) m=4 時，

n=4²-4×4+5=5. （204號所以當(dāng) -2

3結(jié)語

本文通過對兩道例題的分析，分別探討了“條件開放型”和“結(jié)論開放型”試題，由此不難發(fā)現(xiàn)，開放性試題與傳統(tǒng)的封閉性試題相比，前者的解題過程更具復(fù)雜性和多變性.開放性試題不僅考查了學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的掌握程度，還格外關(guān)注學(xué)生在解題過程中的邏輯思維能力和審題分析能力.另外，由于開放性試題的答案并不固定，這就為學(xué)生提供了相對廣闊的思維空間，極大地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.