初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題方法探究

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一.為了更好地幫助學(xué)生理解與掌握二次函數(shù)的解題方法，本文從利用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式展開探討.

1利用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式

頂點(diǎn)式是二次函數(shù)的一種重要形式，其表達(dá)式為 y=a（x-h）²+k ，其中 （h，k） 是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，在利用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式時(shí)，其關(guān)鍵是確定頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向.

例圖1是某城市地下排水隧道的截面圖，隧道輪廓為某拋物線一部分，工程師在旱季測(cè)量得到隧道寬度為 OA=20 米，此時(shí)水面截痕 BC=10 米，水面到隧道水平面OA的距離為7.5米，以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，解決如下問題：

（1）求隧道輪廓的函數(shù)表達(dá)式，并求此時(shí)的最大積水深度為多少米.

（2）在雨季水位上升，測(cè)得水面到 OA 的距離為3.6米，求此時(shí)水面截痕DE的長(zhǎng).

（3）在（2）的條件下，工程師乘坐檢修車行駛到隧道正中央，向隧道的右側(cè)壁水平拋出檢測(cè)設(shè)備，設(shè)備恰好落到點(diǎn) E 處，已知設(shè)備運(yùn)動(dòng)過程中到水面最大距離為8米，若工程師當(dāng)前拋出設(shè)備的初速度與角度不變，要使設(shè)備落到隧道的一側(cè)（即點(diǎn)A右側(cè)），求檢修車至少要向右行駛多少米.

解析本題目在考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用的同時(shí)，需要借助頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式.

在（1）中根據(jù)題意，先求出點(diǎn) B 點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；第（2）問中先得到點(diǎn) D 和點(diǎn) E 的縱坐標(biāo)為－3.6，代人 值求出 x 值，即可求出DE的長(zhǎng)；（3）則是利用待定系數(shù)法求解檢修車在DE中間時(shí)檢測(cè)設(shè)備的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式，再設(shè)向右行駛 n 米的解析式，把 A 點(diǎn)坐標(biāo)代人求出 n 的值即可.

（1）如圖2所示，過點(diǎn) B 作 BG⊥x 軸于點(diǎn) G

由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得 BG=7.5 所以 B（5，-7，5） 因?yàn)?OA=20 ，所以 A（20，0） 設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為 _y=ax（x-20） ，將 B（5

—7.5）代人，得 -7.5=a×5（5-20） ，解得 ，

所以二次函數(shù)表達(dá)式為 所以二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為 -10 ，此時(shí)最大水深為 10-7.5=2.5（ （米）.

在雨季時(shí)水面到 OA 的距離是3.6米，令 y=-3.6 ，即 解得 x₁=2，x₂=18 所以 x₂-x₁=16 ，所以此時(shí)水面截痕 DE 的長(zhǎng)為16米.（3）由題易知檢測(cè)設(shè)備的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，

如圖2，設(shè) DE 的中點(diǎn)為 F ，檢測(cè)設(shè)備運(yùn)動(dòng)軌跡的頂

點(diǎn)是點(diǎn) P ，所以 F（10，-3.6） ·由（2）知 E（18，-3.6） ，檢測(cè)設(shè)備運(yùn)動(dòng)過程中到水面最大距離是8米，

且經(jīng)過 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)，所以 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以 P（14，4，4） ：設(shè)檢測(cè)設(shè)備運(yùn)動(dòng)的軌跡拋物線的表達(dá)式為 y=

k（x-14）²+4.4 ，將 F（10，-3.6） 代人得 -3.6=

k（10-14）²+4.4， 解得 所以 設(shè)向右行駛 n 米，檢測(cè)設(shè)備落到 A 點(diǎn)，此時(shí)拋物

線表達(dá)式為 將 A（20，0） 代人可得 解得 （舍去），或n=6-2√55.綜上，檢修車至少要向右行駛 米.

2 結(jié)語(yǔ)

通過基于利用頂點(diǎn)式對(duì)二次函數(shù)解題方法進(jìn)行深入分析和研究，肯定了其解決二次函數(shù)問題的有效性，同時(shí)進(jìn)一步分析了其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理與邏輯，這為學(xué)生解決二次函數(shù)問題提供了有效工具，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與解題能力.在具體教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用這些解題方法，在實(shí)踐中掌握解題技巧.

參考文獻(xiàn)：

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[2」王建勤.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題方法與技巧J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（8）：71—72.