借助幾何直觀 解析數(shù)量關系

幾何直觀是數(shù)學核心素養(yǎng)“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界\"的主要表現(xiàn)之一，其主要是指利用圖表描述和分析問題的意識與習慣。幾何直觀有助于學生把握問題的本質，明晰思維的路徑。從《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下通稱“新課標\"）對幾何直觀內涵和作用功能的描述中可以看出，幾何直觀不僅可以把復雜和抽象的問題變得簡明、形象、生動，還可以幫助學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題。

一、借助幾何直觀理解數(shù)量關系的價值

在學生理解數(shù)量關系時，幾何直觀有五個方面的價值：一是便于可視化。能將抽象的數(shù)量關系轉化為直觀的圖形、圖像等可視形式。例如，把復雜的函數(shù)關系用坐標圖呈現(xiàn)，或者用圖形表示工程進度與時間的關系，讓人一眼就能“看\"到數(shù)量之間的關聯(lián)，降低理解難度。二是便于增強記憶?？梢暬某尸F(xiàn)方式更利于大腦記憶。相較于單純記憶公式、數(shù)字等抽象內容，通過觀察幾何直觀所展現(xiàn)的具體圖形、實例，學生更容易記住數(shù)量關系的特點及變化規(guī)律，回憶起來也更便捷。三是便于快速理解數(shù)量關系的本質。幾何直觀能幫助學生快速理解數(shù)量關系的本質。以“購物時折扣與總價的關系”為例，用圖形劃分表示原價和折扣價，學生能迅速明白折扣高低對總價的影響，無需復雜的計算推導，可在短時間內理解數(shù)量關系的核心要點。四是便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系中的潛在規(guī)律。例如，在觀察數(shù)列對應的點在坐標圖上的分布時，學生會直觀地發(fā)現(xiàn)這些點呈現(xiàn)出某種線性或非線性規(guī)律，進而深入探究數(shù)量關系背后的邏輯，并進行預測和分析。五是便于溝通交流。在教學、團隊合作等場景中，幾何直觀是一種很好的溝通工具。用圖形解釋數(shù)量關系，不同知識水平的學生都能更輕松理解，能有效避免因對抽象表述理解不一致而產(chǎn)生的溝通障

礙，確保信息準確傳達。

二、打造理解數(shù)量關系的幾何直觀載體

一是利用實物教具(小棒、積木、珠子等實物)理解數(shù)量關系。例如，用小棒演示加法，讓學生直觀看到幾根小棒和另外幾根小棒合在一起的數(shù)量變化，理解加法就是把兩部分數(shù)量合并的運算，從而明白數(shù)量增加的關系。用積木搭建不同的造型，如搭建長方體時，讓學生數(shù)出每層積木的塊數(shù)以及層數(shù)，理解乘法是幾個相同加數(shù)相加的簡便運算，像每層3塊積木，搭了4層，就是4個3相加，用乘法 3×4 表示，建立起乘法與數(shù)量關系的聯(lián)系。

二是繪制簡單圖形理解數(shù)量關系。教師應鼓勵學生自己動手畫圖形來表示數(shù)量。例如，畫圓形表示蘋果，畫幾個圓形就代表有幾個蘋果。如果要表示吃掉了一部分蘋果，就可以把相應數(shù)量的圓形涂掉，讓學生通過觀察剩余圓形的數(shù)量，理解減法中數(shù)量減少的關系。畫線段圖表示路程、速度和時間的關系，用一條線段表示一段路程，在線段上按一定比例劃分出不同時間段走過的路程，幫助學生理解隨著時間變化，路程也會相應改變的數(shù)量關系。

三是借助生活場景理解數(shù)量關系。在日常生活場景中，教師可引導學生運用幾何直觀理解數(shù)量關系。例如，在購物時，教師可讓學生觀察商品的標價簽，用長方形表示商品的總價，把長方形按照單價劃分成若干等份，每一份代表一件商品的價格，明白總價和單價、數(shù)量之間的關系（總價 Σ=Σ 單價 ?× 數(shù)量)。在分水果時，把水果擺放成幾行幾列，用行數(shù)和列數(shù)來表示數(shù)量，讓學生理解平均分與除法的關系，如一共有12個水果，擺成3行4列，那么 12÷3=4 ，即每行有4個水果，通過這樣的生活場景讓學生在實際操作中感受數(shù)量關系。

四是開展游戲活動理解數(shù)量關系。教師可設計一些有趣的游戲來強化學生對數(shù)量關系的理解。例如，玩“數(shù)字拼圖\"游戲，把一幅完整的圖片按照一定的數(shù)量關系分成若干小塊，分成幾行幾列，每小塊上標有數(shù)字，學生需要根據(jù)數(shù)字的排列順序和數(shù)量關系把圖片拼好，在游戲過程中感受數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)量的組合關系。還可以玩“搭房子\"游戲，規(guī)定用一定數(shù)量的積木搭建房子，讓學生根據(jù)自已的理解分配積木的使用，如用多少塊做墻、多少塊做屋頂?shù)?，在這個過程中理解數(shù)量的分配和整體與部分的數(shù)量關系。

五是運用多媒體資源理解數(shù)量關系。教師可利用動畫片、教育軟件等多媒體資源輔助教學。有些動畫片會巧妙地把數(shù)量關系融入故事情節(jié)中，通過動畫角色的活動展示數(shù)量的變化，學生可以直觀地看到這些變化并理解其中的數(shù)量關系。教育軟件則可以提供互動式的學習體驗，如讓學生通過觸摸屏幕操作圖形來理解數(shù)量關系，在玩的過程中提升對數(shù)量關系的理解能力。

三、利用幾何直觀分析數(shù)量關系的策略

（一）借助幾何直觀的可視化，化抽象為形象

數(shù)學的抽象性與小學生以具體形象思維為主的矛盾是客觀存在的，幾何直觀因其特有的直觀形象性，與小學生的思維規(guī)律合拍，正是化解這一矛盾的有力抓手。在教學中，教師可借助幾何直觀的形象性，為學生理解數(shù)學的抽象性提供可視化的思維支撐，有效破解學生的思維難點。分析數(shù)量關系是解決問題的核心，當數(shù)量關系抽象時，幾何直觀的形象性，便于學生簡潔明了地看懂題目中的各種數(shù)學信息，并找出各種信息之間的數(shù)量關系，化抽象為形象。

例如，在教學一年級“做操排隊成一行，笑笑的左邊有5個小朋友，右邊有6個小朋友，這一行共有多少個小朋友？”問題解決時，這道題隱藏著一個條件，對于一年級的學生來說，數(shù)量關系抽象。當學生出現(xiàn)思維“卡殼\"時，教師啟發(fā)學生把笑笑排隊的隊伍畫出來。此時的畫圖，正是基于學生的需求，因此，學生不難畫出如下示意圖：

5人 笑笑 6人0000o?○0000o？人

抽象的數(shù)量關系因為幾何直觀變得直觀、形象、可感，原來隱藏的數(shù)量關系也清楚地展示在學生的眼前，學生從中能感受到幾何直觀的作用。

(二)借助幾何直觀的可視化，化錯誤為資源

學習是一個不斷試錯、出錯、糾錯的過程。學生在問題解決中出現(xiàn)錯誤是很正常的，關鍵是教師要善于預設學生的錯誤，并借助幾何直觀，幫助學生厘清錯誤的根源。

例如，在教學人教版小學數(shù)學教材四年級下冊“問題解決”一“人才小學原來有一個長方形花圃，長50米，寬40米。擴建花圃時，花圃的長和寬都增加了10米。花圃的面積增加了多少平方米？\"時，多數(shù)學生僅憑字面上的理解很容易列出了 10×10=100 （平方米）”的算式。此時，教師不急于評價學生的對錯，而是借機設問：這樣列式對嗎？請你想辦法證明。為了證明自已的解法是正確的，學生自然會想到畫圖，把題目的意思畫出來。學生借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)解法錯了，面積增加的部分不是邊長為10的小正方形，而是一個不規(guī)則的圖形，應該用“大面積減去小面積等于增加部分的面積”的數(shù)量關系列式。學生利用幾何直觀，不僅發(fā)現(xiàn)了錯誤所在，還用常規(guī)解法得出正確的結果，初步感受幾何直觀的作用。教師乘機追問：“如果不用大面積減小面積的方法，還有其他方法嗎？”思考片刻后，學生又把不規(guī)則圖形轉化為兩個或三個規(guī)則圖形，獲得多種解法，又一次感受幾何直觀的作用。

（三)借助幾何直觀的可視化，化復雜為簡潔

數(shù)學中的簡潔美不僅表現(xiàn)在公式美上，也體現(xiàn)在幾何直觀給解題帶來的解法簡潔美上。為此，教師應創(chuàng)設問題情境，借助幾何直觀引領學生感悟解題方法的簡潔之美，感受幾何直觀化復雜為簡潔的作用。

例如，在教學分數(shù)問題“巧巧是個愛讀書的同學，計劃分三次讀完一本科技書。按計劃巧巧第一次讀了這本科技書總頁數(shù)的 ，第二次讀了余下的 了12頁，這本書共有多少頁？\"時，這道題有多種思路一順向思維、逆向思維、直觀思維。教師可以先引導學生經(jīng)歷順向思維和逆向思維兩種方法分析數(shù)量關系。

方法一：以科技書的總頁數(shù)為單位“1”，把第二次讀了余下的 轉化總頁數(shù)的 則第三次讀了總頁數(shù)的 ， ，12頁相當于總頁數(shù)的 故得，這本書共有 12÷ （頁）。

方法二：把這本書余下的頁數(shù)看作單位“1”，則第三次讀了余下的 第三次比第二次多讀了余下頁數(shù)的 12頁相當于余下頁數(shù)的 ，求得余下的頁數(shù)是 （頁），60頁相當于總頁數(shù)的 故得，這本書有 180(頁)(如圖1)。

當學生體驗到兩種解法分析數(shù)量關系的繁難后，教師提出問題：“數(shù)學是數(shù)形結合的，你們從數(shù)的角度用順向、逆向兩種思維分析了這道題的結果。轉一個角度，能不能從形的角度來分析這道題呢？”在問題的激勵和方法一的啟發(fā)下，學生以直觀思維分析：把這本書的總頁數(shù)看成一個長方形，平均分成15份，第一次讀了10份，第二次讀了2份，第三次讀了3份，從圖上直觀看出1份是12頁，全書15份，即12×15=180 （頁）。

總之，幾何直觀因其可視化，能較好地處理學生思維形象與數(shù)學抽象之間的矛盾，有助于學生明晰思維的路徑，是分析數(shù)量關系的有效抓手。

參考文獻：

[1]章勤瓊.素養(yǎng)導向的小學數(shù)學單元整體教學[M].北京：教育科學出版社，2024.

[2]吳正憲，武維民，張秋爽.小學數(shù)學結構化單元教學叢書[M].北京：教育科學出版社，2023.

（責任編輯：楊強）