概率統(tǒng)計中的遞推數(shù)列模型化的教學歷程

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）18-0041 -03

因校際交流，筆者受邀開展概率統(tǒng)計中的遞推數(shù)列問題二輪復習公開課.概率與數(shù)列的綜合問題因處于知識交匯處，深受命題人青睞，成為近年高考熱點，此類問題以全概率公式與馬爾科夫鏈為核心，對學生的數(shù)列基礎要求較高[1].教學準備過程中，近年來成為高考熱點“后驅(qū)型遞推數(shù)列”這一知識點引發(fā)了筆者的關注.該知識點是學生普遍存在的知識盲區(qū)，為攻克這一難點，筆者采用模型化教學法，以模型為中心，幫助學生理解和應用知識，取得了良好的教學效果.

下文為一堂專題課的設計內(nèi)容，著眼于落實“四基”“四能”的教學自標，旨在提升學生的深度思維能力與核心素養(yǎng).

1 例題呈現(xiàn)

例1 （無吸收壁）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.5，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.求第 i 次投籃的人是甲的概率.

分析根據(jù)吸收壁模型理論，本題屬于無吸收壁類型，只需運用全概率公式推導遞推關系式.本題的設計目的在于為后續(xù)例題奠定基礎，同時與帶有吸收壁的問題形成對比并進行區(qū)分.

記\"第 i 次投籃的人是甲”為事件 A_i ，“第 i 次投籃的人是乙”為事件 B_i ，設 P（A_i）=p_i ，依題可知

P（B_i）=1-p_i. 則P（A_i+1）=P（A_i）P（A_i+1∣A_i）+P（B_i）P（A_i+1∣B_i）， （2P Ω_i+1=0.5p_i+（1-0.8）Ω?（1-p_i）=0.3p_i+0.2 所以{pi- 構成公比為 的等比數(shù)列.所以pi=

例2（雙側吸收壁）在一項研究中，某實驗室開發(fā)了兩種新型藥物，分別命名為甲藥與乙藥.為了評估這兩種新藥對于特定疾病的療效差異，研究人員設計了一項使用白鼠的實驗方案.該方案規(guī)定，在每一試驗周期內(nèi)隨機挑選兩只白鼠作為受試對象，并對這兩只白鼠施以不同藥物處理：一只接受甲藥注射，另一只則給予乙藥治療.每完成一個周期后，將根據(jù)觀察到的結果決定是否繼續(xù)下一階段的對比測試.實驗終止條件設定為當任意一種藥物成功治愈的白鼠數(shù)量超過另一種至少四個單位時，則認為該種藥物具有更高的療效.為了簡化分析過程，筆者進一步明確了評分規(guī)則：如果僅使用甲藥的白鼠被治愈而用乙藥的白鼠未見好轉，則給甲藥記一分；反之亦然;若兩組樣本均表現(xiàn)出相同的狀態(tài)（即全部康復或無一恢復），則兩者均不計分.設甲、乙兩藥各自的有效率分別為 α 和 β ，在單次實驗循環(huán)里，甲藥所獲得的成績用變量 X 來表示.

（1）求隨機變量 X 的概率分布列；

（2）若一開始試驗時甲乙兩種藥物都賦予基礎分4分， ?p_i（i=0，1，…，8） 定義為“甲種藥物的累計得分為 i 時，最終認為甲種藥物比乙種藥物更具有療效”的概率，則 p₀=0，p₈=1，p_i=ap_i-1+bp_i+cp_i+1（i =1，2，…，7） ，其中 a=P（X=-1），b=P（X=0），c =P（X=1） .假設 α=0.5，β=0.8. 對 p₄ 進行求解，并依據(jù) p₄ 所得結果對該實驗方案的合理性提供解釋.

筆者在教學過程中針對題目中的幾個難點分開處理.

難點 1：p_i 的理解. p_i 表示“甲藥的累計得分為 i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，而不是表示“甲藥累計得分為i”的概率.雖然題目中明確給出了 p_i 的定義，但學生還是需要反復研讀才能真正理解 p_i 的定義，教師不能理所當然地認為學生應該懂，事實上可以結合 p₀=0，p₈=1 的意義幫助學生理解.

難點 2：p₀=0，p₈=1 的理解.若甲藥最終累計得分為0時，一定會滿足乙藥治愈的白鼠比甲藥多四只，則試驗停止，所以認為乙藥更有效，所以 p₀ =0 p₈=1 也是同理.最終甲藥得分只有0或8兩種情況.本題屬于雙側吸收壁隨機游走問題， p₀=0 ，p₈=1 相當于模型中的兩個吸收壁.

難點 3：p_n 的遞推關系式.本題求解 p_n 的關鍵在于分析后續(xù)事件發(fā)生的概率，基于此，筆者將其提煉為后驅(qū)型遞推數(shù)列這一概念，這一表述雖不嚴謹，但在實際課堂教學中，學生反響良好.

第（2）問直接給出了 p_i-1，p_i，p_i+1 的關系式，第（1）問讓學生求 p_i+1-p_i 的遞推關系，而 p_i-1，p_i ，p_i+1 的關系式顯得來歷不明，筆者在完整梳理題目條件與求解后，明確本堂課的教學重點就是探究題目中遞推關系式的推導邏輯.當甲的當前得分為 i 時，其后續(xù)得分可能為 i-1，i，i+1. 為加深學生對本題的理解，筆者讓學生合上書，隨后在顯示屏上投影題目并隱去遞推關系式，要求他們在紙上自主推導 p_i 的遞推關系式.結果顯示，不少學生寫出了錯誤答案 p_i=cp_i-1+bp_i+ap_i+1 ，即 p_i=P（x=1）?p_i-1 +P（x=0）?p_i+P（x=-1）?p_i+1 ，正確答案是 ?_pi =ap_i-1+bp_i+cp_i+1 .筆者將正確答案與錯誤答案醒目地寫在黑板上，形成鮮明的對比.學生出現(xiàn)錯解在預料之中，不少學生查看教材后露出驚訝神情，這一反應表明，他們慣性沿用例1的解題思路，將 p_i 錯誤地理解為“甲藥累計得分為 i ”的概率，而對 p_i 的正確理解應是“甲藥的累計得分為 i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率.對此，筆者并沒有急于解釋錯誤原因，而是邀請數(shù)位同學分享個人見解，以促進課堂的思維碰撞與交流.根據(jù)題目規(guī)定，在甲累計得分為 i-1，i，i+1 時，甲最終獲勝的概率分別為Pi-1，Pi，Pi+1·當甲的累計得分是i時，下一次試驗甲累計得分可能為 i-1，i，i+1 ，甲最終獲勝的概率由全概率公式知應包含 p_i-1，p_i，p_i+1 三種情況.為方便學生理解，筆者在黑板上畫了關于 i 與 p_i 的兩幅樹狀圖，學生接受效果良好.在關于 p_i 的全概率公式中，累計得分由 i 變?yōu)?i-1 時， p_i-1 應乘以 P（x=- 1）而不是 P（x=1） .從樹狀圖（圖1）中學生很容易得到一個直觀的結論;后面事件發(fā)生的概率 p_i-1 ，p_i，p_i+1 決定了前面事件發(fā)生的概率 p_i ，具有這樣特征的遞推數(shù)列可以稱之為后驅(qū)型遞推數(shù)列.很明顯學生對這樣的后驅(qū)型遞推數(shù)列還很不適應.

本堂課旨在將這道高考題講通講透，給予學生充足的思辨時間，引導他們在辨析過程中深入感悟后驅(qū)型遞推數(shù)列相較于其他類型的獨特之處.

剛好2024年武漢二調(diào)很應景地考了一道與此相關的題目.

例3（多吸收壁）當微粒懸浮于液體或氣體中時，它們表現(xiàn)出一種持續(xù)不斷的隨機運動，這種現(xiàn)象被稱為“布朗運動”.在本實驗設置中，容器被劃分為三個隔間，如圖2.觀察發(fā)現(xiàn)，處于布朗運動狀態(tài)下的粒子會在每次移動時隨機選擇一個相鄰隔間的通道通過，或者離開整個容器.一旦粒子離開容器范圍，則會被外部的電子裝置捕捉，并視為一次實驗過程的終止.假設實驗開始時，粒子位于第一個隔間內(nèi)，求從初始位置到最終脫離容器的概率是多少.

分析當小顆粒從1，2，3 中的任意一個出口飛出時，該隨機事件隨即終止.本題的理解和求解方法存在多種可能性，為緊扣本堂課的教學主旨，筆者采用吸收壁模型對本題進行解讀，結合本題的具體特征，可將其視為多吸收壁模型.在運用該模型解題過程中，主要需要攻克三個關鍵難點.

難點1：如何設事件.設粒子從 i 號隔間出發(fā)，最終從1號隔間出去的概率為 p_i .這個設法不太容易想到，為了方便學生理解，筆者引導學生類比例2中對 p_i，p₈=1，p₀=0 的理解方式.

難點2：如何理解 p_i 的遞推關系式.在此環(huán)節(jié)，依然可引導學生類比例2中對 p_i 的處理方法推導遞推關系式，筆者邀請一名學生在黑板上繪制樹狀圖（圖3），并寫出 p_i 的遞推關系式.

難點3：如何寫對 p_i 的遞推關系式.要寫對 p_i 的遞推關系式，就要正確理解“設粒子從 χ_i 號隔間出發(fā)，最終從1號隔間出去的概率為 p_i ”.如粒子在2號隔間時，粒子下一次可能到1號隔間或3號隔間，也可能從2號隔間飛出.而粒子從2號隔間飛出，概率不能計作1/3，應計作0，因為這里的 p_i 是表示粒子從 i 號隔間出發(fā)，從1號隔間出去的概率，自然粒子從2號隔間出去計入到 p₂ 中的概率為0.

梳理好上面的三個難點，便可得到關于 p_i 的三組遞推關系式： ，解這個方程組得

2 結束語

對于一道典型習題，教師不能僅滿足于解答題目本身，更應深入探究其背后的命制邏輯，充分挖掘其潛在價值.只有明晰題目的設計根源，才能在面對新情境時從容應對、靈活處置.例如，例2中帶吸收壁模型的遞推數(shù)列對學生而言是陌生內(nèi)容，由于日常訓練較少，需要他們深人思考并學會舉一反三.

在新課標和新高考背景下，教師應積極創(chuàng)設教學環(huán)境，鼓勵學生主動思考、大膽提問，改變被動接受知識的學習模式.學生通過深度思考，不僅能夠提升解題能力，還能培養(yǎng)獨立思考能力、問題解決能力以及創(chuàng)新能力.

模型教學是以模型為核心的教學方法，旨在幫助學生理解并應用知識，它強調(diào)學生主動參與知識建構，注重教師與學生的互動合作.其中，模型是包含事物或現(xiàn)象假設的框架或工具，學生通過建構、調(diào)整和運用模型，能夠掌握相關知識與概念.

在本節(jié)課的教學中，筆者以模型化教學理念為指導，鼓勵學生積極參與模型建構與應用，激發(fā)其思維與創(chuàng)造力，通過引導學生觀察、提問、討論，最終師生共同構建模型.這一主動參與的過程不僅能培養(yǎng)學生的批判性思維、問題解決能力和合作精神，還能幫助他們打開數(shù)學世界的大門，領略數(shù)學之美.

參考文獻：

[1］周勝男.概率統(tǒng)計在數(shù)列問題中的應用研究探討[J].數(shù)理天地（高中版），2024（17）：110-112.

[責任編輯：李慧嬌]