巧思維視角切入，妙技巧方法應(yīng)用

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)體系中的一大主于知識(shí)，有其自身的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，又有函數(shù)的基本性質(zhì)與圖象，成為全面交匯三角函數(shù)知識(shí)與函數(shù)知識(shí)的一個(gè)重要應(yīng)用場(chǎng)景，也是高考命題中的一大重要考查場(chǎng)所.特別，基于三角函數(shù)場(chǎng)景的創(chuàng)設(shè)，融入函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，使得問(wèn)題更加靈活多變，成為全面考查考生基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力的一個(gè)重要層面，也是全面考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，倍受各方關(guān)注.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

題目 （2025屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三年級(jí)九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷·7）已知函數(shù) f（x）= 是 上的奇函數(shù)，則

A.2

該題以含有正切的三角函數(shù)關(guān)系式為場(chǎng)景，利用復(fù)雜三角函數(shù)在給定對(duì)稱區(qū)間上的奇偶性來(lái)創(chuàng)設(shè)，結(jié)合含參三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的正切值，實(shí)現(xiàn)“變量”與“常量”之間的合理呼應(yīng)與聯(lián)系.解決該類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是基于三角函數(shù)的場(chǎng)景，借助三角恒等變換公式，對(duì)相應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式加以恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化，在變形的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)奇偶性的基本性質(zhì)來(lái)切入，或特征觀察切入，或恒等變換應(yīng)用，或逆向思維巧思，或特殊值妙用等，都可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解

2 問(wèn)題破解

解法1 （觀察法1）由于 -tanx=tan（-x）= 所以 f（x） （2 又由于 tanx為奇函數(shù)，函數(shù) 是 ?2024'2024］上的奇函數(shù)，則知函數(shù) 必為偶函數(shù).

結(jié)合 的結(jié)構(gòu)特征知tanθ=-2 時(shí)，函數(shù) 必為偶函數(shù).故選 B

解法2 （觀察法2）由于 -tanx=tan（-x）= 所以 f（x） .又由于 y= tanx為奇函數(shù)，函數(shù) 是 上的奇函數(shù)，則知函數(shù) （204號(hào) 必為偶函數(shù).結(jié)合函數(shù) 的結(jié)構(gòu)特征，可知

，解得 tanθ=-2 故選 B_?

評(píng)析在解決此類三角函數(shù)的恒等變換及其基本性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于通過(guò)三角恒等變換加以合理變形與轉(zhuǎn)化，同時(shí)，結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)加以巧妙應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解.特征觀察時(shí)，要注意函數(shù)中變量與常量之間的關(guān)系，以及函數(shù)基本性質(zhì)的表現(xiàn)形式，合理加以構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式或方程等，給問(wèn)題的突破與求解創(chuàng)造條件.

解法3 （變換法1）由于函數(shù) 在 上是奇函數(shù)，故f（-x）=-f（x）在[-2024'2024]上恒成立.則 -（tanθ+2）tanx+1-2tanθ=（tanθ） +2）tanx+1-2tanθ ，整理得 解得 tanθ=-2. 故選 B

解法4 （變換法2）由于函數(shù) 上的奇函數(shù)，而 為奇函數(shù)，只能時(shí)- （tanθ+2）=0 ，解得 tanθ=-2. 故選 B

解法5 （變換法3）由于函數(shù) 上是奇函數(shù)，則知f（-x）=- f（x）在[-2024，2024]上恒成立.則有cos（?x +θ）-2sin（?x +0）=cos（x+θ）-2sin（x+θ） ，整理可得 2sinθsinx= -4cosθsinx ，解得 tanθ=-2 故選 B

評(píng)析 在解決此類三角函數(shù)的恒等變換及其基本性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，抓住三角關(guān)系式，進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化變形或恒等變換，為進(jìn)一步借助函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)解題與應(yīng)用創(chuàng)設(shè)條件.三角恒等變換處理此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于合理借助變換公式進(jìn)行變量與常量的分離，以方便加以問(wèn)題的剖析與應(yīng)用，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式或方程等.

解法6（逆向思維法）當(dāng) tanθ=-2 時(shí)，函數(shù) tan[θ-（x+θ）]=tan（-x）=- tanx.此時(shí)函數(shù)f（x）=- tanx是奇函數(shù)，滿足條件.故選 B

評(píng)析抓住單項(xiàng)選擇題的性質(zhì)與特征，從結(jié)果入手，合理逆向思維.逆向思維法處理此類問(wèn)題時(shí)，只是解題此類問(wèn)題的一種“巧技妙法”，能夠快速正確對(duì)應(yīng)的答案，但不具有嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)對(duì)三角公式、數(shù)字特征等具有較高的敏感性，對(duì)數(shù)學(xué)基本能力的要求比較高.

解法7 （特殊值法）取特殊值得 f（θ）= 又 且函數(shù) f（x） 在 上是奇函數(shù)，則 f（θ）=-f（-θ） 成立，得tanθ - tan20 ，整理得 2tanθ=（1+ 2tanθ）tan2θ 即有 ，解得 tanθ=-2 或 tanθ= 0（舍去）.故選 B

評(píng)析抓住三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，以及所求三角關(guān)系式，合理構(gòu)建聯(lián)系，通過(guò)特殊值的選取，并借助奇函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式，為問(wèn)題的進(jìn)一步分析與求解創(chuàng)造條件.以特殊值思維加以合理切入，減少變量，為問(wèn)題的進(jìn)一步分析與求解奠定基礎(chǔ)，是特殊值思維破解此類問(wèn)題的基本思想方法.

3 變式拓展

變式 已知函數(shù) f（x）=2cos（ωx+φ）+ sin（ωx+φ） 是奇函數(shù)，則 ：

A.2 B.-2 D.

解法1（輔助角公式法）函數(shù) f（x）=2cos（ωx ，其中tanθ=2 ，且 θ 為第一象限角.而 f（x）=2cos（ωx+φ）+

sin（ωx+φ） 是奇函數(shù)，所以 φ+θ=kπ，k∈Z. 所以φ=kπ-θ，k∈Z ，所以 =-2. 故選 B

解法2（性質(zhì)法）依題函數(shù) f（x）=2cos（ωx+ φ）+sin（ωx+φ） 是奇函數(shù)，則 f（0）=2cosφ+sinφ ε=0 ，解得 tanφ=-2. 故選 B

4 教學(xué)啟示

基于三角函數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景下的函數(shù)基本性質(zhì)及其應(yīng)用，往往可以更多地融合不同數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的交匯與綜合，充分落實(shí)新課標(biāo)中“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的高考基本指導(dǎo)思想.而回歸三角函數(shù)的問(wèn)題背景，從三角函數(shù)的本質(zhì)與內(nèi)涵入手，結(jié)合不同數(shù)學(xué)思維視角來(lái)綜合與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解，是全面考查學(xué)生“四基”與數(shù)學(xué)“四能”的一個(gè)重要場(chǎng)景.