以高中數(shù)學(xué)為背景的中考試題

中考依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來(lái)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng).從近幾年的中考試題可以看出，中考試題注重應(yīng)用性、探究性和綜合性.同時(shí)，中考試題側(cè)重于展望未來(lái)，鏈接高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，注重在學(xué)習(xí)和工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

1以集合為背景

例1 （2021年廣西賀州）如 M={1，2，x} ，我們叫集合 M ，其中 ^{1，2，x} 叫做集合 M 的元素.集合中的元素具有確定性（如 x 必然存在），互異性（如 ，無(wú)序性（即改變?cè)氐捻樞颍喜蛔儯?若集合 N= {x，1，2} ，我們說(shuō) M=N .已知集合 A={1，0，a} ，集合 ，若 A=B ，則 b-a 的值是（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.2

解：因?yàn)榧?B 的元素為 ，所以

銀 ，得 b=0 當(dāng) 時(shí)， a=1 ，此時(shí) A={1，0，1}，B={1，1，0}

不滿足互異性，情況不存在.當(dāng) 時(shí)， ω_a=±1，a=1 （舍）.當(dāng) a=-1 時(shí)，

A={1，0，-1}，B={-1，1，0} ，滿足題意，此時(shí)， ?b-a=1 故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題以高中集合概念為背景，考查集合的互異性、確定性、無(wú)序性.通過(guò)對(duì)集合 B 的元素進(jìn)行分析，再與集合 A 的元素對(duì)應(yīng)，分類討論即可求解.

例2 （2022年湖南永州）如 M={1，2，x} ，我們叫集合 M ，其中 ^{1，2，x} 叫做集合 M 的元素.集合中的元素具有確定性（如 x 必然存在），互異性（如 x≠1 ，x≠2 ，無(wú)序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變?若集合 N={x，1，2} ，我們說(shuō) M=N .已知集合 A= {2，0，x} ，集合 ，若 A=B ，則 x-y 的值是（ ）.

A.2

解：因?yàn)?A=B ，所以 所以 ，或 |x|=2δ （無(wú)解）.

解得 則 故選：B.

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)集合的定義和集合相等的條件求出 x，y 的值.

2以對(duì)數(shù)運(yùn)算為背景

例3 （2021年湖南永州）定義：若 10^x=N ，則 稱為以10為底的 N 的對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為 ，其滿足運(yùn)算法則： lgM+lgN=lg（M?N） （Mgt;0，Ngt;0） .例如：因?yàn)?10²=100 ，所以 2=lg 100 亦即 lg100=2;lg4+lg3=lg12 根據(jù)上述定義和運(yùn)算法則，計(jì)算 的結(jié)果為（ ）.

A.5 B.2 C.1 D.0

解：根據(jù)題意，原式 lg2?lg10+lg5=lg2+lg5=lg10=1. 故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題以高中對(duì)數(shù)運(yùn)算為背景，考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算.理解新運(yùn)算的定義和法則是解題關(guān)鍵.

例4（2022年湖南婁底）若 10^x=N ，則稱 x 是以10為底 N 的對(duì)數(shù).記作： .例如： 10²=100 ，則 2=log100;10^°=1 ，則 對(duì)數(shù)運(yùn)算滿足：當(dāng)Mgt;0，Ngt;0 時(shí)， ?lgM+lgN=lg （ MN ）.例如 lg ，則 的值為（ ）.

A.5 B.2 C.1 D.0

解：因?yàn)? 所以 $＼lg ～ 5 ＼times ＼lg ～ 2 + ＼lg ～ 2 = ＼lg ～ 5 （ ＼lg ～ 5 + ＼lg ～ 2 ） + ＼lg ～ 2 = ＼lg ～ 5 ～ ＼$ 01 故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)運(yùn)算為背景，考查新定義下的運(yùn)算問(wèn)題.理解題意，弄懂新定義的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.通過(guò)閱讀新定義運(yùn)算規(guī)則“ lgM+lgN= ，得到 ，再通過(guò)提取公因式后逐步進(jìn)行運(yùn)算即可得到答案.

例5（2023年山東濟(jì)南）對(duì)數(shù)的定義：一般地，若 a^x=N（agt;0，a≠1） ，那么 x 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作： x=log_aN .比如指數(shù)式 2⁴=16 可以轉(zhuǎn)化為4=log₂16 ，對(duì)數(shù)式 2=log₅25 可以轉(zhuǎn)化為 5²=25. 我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)： 理由如下：設(shè) log_aM=m，log_aN=n ，則 M=a^Πm . N= a^′ ，所以 M?N=a^m?aⁿ=a^m+n ，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得m+n=log_a （ M?N） ，又 m+n=log_aM+log_aN 所以 log_a（M?N）=log_aM+log_aN 類似地，還可證明對(duì)數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)：log。 .請(qǐng)利用以上內(nèi)容計(jì)算 log₃18+

解：根據(jù)題意，可得

log₃18+log₃2-log₃4$$

點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)運(yùn)算為背景，主要考查同底數(shù)冪的乘法.解題的關(guān)鍵是理解新定義的運(yùn)算法則，然后根據(jù)所給的運(yùn)算法則求解.

3新定義運(yùn)算試題

例6 （2023年內(nèi)蒙古赤峰）閱讀理解： a，b，c，d （202是實(shí)數(shù)，我們把符號(hào) 稱為 2×2 階行列式，并且規(guī)定 .例如： （20（-2）-2×（-1）=-6+2=-4. 二元一次方程組{a1χ+b1y=c1’的解可利用2×2階行列式表示為 其中

問(wèn)題解決：

（1）計(jì)算 2×2 行列式 的值為

（2）利用二階行列式解二元一次方程組 （20寫出解題過(guò)程.，

解：（1）因?yàn)? ，所以

（2）因?yàn)? 所以

（2號(hào)故：

點(diǎn)評(píng)：本題以二階行列式的運(yùn)算為背景，以新定義運(yùn)算的形式進(jìn)行考查.主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組.弄清題中的新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

例7（2024年四川瀘州）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先向上平移 a（agt;0） 個(gè)單位長(zhǎng)度，再繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) θ 角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的 ρ（a，θ） 變換.如：點(diǎn) A（2，0） 按照 ρ（1，90^°） 變換后得到點(diǎn) A^′ 的坐標(biāo)為 （-1，2） ，則點(diǎn) 按照 ρ（2，105^°） 變換后得到點(diǎn) B^′ 的坐標(biāo)為

解：如圖1，點(diǎn) 向

上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)

，則 ，所

以 ，于是

，則 ∠COE=30^° 0

根據(jù)題意，將點(diǎn) 繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 105^° 得點(diǎn) B^′ ，則 ∠B^′OE=105^°+30^°=135^°

作 B^′D⊥x 軸于點(diǎn) D ，則 OB^′=OC=2 ∠B^′OD= 180^°-135^°=45^°

所以

故點(diǎn) B^′ 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形.

縱觀最近幾年全國(guó)各地的中考試題，有不少題目涉及高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，有的是以高中數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，有的是蘊(yùn)含高中數(shù)學(xué)知識(shí)，有的則直接以新定義的形式出現(xiàn)，這些試題主要是考查考生的數(shù)學(xué)閱讀能力、信息整理能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該了解一定的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要主動(dòng)研究以高中數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的中考試題，并在平時(shí)的教學(xué)或復(fù)習(xí)備考中有所滲透.