一道圓錐曲線(xiàn)解答題的解析與思考

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

拋物線(xiàn)作為圓錐曲線(xiàn)之一，因?yàn)槠湫问降奶厥庑?，上下開(kāi)口的拋物線(xiàn)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)，因此這類(lèi)拋物線(xiàn)試題往往和導(dǎo)數(shù)緊密結(jié)合，使得試題難度顯著上升.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵策略.現(xiàn)以一道聯(lián)考題作為研究范例.

1 試題呈現(xiàn)

題目（2025年湖北省新八校教科研協(xié)作體數(shù)學(xué)第17題）已知拋物線(xiàn) C：x²=2py（pgt;0） 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1，過(guò) x 軸下方的一動(dòng)點(diǎn) P 作拋物線(xiàn) c 的兩切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為 A，B ，且直線(xiàn) AB 剛好與圓x²+y²=1 相切.設(shè)點(diǎn) P 的軌跡為曲線(xiàn) E ，過(guò)點(diǎn) T（0 -2）的直線(xiàn) ξ_l 與曲線(xiàn) E 相交于 M，N 兩點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）求點(diǎn) P 的軌跡方程;

（3）設(shè)曲線(xiàn) E 與 y 軸交點(diǎn)為 A₁ ，點(diǎn) A₁ 關(guān)于原點(diǎn)

文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0014-04的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 A₂ ，記直線(xiàn) A₁M，A₂N 的斜率分別為 k₁ ，k₂ ，證明 是定值.

2 總體分析

本題是一道綜合性較強(qiáng)的解析幾何題，第（1）問(wèn)主要考查拋物線(xiàn)的定義、性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題；第（2）問(wèn)首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線(xiàn)方程，結(jié)合條件進(jìn)一步求出軌跡方程;第（3）問(wèn)證明兩直線(xiàn)斜率比值為定值，需要將非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理求解.后兩問(wèn)處理方法多樣，筆者結(jié)合自己的深度思考與探討，現(xiàn)分析與解答如下.

3 試題解答

3.1 第（1）問(wèn)解析

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 p ，所以 pε=1 ，因此拋物線(xiàn)的方程為 x²=2y

評(píng)注此問(wèn)是拋物線(xiàn)的定義及相關(guān)概念的考查，在當(dāng)下的學(xué)習(xí)中，一直強(qiáng)調(diào)要回歸課本，重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的考查.因此，在今后的課堂教學(xué)及解題訓(xùn)練中，老師們也要提醒學(xué)生重視基本概念的學(xué)習(xí)與鞏固.

3.2 第（2）問(wèn)解析

解法1設(shè) P（x₀，y₀）（y₀lt;0），A（x₁，y₁），B（x₂， y₂ ），由 x²=2y 得樂(lè) ，求導(dǎo)得 y^′=x

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 k_PA=x₁

所以直線(xiàn) PA：y-y₁=x₁（x-x₁）=x₁x-x₁². （20號(hào)將 x₁²=2y₁ 代人整理，得 x₁x-y-y₁=0

同理可得 PB：x₂x-y-y₂=0.

而點(diǎn) P（x₀，y₀） 是 PA 與 PB 的交點(diǎn)，所以滿(mǎn)足

x₁x₀-y₀-y₁=0，x₂x₀-y₀-y₂=0. （20

所以直線(xiàn) AB 的方程為 x₀x-y-y₀=0.

又直線(xiàn) AB 與圓 相切，

所以圓心 O（0，0） 到直線(xiàn) AB 的距離

解得

故點(diǎn) P 的軌跡方程為 y²-x²=1（ylt;0）

評(píng)注此法先設(shè)點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出拋物線(xiàn)在點(diǎn) A 處的切線(xiàn)方程，結(jié)合條件整理得到切線(xiàn) PA：x₁x-y-y₁=0 ，同理得出切線(xiàn) PB：x₂x --2=0，而點(diǎn)P（o，y）同時(shí)滿(mǎn)足以上兩方程，代入后通過(guò)分析可得出直線(xiàn) AB 的方程為 x₀x-y -y₀=0 ，再結(jié)合直線(xiàn) AB 與圓相切導(dǎo)出 x₀ 與 y₀ 的關(guān)系式，進(jìn)而得出點(diǎn) P 的軌跡方程.解法看起來(lái)水到渠成，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)有難度，需要老師們?cè)谥v解時(shí)分解剖析，講清其中的原理，厘清問(wèn)題的本質(zhì)，再輔以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，讓學(xué)生逐步理解與掌握.

解法2 由解法1可知

PA：y-y₁=x₁（x-x₁）=x₁x-x₁².

將 代人整理，得 2y=2x₁x-x₁²

同理 2y=2x₂x-x₂²

點(diǎn) P（x₀，y₀） 同時(shí)滿(mǎn)足以上兩方程，

即 2y₀=2x₁x₀-x₁² ，

（2 2y₀=2x₂x₀-x₂². （20

故 x₁，x₂ 是方程 x²-2x₀x+2y₀=0 的兩實(shí)根.由根與系數(shù)的關(guān)系得

x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2y₀. ①

聯(lián)合 ① 及 化簡(jiǎn)求解可得

x0x -y -yo =0.

下同解法1.

評(píng)注解法2 結(jié)合解法1由同一法得出 x₁，x₂ 是方程 x²-2x₀x+2y₀=0 的兩實(shí)根，借助于根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù) ^A，B 兩點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出直線(xiàn)方程，在此基礎(chǔ)上聯(lián)合轉(zhuǎn)化與求解，得出 x₀x-y-y₀ =0 ，再根據(jù)直線(xiàn)與圓相切也就水到渠成了.

解法3 根據(jù)解法2知 2y₀=2x₁x₀-x₁² 與 2y₀ =2x₂x₀-x₂².

聯(lián)立解得

所以點(diǎn) 設(shè)直線(xiàn) AB：y=kx+b ，與 x²=2y 聯(lián)立可得x²-2kx-2b=0. （2所以 x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b 比較可得 x₀=k，y₀=-b 又圓心 O（0，0） 到直線(xiàn) AB：kx-y+b=0 的距離 解得 b²=k²+1

所以 y₀²=x₀²+1（y₀lt;0）

下同解法1.

評(píng)注解法3是在解法2的基礎(chǔ)上衍生出來(lái)的一種思考與處理方式，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們只有不斷思考與探索，解題思路才能越來(lái)越開(kāi)闊，思維能力才能得到不斷提升.

3.3 第（3）問(wèn)解析

由題意可得點(diǎn) A₁（0，-1），A₂（0，1）

設(shè)直線(xiàn) y=kx-2，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄） ，

聯(lián)立 消 y 得

（1-k²）x²+4kx-3=0，

顯然 k²≠1 ，且 Δ=4k²+12gt;0

所以x+χ4=

且

所以

將 y₃=kx₃-2，y₄=kx₄-2 代人整理，得

② 式通常稱(chēng)為非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理，如何轉(zhuǎn)化為部分韋達(dá)定理來(lái)完成解答是問(wèn)題的關(guān)鍵所在.詳細(xì)解答如下：

證法1 將 代 人 ② 式，化簡(jiǎn)，得

評(píng)注證法1是將兩根之積部分用韋達(dá)定理替換，同時(shí)將分子中的 x₄ 用兩根之和的變形式替換成 ，進(jìn)行整理后發(fā)現(xiàn)比值為定值.其實(shí)只要明確變形的方向，將計(jì)算進(jìn)行到底就可以達(dá)成目標(biāo)，這些要訣需要老師們?cè)诮忸}中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去嘗試，體驗(yàn)成功的喜悅.當(dāng)然，相信大家也會(huì)想到，將兩根之積部分用韋達(dá)定理替換后，也可以將分母中第二項(xiàng)的 x₃ 替換成 x₃ 三 ?1-2?4，分子中的第二項(xiàng)x4保持不變，同樣可以得出結(jié)果

證法2 由 得

代人 ② 式，得

所以 是定值 （2號(hào)

評(píng)注證法2是根據(jù)韋達(dá)定理中兩根之和與兩根之積的內(nèi)在線(xiàn)性關(guān)系，即 ，從而實(shí)現(xiàn)直接代換，這樣分子分母的關(guān)系更直觀，堪稱(chēng)“秒殺”了.

證法3 部分轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理1.

（20所以 是定值

證法4 部分轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理2.

評(píng)注證法3及證法4是實(shí)現(xiàn)部分配湊，結(jié)合證法2將兩根之和用兩根之積表示，并沒(méi)有將含 k 的式子代入，也能輕松解決問(wèn)題，這兩種解法的關(guān)鍵在于式子的變形，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、運(yùn)算求解的能力.

4高考鏈接

題1 （2021年全國(guó)乙卷理科第21題）已知拋物線(xiàn) C：x²=2py（pgt;0） 的焦點(diǎn)為 F ，且 F 與圓 M ：x²+（y+4）²=1 上點(diǎn)的距離的最小值為4.

（1）求 p 的值;

（2）若點(diǎn) P 在 M 上， PA，PB 是 C 的兩條切線(xiàn)，^A，B 是切點(diǎn)，求 ΔPAB 面積的最大值]

題2 （2024年高考甲卷理20文21）已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) 在橢圓 C 上，且 MF⊥x 軸

（1）求橢圓 C 的方程;

（2）已知 P（4，0） ，過(guò)點(diǎn) P 的直線(xiàn)與橢圓 C 交于^A，B 兩點(diǎn)， N 為 FP 的中點(diǎn)，直線(xiàn) NB 與 MF 交于點(diǎn)

Q ，證明： AQ⊥y 軸

簡(jiǎn)析 2021年的高考題中，第（1）問(wèn)考查的是拋物線(xiàn)的概念及性質(zhì)，第（2）問(wèn)中涉及拋物線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，用本文中第（2）問(wèn)的解法均可以解決.而2024年甲卷的高考題中第（1）問(wèn)同樣是基礎(chǔ)概念的考查，第（2）問(wèn)可用到本文中第（3）問(wèn)的非韋達(dá)定理部分轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的處理方法，大家可以自己解答和查閱相關(guān)資料.

5 結(jié)束語(yǔ)

在教學(xué)過(guò)程中，務(wù)必注重教學(xué)的有效性.從基本概念出發(fā)進(jìn)行引導(dǎo)，先讓學(xué)生回顧拋物線(xiàn)的基本概念與性質(zhì)，然后引導(dǎo)學(xué)生求出拋物線(xiàn)的方程，接下來(lái)通過(guò)回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，求出切線(xiàn)方程，再進(jìn)而求出點(diǎn) P 的軌跡方程[2.在證明第（3）問(wèn)時(shí)，需要計(jì)算斜率的比值并化簡(jiǎn)，變形后部分代入韋達(dá)定理求解，最終得出比值為定值，充分培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力.

在解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生在求切線(xiàn)方程時(shí)不知如何切人，尤其是求出直線(xiàn)AB方程時(shí)存在困惑，另外，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用也不夠熟練.在今后的教學(xué)中，需要不斷加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練與鞏固，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，不能僅僅停留在聽(tīng)懂的淺層次.同時(shí)，針對(duì)復(fù)雜的計(jì)算，需要進(jìn)行一定的強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生克服畏難情緒，增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的自信心，真正做到提效增分.

參考文獻(xiàn)：

[1］賀鳳梅.利用導(dǎo)數(shù)突破高考圓錐曲線(xiàn)壓軸題[J].數(shù)理化解題研究，2022（01）：5-7.

[2］王亞奎.對(duì)拋物線(xiàn)切線(xiàn)問(wèn)題的思考[J].理科考試研究，2020，27（21）：15-16.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]