一道高三質(zhì)檢題的多解分析及教學(xué)建議

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用能力.在立體幾何題中，常見題型包括證明空間關(guān)系、空間角和空間距離的求法.這些題型不僅涵蓋了立體幾何的基本知識點(diǎn)，還要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用各種解題策略.我們將通過一道具體的立體幾何題，分析多種解題策略，在選擇策略時(shí)，我們需要根據(jù)題目的具體要求、已知條件和我們的解題偏好進(jìn)行綜合考慮.同時(shí)我們還需要注意靈活運(yùn)用各種定理和公式來簡化解題過程.我們應(yīng)該注意到，立體幾何不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和解題能力，還考查學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力.因而在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的這些能力，以便更好地應(yīng)對各種立體幾何題.

1試題呈現(xiàn)及解題路徑分析

在立體幾何中，證明兩條直線垂直的方法有許多，既可以用綜合法，又可以用向量法，還可以將兩種方法結(jié)合在一起使用.用綜合法可證明一條直線與另一條直線所在平面垂直，將線線垂直問題轉(zhuǎn)化成線面垂直問題，如果兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)，還可以通過計(jì)算，利用勾股定理逆定理去證明；用向量法證明時(shí)又可以細(xì)化成基向量法和坐標(biāo)形式的向量法；對有些問題還可以將向量法與綜合法交替使用.前者要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理論證，后者要進(jìn)行縝密的數(shù)學(xué)運(yùn)算.無論采用那種辦法，都要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從具體問題中選擇合適的解題路徑，合理提煉出比較簡捷的解題方法.

下面通過對一道試題的分析，給出不同的解題思路，通過一題多解的形式，優(yōu)化不同的解題路徑，以期為備考學(xué)生提供一定的幫助.

1. 1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁ 中 ，A₁B₁=1，AA₁ =2，AB=4，AA₁⊥ 平面 ABC AB₁⊥A₁C，（1） 求證： AB⊥BC ：（2）若 BC=4 ，求直線 A₁C 與平面 B₁AC 所成角的正弦值.

圖1

分析 本題第（1）問是證明空間兩條直線的垂直；第（2）問是求直線與平面所成的角，第（2）問的解法較為常規(guī).下面主要對第（1）問給出不同的解題方法，探尋一題多解在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用.

1. 2 解題路徑分析

1. 2. 1 向量法

空間向量作為高中學(xué)習(xí)的重要知識點(diǎn)，是解決立體幾何問題的強(qiáng)有力的工具，向量法可分為基向量法和坐標(biāo)形式的向量法，基向量法就是在空間中選取任何三個(gè)不共面向量作為一組基底；坐標(biāo)形式的向量法就是根據(jù)圖形特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將幾何問題代數(shù)化.用向量法解決問題一般思路：向量表示；向量運(yùn)算；回歸幾何

證法1選取向量 為基底.如圖1，在三棱臺中，由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得 AA₁⊥BC，AA₁ ⊥AB 又因?yàn)?A₁B₁= 1，AA₁= 2，AB= 4 ，所以 又 AB₁⊥A₁C ，所以 （204號所以 ，即 ，故 AB⊥BC

證法2選擇向量 來表示向量 如圖1，由 AA₁⊥ 平面 ABC 得 下面只要證BC⊥AB₁ 即可.又 ，所以 又 AB₁ ⊥A₁C ，所以 在 RtΔA₁B₁A 和 RtΔA₁AB 中 所以 tan∠A₁B₁A× 中tar ι∠B₁A₁B=1 ，又 ∠A₁B₁A 和 于是 ，所以 ，BC⊥AB₁ .又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點(diǎn) A ，所以 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC

證法3 取向量 為基底表示向量 ，如圖1，令 AC=m，BC=n ，一方面1由 ，得 -4）=m²-3. 又 ，所以 cos∠BAC，m²-3=m²+5-2mcos∠BAC ，所以

另一方面， BC²=AB²+AC²- 2AB×AC× 綜上 n²+16=m² ，即 BC²+AB²=AC² ，故 AB⊥BC

證法4如圖2，以 A 為原點(diǎn)，以直線 ?? 和 AA₁ 分別為 x，y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 ^{A（0，0）} ，B（4，0） ，A₁（0，2），B₁（1，2）.

所以 =（4，-2）， ，又 ，所以， · ，故 BC⊥AB₁ .由 AA₁ ⊥ 平面 ABC 得 AA₁⊥BC ，且 AA₁ 與 AB₁ 相交于點(diǎn) A 所以 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ .故 AB⊥BC

圖2

證法5 如圖2，由 ，可知k_BA1?k_B1A=-1 ，所以 又 所以 ，故 BC⊥AB₁ .再由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得： ;AA₁⊥BC ，且 AA₁ 與 AB₁ 相交于點(diǎn) A ，所以 BC ⊥ 平面 ABB₁A₁ .故 AB⊥BC

1. 2.2 綜合法

綜合法就是借助幾何中的定理和公式進(jìn)行一定的邏輯推理，證明出題中的結(jié)論.可以利用立體幾何中的結(jié)論，還可以將立體幾何借助平面幾何進(jìn)行研究，從而得出要證明的結(jié)論.這種方法要求學(xué)生具有一定的邏輯推理能力和空間想象能力.

證法6 如圖1，由 AA₁⊥ 平面 ABC 得 AA₁⊥ BC，AA₁⊥AB. 在 RtΔA₁B₁A 和 RtΔA₁AB 中，

A =?，所以 tan∠A，B，A ×tan∠B，A，B = 1， ∠A₁B₁A 和 ，于是 ∠A₁B₁A+ ∠BA，B=，則AB⊥A，B.又因?yàn)锳B⊥A，C，所 以易得 AB₁⊥ 平面 BA₁C ，則 BC⊥AB₁

再由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得 ，又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點(diǎn) A ，則 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ .故 AB⊥BC

證法7 如圖 ，在 RtΔA₁B₁A 和 RtΔA₁AB 中 1

圖3

RtΔAA₁B₁～RtΔBAA₁ ，所以 ，又因?yàn)? ，所以 ∠A₁AB₁+∠BA₁A ，即AB，⊥A，B，又因?yàn)锳B，⊥A，C，所以;AB，⊥平面 BA₁C ，則 BC⊥AB₁ ，再由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得： AA₁⊥BC ，又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點(diǎn) A ，則 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC

證法8 如圖 ，且 1AB，由△OA，B，～△OBA得 ，在 4=AA，2，所以△OAA，為直角三角形，則 AB₁⊥A₁B ，又因?yàn)?AB₁⊥A₁C ，所以 AB₁⊥ 平面 BA₁C ，則 BC⊥AB₁ ，由 AA₁⊥ 平面ABC 可得 ，又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點(diǎn) A ，則BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC

證法9如圖4，延長 BA 至 c ，使 AC= A₁B₁=1 ，易知四邊形 ACA₁B₁ 為平行四邊

圖4

形，所以 BC=5. 在 ΔA₁BC 中，A₁B²+A₁C²=20+5=25=BC² ，所以 ΔA₁BC 為直角三角形，即 又 AB₁//A₁C ，所以 AB₁ ⊥A₁B. 又因?yàn)?AB₁⊥A₁C ，所以 AB₁⊥ 平面 BA₁C ，則BC⊥AB₁ 由 AA₁⊥ 平面 ABC 得 AA₁⊥BC. 又 AA₁ 與AB₁ 相交于點(diǎn) A ，則 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC.

2 教學(xué)建議

在平時(shí)的教學(xué)中，我們要重視一題多解，通過一題多解教學(xué)活動(dòng)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，因此一題多解在教學(xué)中具有重要作用.為此提出如下教學(xué)建議：

2.1 注重激發(fā)學(xué)生求知欲和好奇心

面對同一個(gè)問題，學(xué)生通過一題多解可以嘗試不同的解題方法，這種發(fā)現(xiàn)和探索的過程，能夠增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，當(dāng)學(xué)生找到多種不同的解題方法時(shí)，這種成就感能夠激勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力學(xué)習(xí)，不斷提升自己的數(shù)學(xué)水平.

2.2努力培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感

通過一題多解，學(xué)生可以更加深人地理解這些圖形和公式的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，從而培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)美感，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和熱愛，激發(fā)他們追求數(shù)學(xué)真理的熱情.

2.3積極增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識

通過一題多解學(xué)生可以更加深入地理解數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，從而提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).這種素養(yǎng)提升在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義.此外一題多解還培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.這種能力不僅有助于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，而且能夠提升他們解決實(shí)際問題的能力，能夠促進(jìn)他們的全面發(fā)展.在嘗試不同的解題方法時(shí)，學(xué)生需要綜合運(yùn)用各種知識和技能，如空間想象能力、邏輯推理能力、創(chuàng)新思維等.

3 結(jié)語

由于立體幾何問題的復(fù)雜性和多變性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往會遇到許多困難，教師需要采用多樣化的教學(xué)手段和不同的解題策略來幫助學(xué)生克服這些困難，提高學(xué)習(xí)效果.通過不斷努力和探索，幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)中的困惑，不斷提高立體幾何解題水平.