2022年高考立體幾何的命題考查與分析

蔡建華

摘要：作為高考考查的一大主干知識(shí)，立體幾何部分在2022年高考數(shù)學(xué)試卷中的設(shè)置層次鮮明，對于立體幾何知識(shí)的考查以及高考命題的區(qū)分選拔起著重要的作用，體現(xiàn)高考改革要求，貫徹德智體美勞等全面發(fā)展的教育方針.結(jié)合高考真題實(shí)例，從不同視角就立體幾何試題的考查加以剖析，以此指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：立體幾何；正方體；教材；基本圖形；聯(lián)系

筆者對2022年全國甲、乙卷，新高考卷以及自主命題的北京卷的立體幾何試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)2022年高考中立體幾何部分的試題更加關(guān)注場景設(shè)計(jì)與設(shè)問技巧，合理倡導(dǎo)回歸教材、教學(xué)銜接與教學(xué)指導(dǎo)，為進(jìn)一步落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與教學(xué)改革指明方向.

1 緊扣教材，引導(dǎo)教學(xué)回歸

例1 （2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科·15）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為___________.

分析：根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計(jì)算“從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)”的取法種數(shù)，特別關(guān)注其中“4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面”的情況，由古典概型公式計(jì)算可得答案.

解析：根據(jù)題意，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，不同的取法種數(shù)有C48=70種.

記A=“這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面”，則A包含底面2種和側(cè)面4種、對角面6種，一共12種情況.

所以P（A）=1270=635.

故填答案：635.

點(diǎn)評：試題以古典概型的求解來創(chuàng)新設(shè)置，而實(shí)際考查的是正方體的幾何性質(zhì)與圖形結(jié)構(gòu)特征，利用正方體中點(diǎn)、線、面等相關(guān)元素的位置關(guān)系進(jìn)行直觀分析，結(jié)合合理的計(jì)數(shù)問題來解決，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的交匯，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的開拓與應(yīng)用.而問題考查的實(shí)質(zhì)還是正方體、長方體、圓柱、球等這些基本空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及對應(yīng)的幾何性質(zhì)，要求學(xué)生對這些基本圖形、基本性質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征等“爛熟于心”，并會(huì)加以直觀想象與實(shí)際應(yīng)用.

2 依托基本圖形，落實(shí)“四基”“四能”

例2 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·9）（多選題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則（? ）.

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

分析：根據(jù)題意，以基本的正方體為圖形背景，通過正方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合線線垂直、線面垂直的性質(zhì)與判定等判斷選項(xiàng)A，B；結(jié)合直線與平面所成角的概念與性質(zhì)來分析并判斷選項(xiàng)C，D.

解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锽C1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，于是BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故選項(xiàng)A，B正確.

設(shè)A1C1∩B1D1=O.因?yàn)锳1C1⊥平面BB1D1D，所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為∠C1BO.在Rt△C1BO中，sin∠C1BO=C1OBC1=12，可得∠C1BO=30°，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

而直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°，故選項(xiàng)D正確.

綜上分析，故選擇答案：ABD.

點(diǎn)評：試題命制意圖在于依托正方體這一基本圖形，借助異面直線所成的角、直線與平面所成的角等概念與性質(zhì)的應(yīng)用，考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力.此類依托基本圖形的立體幾何問題，借助基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)的考查與應(yīng)用，注重通性通法，淡化特殊解題技巧，全面落實(shí)數(shù)學(xué)的“四基”與“四能”，也為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與改革指明方向.

3 注重幾何聯(lián)系，凸顯幾何直觀

例3 （2022年高考數(shù)學(xué)北京卷·9）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區(qū)域的面積為（? ）.

A.3π4

B.π

C.2π

D.3π

分析：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)O，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得OA的長，并結(jié)合勾股定理求得OP的長，結(jié)合幾何直觀，進(jìn)而知?jiǎng)狱c(diǎn)Q表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，從而得以分析與求解.

解析：如圖1，設(shè)點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)O.

依題意可得，AO=BO=CO=23，而PA=PB=PC=6，則PO=62-（23）2=26.

若PQ=5，則知OQ=52-（26）2=1.

所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是底面ABC內(nèi)以O(shè)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部區(qū)域，

則其對應(yīng)的面積為πr2=π.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評：試題命制意圖在于從一些基本、熟悉、關(guān)聯(lián)或類比的創(chuàng)新情境中，借助數(shù)學(xué)的眼光，以數(shù)學(xué)視角來切入，構(gòu)建對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，尋找相應(yīng)的研究對象與目標(biāo)元素，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系等，探索解題的途徑與方法.此題結(jié)合集合語言考查學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化劃歸思想，引導(dǎo)教學(xué)要從立足學(xué)生核心素養(yǎng)出發(fā)，從基礎(chǔ)“有圖用圖”上升到“無圖想圖”，突出立體幾何的直觀想象能力，以及立體幾何中“觀察、判斷、計(jì)算、證明”的基本解題途徑與基本步驟.

4 關(guān)注素養(yǎng)考查，強(qiáng)調(diào)能力立意

例4 （2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·9）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（? ）.

A.13

B.12

C.33

D.22

分析：根據(jù)題意分析，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)其體積最大.設(shè)出四棱錐底面邊長，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用確定棱錐的高并得出棱錐體積的表達(dá)式，利用均值不等式來確定對應(yīng)的最值，進(jìn)而求解體積取最值時(shí)對應(yīng)的參數(shù)值.

解析：由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐（如圖2）時(shí)，其體積最大.設(shè)棱錐的底面邊長為a，底面外接圓的半徑為r，則r=22a.

易得該四棱錐的高h(yuǎn)=1－a22.

于是，該四棱錐的體積

V=13a2h

=13a21－a22

=43×a24×a24×1－a22

≤43×a24+a24+1－a2233

=43×133

=4327，

當(dāng)且僅當(dāng)a24=1－a22，即a2=43時(shí)，等號(hào)成立.

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高h(yuǎn)=1－a22=33.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：該題為球內(nèi)四棱錐體積的最大值問題，考查直觀想象與邏輯推理等核心素養(yǎng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和分析問題的能力，將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問題，可以利用均值不等式來處理，也可以通過函數(shù)的構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)來求解.

總體上來看，通過對全國甲、乙卷，新高考卷以及自主命題的北京卷等相關(guān)試卷的命題分析，發(fā)現(xiàn)2022年高考立體幾何試題的命制繼續(xù)遵循《中國高考評價(jià)體系》，貫徹高考改革與創(chuàng)新，立足“立德樹人”，彰顯其特殊的育人價(jià)值.2022年高考試題中立體幾何部分的考查穩(wěn)中有變，變中有新，更加突出空間想象能力與直觀想象素養(yǎng)，同時(shí)關(guān)注邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，更加關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)品質(zhì)，以及數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等各方面的綜合與考查.