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    基本圖形 橫向拓展

    2015-05-05 12:35曾憲學(xué)
    試題與研究·教學(xué)論壇 2015年3期
    關(guān)鍵詞:基本圖形解題策略

    曾憲學(xué)

    摘 要:在復(fù)習(xí)教學(xué)階段,必須對(duì)復(fù)習(xí)的時(shí)間和內(nèi)容做出科學(xué)、合理的安排,才能保證復(fù)習(xí)工作的扎實(shí)、高效。現(xiàn)以《K字形相似三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)》教學(xué)為例,對(duì)“橫向拓展”教學(xué)模式的基本流程、“橫向拓展”教學(xué)模式的實(shí)踐成效、建立“橫向拓展”教學(xué)模式的框架、“橫向拓展”教學(xué)模式與“傳統(tǒng)專(zhuān)題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式的區(qū)別做系統(tǒng)論述,從而引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷挖掘、提煉、總結(jié)基本圖形,以達(dá)到“做一題,通一類(lèi),會(huì)一片”,從而跳出題海的效果。

    關(guān)鍵詞:基本圖形;橫向拓展;解題策略

    初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想方法涉及面很廣。因此,在復(fù)習(xí)教學(xué)階段,必須對(duì)復(fù)習(xí)的時(shí)間和內(nèi)容做出科學(xué)、合理的安排,才能保證復(fù)習(xí)工作的扎實(shí)、高效?!皬?fù)習(xí)教學(xué)”一般分為“系統(tǒng)復(fù)習(xí)”和“專(zhuān)題復(fù)習(xí)”。“系統(tǒng)復(fù)習(xí)”的教學(xué)模式是用小問(wèn)題回顧基礎(chǔ)知識(shí),歸納、構(gòu)建知識(shí)縱向網(wǎng)絡(luò),選擇典型問(wèn)題,總結(jié)、提煉解題規(guī)律,梳理知識(shí)納入體系,強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)之間的縱向聯(lián)系,主要針對(duì)一章或一領(lǐng)域的內(nèi)容,適用于第一輪復(fù)習(xí),我們稱(chēng)之為系統(tǒng)復(fù)習(xí)“縱向深入”教學(xué)模式?!皩?zhuān)題復(fù)習(xí)”是從基本問(wèn)題(圖形)出發(fā),逐漸增加條件(或改變圖形),過(guò)渡到專(zhuān)題的核心內(nèi)容,在提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題進(jìn)行變式拓展,建立知識(shí)的橫向網(wǎng)絡(luò),強(qiáng)調(diào)各部分知識(shí)的橫向聯(lián)系,主要針對(duì)跨章或跨領(lǐng)域的內(nèi)容,適用于第二輪復(fù)習(xí),我們稱(chēng)之為專(zhuān)題復(fù)習(xí)“橫向拓展”教學(xué)模式。

    本文以《K字形相似三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)》的教學(xué)實(shí)踐為例,基于“橫向拓展”教學(xué)模式,談?wù)劰P者的一些嘗試研究與思考。

    一、“橫向拓展”教學(xué)模式的基本流程

    1.引入基本圖形

    從基本圖形(基本問(wèn)題)出發(fā),逐漸增加條件(改變圖形),讓學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)基本圖形的特征,然后逐漸拓展延伸基本圖形(問(wèn)題)。

    基本圖形:如圖1,A,C,D三點(diǎn)共線,且∠A=∠D=∠BCE=90°。

    問(wèn)題1:觀察圖形后,你能獲得什么結(jié)論?

    生1:△ABC∽△DCE。

    問(wèn)題2:你能否用一個(gè)英文字母表示一下這個(gè)圖的模型?

    生眾:K字形。

    問(wèn)題3:如圖2,A,C,D三點(diǎn)共線,且∠A=∠D=∠BCE,還有這個(gè)結(jié)論嗎?

    生眾:有。

    2.過(guò)渡核心問(wèn)題,深刻認(rèn)識(shí)基本圖形

    通過(guò)基本圖形(基本問(wèn)題)的拓展延伸,逐漸過(guò)渡到核心知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論,同時(shí)解決問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中,深刻認(rèn)識(shí),明晰核心知識(shí)的考點(diǎn)及典型題。

    問(wèn)題4:如圖3,等邊△ABC中,邊長(zhǎng)為6,D是BC上動(dòng)點(diǎn),∠EDF=60°,這時(shí)你能得到什么結(jié)論?

    生2:△BDE∽△CFD。

    師:你能給出證明嗎?

    生2:能。

    ∵△ABC是等邊三角形,∠EDF=60°,

    ∴∠B=∠C=∠EDF=60°

    ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED

    ∴∠BED=∠FDC

    ∴△BDE∽△CFD

    師:當(dāng)BD=1,F(xiàn)C=3時(shí),BE=?

    生3:∵△BDE∽△CFD,∴=

    ∵BD=1,F(xiàn)C=3,CD=5,∴BE=

    師:下面我們對(duì)這道題反思一下,我們從這道題中發(fā)現(xiàn)了什么?學(xué)到了什么?

    生3:我發(fā)現(xiàn)在這個(gè)K字形中,一線上三個(gè)角相等的兩個(gè)相似三角形,對(duì)于求線段長(zhǎng),我們又多了一條思路,那就是利用相似三角形性質(zhì),對(duì)應(yīng)邊中已知三邊,可以求第四邊。

    3.典型例題變式,建立橫向網(wǎng)絡(luò)

    引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題進(jìn)行變式拓展,自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論,同時(shí)解決問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中,建立知識(shí)的橫向聯(lián)系,從而提高解決綜合問(wèn)題的能力。

    問(wèn)題5:如圖4,在問(wèn)題4的背景下,將等邊三角形改為等腰三角形,動(dòng)點(diǎn)D,改為定點(diǎn),且為底邊上的中點(diǎn),即在等腰△ABC中,AB=AC,D是BC中點(diǎn),∠EDF=∠B,這時(shí)你能得到什么結(jié)論?

    生4:△BDE∽△CFD。

    師(追問(wèn)):就這一結(jié)論嗎?

    生4點(diǎn)點(diǎn)頭。

    師:好的。你先坐下來(lái)再思考一下,其他同學(xué)還有其他發(fā)現(xiàn)嗎?請(qǐng)大家思考一下。

    ∵∠APQ=∠APB+∠CPQ

    ∠ABC=∠APB+∠PAB

    ∠APQ=∠ABC

    ∴∠CPQ=∠PAB

    又∵∠ABP=180°-∠ABC

    ∠PCQ=180°-∠ABC,∠ABC=∠ACB

    ∴∠ABP=∠PCQ

    ∴△QCP∽△PBA

    師:此題是典型的圖形變式題,對(duì)于這類(lèi)變式問(wèn)題是中考中最常見(jiàn)的,雖然圖形改變,但是方法不變,依舊是原來(lái)的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí),依然沿用剛才的方法便可破解此類(lèi)問(wèn)題。記住口訣:“圖形改變,方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí),通過(guò)哪兩個(gè)三角形相似求解,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),還是找原來(lái)的兩個(gè)三角形,多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的,還是可以沿用原來(lái)的方法求解。

    4.尋求共性規(guī)律,形成解題策略

    學(xué)生在對(duì)典型例題進(jìn)行變式以及解決問(wèn)題的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)共性規(guī)律,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、優(yōu)化解題策略。

    問(wèn)題9:通過(guò)典型例題的變式與拓展,在解決問(wèn)題的過(guò)程中,你發(fā)現(xiàn)了哪些共性的規(guī)律?

    生10:我發(fā)現(xiàn):在圖形中,若條件是頂點(diǎn)共線的三個(gè)角相等,應(yīng)考慮運(yùn)用今天所學(xué)的K字形相似,這類(lèi)型題目往往以等腰三角形或者等邊三角形為背景。

    師:你總結(jié)得很到位。我們把剛才所學(xué)的幾個(gè)圖形提煉如下:

    若條件是頂點(diǎn)共線的三個(gè)角相等,一個(gè)與等腰三角形的底角相等的角,其頂點(diǎn)在等腰三角形底邊(或其延長(zhǎng)線)上,角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊(或其延長(zhǎng)線上)相交(如圖11所示),其中一等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同,當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí),形成變式圖形,圖形雖然變化,但是求證的方法不變。

    二、“橫向拓展”教學(xué)模式實(shí)踐成效

    1.讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展

    基于《K字形相似三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)》這節(jié)課,課后我對(duì)所教的班級(jí)作了問(wèn)卷調(diào)查,問(wèn)卷如下:

    (1)老師這堂課設(shè)計(jì)的問(wèn)題對(duì)你來(lái)說(shuō)難度如何

    ( )。

    A.比較簡(jiǎn)單 B.比較難 C.由簡(jiǎn)單到難

    (2)老師這堂課設(shè)計(jì)基本圖形——K字形,在今后解題時(shí),若遇到的題目中需要用到今天所學(xué)K字形時(shí),是否在較復(fù)雜的圖形中識(shí)別出基本圖形K字形,并運(yùn)用今天總結(jié)的規(guī)律加以解決?

    (3)這堂課你在解決老師課堂任務(wù)單上題目時(shí),是否積極思考了,老師給的時(shí)間夠嗎?若不夠是哪道題?其中哪道題最能激發(fā)你的思維?

    (4)談?wù)勍ㄟ^(guò)這種專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)你最大的收獲是什么。(多談點(diǎn))

    (5)最后請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這堂課提出一些你想表達(dá)的建議。(我希望得到建議,可多談些)

    問(wèn)卷分析如下:

    對(duì)于第(1)題,大部分的同學(xué)回答:C.由簡(jiǎn)單到難,說(shuō)明教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題合理且符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

    對(duì)于第(2)題,80%的學(xué)生回答:通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)能夠解決類(lèi)似題型。

    對(duì)于第(3)題,對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生回答:積極思考,而且認(rèn)為思考的時(shí)間足夠;其中基礎(chǔ)差的學(xué)生回答:老師給的思考時(shí)間不夠,講得有點(diǎn)快;對(duì)于最能激發(fā)思維的都認(rèn)為:?jiǎn)栴}6的最后一問(wèn)及問(wèn)題7,需要用到分類(lèi)討論的思想方法。

    對(duì)于第(4)題,學(xué)生的回答基本上是:

    A學(xué)生:我最大的收獲是基本掌握了K字形的題目,能從復(fù)雜的圖形中識(shí)別出K字形,有些題目還需要在圖形中構(gòu)造K字形,并運(yùn)用其結(jié)論解題??傊?,我這節(jié)課聽(tīng)懂了。

    B學(xué)生:我最大的收獲是可以從反復(fù)講過(guò)的同一類(lèi)型的題目當(dāng)中找到了基本圖形,從而讓解題思路清楚明了,對(duì)解同一類(lèi)型題目增強(qiáng)了信心。

    C學(xué)生:我最大的收獲是原來(lái)涉及這一類(lèi)題易錯(cuò),通過(guò)今天的學(xué)習(xí),覺(jué)得不會(huì)再出錯(cuò),思維變開(kāi)闊了。

    眾生思考。

    對(duì)第(5)題,學(xué)生的回答基本是:

    D學(xué)生:我覺(jué)得這堂課的時(shí)間過(guò)得太快了,不知不覺(jué)就下課了,我還發(fā)現(xiàn):在有關(guān)二次函數(shù)的知識(shí)里也有K字形,可以用今天所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決。

    E學(xué)生:可以在下次考試當(dāng)中放一道有關(guān)K字形的題,檢測(cè)一下我們,看看我們是否真的掌握了,老師最好是你自己編的好題、新題,大家都沒(méi)有做過(guò)的,這樣更能反映我們的真實(shí)水平。

    F學(xué)生(優(yōu)秀生):下次復(fù)習(xí)的時(shí)候,問(wèn)題可以再難點(diǎn),這樣更能激發(fā)我們的思維,提高我們的解題能力。

    由此可見(jiàn),運(yùn)用“橫向拓展”模式進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí),設(shè)計(jì)題目遵循“切入口小、由簡(jiǎn)到難、橫向拓展”的原則,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

    2.教育質(zhì)量明顯提高,培養(yǎng)優(yōu)生效果顯著

    中考復(fù)習(xí)第二輪,我校九年級(jí)數(shù)學(xué)組進(jìn)行了中考復(fù)習(xí)課的研究與實(shí)踐,其中實(shí)驗(yàn)班采用了“橫向拓展”專(zhuān)題復(fù)習(xí),其余沿用了傳統(tǒng)專(zhuān)題復(fù)習(xí)。筆者將這次九年級(jí)模擬成績(jī)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“九?!保┡c九上期末成績(jī)作了比較:

    由上表數(shù)據(jù)可以看出,906班(這次“實(shí)驗(yàn)班”)九上期末時(shí)成績(jī)從平均分與優(yōu)秀率來(lái)看,與我校其他同層次班級(jí)幾乎在同一起跑線上,但通過(guò)采用“傳統(tǒng)專(zhuān)題復(fù)習(xí)”與“橫向拓展專(zhuān)題復(fù)習(xí)”兩種不同的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)班九模成績(jī)明顯高于同層次且未采用這種模式進(jìn)行復(fù)習(xí)的班級(jí),對(duì)優(yōu)生的培養(yǎng)也起到了意想不到的效果,在第二輪復(fù)習(xí)難度增加的情況下,同層次班級(jí)優(yōu)秀生略有下降,而實(shí)驗(yàn)班的優(yōu)秀率明顯增多。由此可見(jiàn),運(yùn)用“橫向拓展”模式進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí),不但能提高教育教學(xué)質(zhì)量,還能培養(yǎng)尖子生。

    3.開(kāi)發(fā)成資源,讓大家共享

    課后研討也得到了同伴聽(tīng)課老師的一致好評(píng),同時(shí)得到我區(qū)教研員周老師的認(rèn)可:本節(jié)課以問(wèn)題為主線,注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考,從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)結(jié)論,使學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、推理、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程,使學(xué)生更加主動(dòng)、富有探索性地學(xué)習(xí),逐步培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)提煉基本圖形,并將圖形進(jìn)行不斷的變式,橫向拓展,有效地落實(shí)了“四基”。建議繼續(xù)研究并開(kāi)發(fā)下去,匯編成教學(xué)資源,讓大家共享。

    三、建立“橫向拓展”教學(xué)模式的框架

    “橫向拓展”教學(xué)模式是從基本問(wèn)題、基本圖形出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題,解決問(wèn)題。通過(guò)對(duì)基本問(wèn)題、基本圖形的分析與思考,主動(dòng)尋求解決問(wèn)題的方法并產(chǎn)生新的問(wèn)題,進(jìn)而尋求解決問(wèn)題的方法,再產(chǎn)生新的問(wèn)題,使問(wèn)題和思維層次逐漸深入,是遞進(jìn)的過(guò)程(如圖12)。在解決問(wèn)題的過(guò)程中,歸納知識(shí)使知識(shí)系統(tǒng)化,并橫向拓展,切實(shí)提高了學(xué)生的解決問(wèn)題和解題能力。同時(shí)學(xué)生在變式拓展的過(guò)程中積累了解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法,為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ),今后的解題能做到舉一反三。

    專(zhuān)題復(fù)習(xí):“橫向拓展”教學(xué)模式

    四、“橫向拓展”教學(xué)模式與“傳統(tǒng)專(zhuān)題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式的區(qū)別

    “傳統(tǒng)專(zhuān)題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式是由教師提出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)基本概念并解決問(wèn)題,從而納入知識(shí)體系,然后就知識(shí)要點(diǎn)有針對(duì)性地強(qiáng)化訓(xùn)練。它與“橫向拓展”的區(qū)別有以下兩點(diǎn):

    一是“橫向拓展”教學(xué)模式是學(xué)生由基本圖形(基本問(wèn)題)中的條件主動(dòng)思考問(wèn)題,由問(wèn)題去思考用什么知識(shí)去解決問(wèn)題,學(xué)生在主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系,整個(gè)過(guò)程是學(xué)生的行為,而教師利用自己精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生去尋找共性規(guī)律,并形成解題策略,讓學(xué)生掌握這一類(lèi)型的方法。

    二是“傳統(tǒng)專(zhuān)題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式是由教師提出問(wèn)題,牽著學(xué)生走,學(xué)生被動(dòng)記憶和接受知識(shí),由概念、結(jié)論去想問(wèn)題,被動(dòng)回答問(wèn)題,不能提出問(wèn)題,整個(gè)過(guò)程是教師的行為。

    在專(zhuān)題復(fù)習(xí)的教學(xué)中,要提高課堂教學(xué)的有效性,關(guān)鍵要教會(huì)學(xué)生把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、模塊化,以期在較短的時(shí)間內(nèi)抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),這樣可以達(dá)到舉一反三,觸類(lèi)旁通的目的。這一切都需要教師在教學(xué)過(guò)程中不斷培養(yǎng)學(xué)生發(fā)掘、提煉、總結(jié)基本圖形,以達(dá)到“做一題,通一類(lèi),會(huì)一片”,從而跳出題海的效果。

    以上是筆者的一些教學(xué)實(shí)踐嘗試,僅以專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的課型開(kāi)發(fā)了一些資源,今后將擴(kuò)大范圍,研究新課的課型,將教學(xué)的理念轉(zhuǎn)變,在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)以“學(xué)為中心,以學(xué)定教”,在理論層次上還需拓展視野,在教學(xué)實(shí)踐上向深處挖,力求從根本上更好地解決學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的普遍性問(wèn)題。

    參考文獻(xiàn):

    1.梁立士.初中數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)“橫向拓展”教學(xué)模式初探[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版),2011(12):10-12.

    2.李德忠,趙同娟.注重變式訓(xùn)練提升思維品質(zhì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版),2013(3):15-16.

    3.孫福明.課型范式與實(shí)施策略.江蘇教育出版社,2012(06).

    4.[美]G·波利亞著.涂泓,馮承天譯.怎樣解題數(shù)學(xué)思維的新方法.上海科技教育出版社,2011(11).

    (作者單位:浙江省杭州市余杭區(qū)仁和中學(xué))

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