利用基本圖形解決圓的幾個(gè)問(wèn)題

李娜婷

內(nèi)容提要：初中數(shù)學(xué)的知初識(shí)內(nèi)容中，圓的基本性質(zhì)、圓與直線的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系及其這幾個(gè)方面知識(shí)結(jié)合三角函數(shù)、相似三角形、函數(shù)等知識(shí)應(yīng)用是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。下面就對(duì)本人在教學(xué)實(shí)踐中所得到的經(jīng)驗(yàn)給予總結(jié)。初中圓知識(shí)的復(fù)習(xí)基本可以分為四塊：1、基本知識(shí)、基本圖形的熟練掌握和應(yīng)用。2、答案不唯一性的討論。3、變化中尋找不變的量或關(guān)系。4、圓在綜合題中的應(yīng)用。以上這四塊知識(shí)應(yīng)該分塊系統(tǒng)地進(jìn)行復(fù)習(xí)，并且在復(fù)習(xí)中注意題目的演變和應(yīng)用。再配合相應(yīng)的練習(xí)，效果應(yīng)該會(huì)更加的好。

關(guān)鍵詞：圓 基本圖形 不唯一性 變化

【分類(lèi)號(hào)】G634.6

一、基本知識(shí)、基本圖形的熟練掌握和應(yīng)用。

圓的基本知識(shí)主要可以分為：關(guān)于圓的定理，圓與點(diǎn)、線、其他圓位置關(guān)系兩大塊。

關(guān)于圓的基本定理可以從圓的兩個(gè)主要性質(zhì)中得到。1、圓的軸對(duì)稱(chēng)性—對(duì)稱(chēng)軸為直徑所在的直線。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可以方便的得到垂徑定理。2、圓的旋轉(zhuǎn)不變性—圓以圓心為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)任意角度能和原來(lái)的圓重合。由這個(gè)性質(zhì)也可以容易的得到圓心角定理。再由圓心角定理推出圓周角定理。關(guān)于這幾個(gè)定理的敘述和證明同學(xué)們都應(yīng)該已經(jīng)熟練地掌握。

圓與點(diǎn)、線、其他圓位置關(guān)系。這三種位置關(guān)系的關(guān)鍵就是分別討論點(diǎn)與圓心之間的距離和半徑的比較、圓心與直線的距離和半徑的比較、圓心和圓心之間的圓心距和兩圓半徑關(guān)系的比較。結(jié)合在一起復(fù)習(xí)，就有對(duì)比性，學(xué)生容易掌握。

二、答案不唯一性的討論。

在初中圓的知識(shí)中，學(xué)生比較容易犯錯(cuò)的還有就是碰到有兩個(gè)或兩個(gè)以上答案時(shí)，很多學(xué)生經(jīng)?？紤]的不夠全面，導(dǎo)致犯錯(cuò).下面我就對(duì)一些經(jīng)?？赡艹霈F(xiàn)多個(gè)答案的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行小結(jié).

在一個(gè)圓中，大家知道一段弧所對(duì)的弦只有一條，但一條弦所對(duì)弧卻有兩段，并且這兩段弧組成這個(gè)圓.如圖，已知劣弧AB所對(duì)的圓心角∠AOB=

120度，則這條弧所對(duì)的圓周角度數(shù)為60度，只有一個(gè)答案.若已知

弦AB所對(duì)的圓心角∠AOB=120度，則弦AB所對(duì)的圓周角為60度或

120度，有兩個(gè)答案.此題還可以這樣問(wèn)，若已知弦AB=8，圓半徑

R=5，求這條弦的中點(diǎn)到它所對(duì)弧中點(diǎn)的距離，則也應(yīng)該有兩個(gè)答案，

2或8.

在圓與圓的位置關(guān)系中，若兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，則有外離和內(nèi)含兩種情況.若兩圓有交點(diǎn)，則有相切和相交兩種情況.其中需要注意的是相切有外切和內(nèi)切之分.這也是比較容易考到的知識(shí)點(diǎn).如，若已知相切兩圓的圓心距為2，其中一個(gè)圓的半徑為5，求另一個(gè)圓的半徑.此題首先應(yīng)該明白相切有外切和內(nèi)切兩種，但根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知只能是內(nèi)切關(guān)系，內(nèi)切兩圓圓心距為大圓半徑減去小圓半徑，但已知條件中只告訴大家一個(gè)圓的半徑為5，并不知道這個(gè)是大圓還是小圓，所以答案有兩個(gè)，為7或3.我們也可以討論一下兩個(gè)圓移動(dòng)的問(wèn)題，

三、變化中尋找不變的量或關(guān)系。

變化一般是指圖形中一個(gè)點(diǎn)或者一部分圖形按照一定的規(guī)律在移動(dòng).解這一類(lèi)題的關(guān)鍵是能夠在變的過(guò)程中尋找發(fā)現(xiàn)一些不變的量或者關(guān)系，并應(yīng)用這些量或關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.在第一部分的前后兩大組基本圖形中，大家也應(yīng)該已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一個(gè)規(guī)律.下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題.

如圖，已知點(diǎn)P是圓O中直徑BC延長(zhǎng)線

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P做圓O的切線PA切圓O

于點(diǎn)A，連接AB，作∠APB的角平分線PM交

AB于點(diǎn)M.問(wèn)在點(diǎn)P往BC的延長(zhǎng)線移動(dòng)的過(guò)程

中，∠AMP是否發(fā)生變化，若變化說(shuō)明理由，若不變，請(qǐng)計(jì)算∠AMP的值.

分析：無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，PA永遠(yuǎn)與圓O相切，切點(diǎn)為A，所以可以連接AO，可知∠OAP=90度.因?yàn)锽O=PO=R，PM為∠APB的角平分線，所以∠OBA=∠OAB，∠APM=

∠BPM.又因?yàn)椤螦OP=∠OBA+∠OAB=2∠OBA，∠AMP=∠OBA+∠MPB，∠AOP+∠APB=90度，所以∠AMP=45度.在P的移動(dòng)過(guò)程中，這個(gè)關(guān)系始終成立.所以∠AMP不會(huì)變，永遠(yuǎn)為45度.

諸如上題的題目也比較多，同學(xué)們拿到題只要不要被變化所嚇倒，認(rèn)真分析思考，尋找到一些不變的量或關(guān)系，此類(lèi)題就可以引刃而解.

四、圓在綜合題中的應(yīng)用

圓的知識(shí)在綜合題中的應(yīng)用，就是要利用圓的性質(zhì)規(guī)律，結(jié)合三角函數(shù)，相似三角形，函數(shù)等知識(shí)來(lái)解決綜合性比較高的一些問(wèn)題.下面可以看個(gè)例子.

如圖所示，有一正方形ABCD，和一直徑為BC的圓.BC=2cm，現(xiàn)在有兩點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)B，點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)B的時(shí)間為t s.求

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，EF//BC？

（2）設(shè)t大于1小于2，當(dāng)t 為何值時(shí)，EF與圓相切？

（3）當(dāng)t 大于等于1小于2時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問(wèn)點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若變化說(shuō)明理由？若不變，求AP：CP的值.

分析：（1）EF//BC要成立，根據(jù)題目意思，點(diǎn)F肯定在DC段.

畫(huà)出E1F1//BC如備用圖一所示.可知BE1=t，CF1=4-2t.

因?yàn)樗倪呅蜤1BCF1為矩形，所以BE1=CF1.所以

t =4-2t.解得t=4/3.

像上題這樣綜合性高的題目比較多，大家只要認(rèn)真分析，圖畫(huà)清楚，能夠在圖中找到我們所熟悉的基本圖形，并能結(jié)合其他知識(shí)應(yīng)用，基本上也能過(guò)關(guān).

以上觀點(diǎn)是本人的一些不成熟的看法，希望對(duì)大家有所幫助。