滲透類比思想 理清數(shù)學(xué)算理

趙振寧

[摘? 要] 類比的數(shù)學(xué)思想是促進(jìn)新知與舊知的聯(lián)系，提升學(xué)習(xí)能力的一種重要手段. 在教學(xué)中通過學(xué)習(xí)活動(dòng)的開展，使學(xué)生通過類比自主學(xué)習(xí)，自主辨析，理解數(shù)學(xué)的思想和本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智慧.

[關(guān)鍵詞] 類比思想、數(shù)學(xué)算理、思維生長

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開類比的思想，通過已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比和推理，自主學(xué)習(xí)新知，并進(jìn)行辨析，提高學(xué)習(xí)的效率. 計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是數(shù)學(xué)計(jì)算涉及的種類、符號(hào)、運(yùn)算法則非常多，很多學(xué)生會(huì)混淆計(jì)算法則，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤. 究其原因在于教學(xué)過程中沒有采用類比的思想去學(xué)習(xí)計(jì)算法則，學(xué)生采用強(qiáng)行記憶的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，容易發(fā)生混淆，在教學(xué)計(jì)算的過程中忽視算理，只是通過訓(xùn)練加強(qiáng)學(xué)生的記憶，導(dǎo)致做題過程中的錯(cuò)誤頻出. 筆者聽了一堂關(guān)于“去括號(hào)”的課，結(jié)合本人的思考對(duì)這一課的教學(xué)進(jìn)行了改進(jìn)，下面與各位同行進(jìn)行交流.

教材內(nèi)容分析

七年級(jí)代數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容就是去括號(hào)的計(jì)算，在教材內(nèi)容中通過具體的生活場景進(jìn)行了引入，“小亮同學(xué)暑期勤工儉學(xué)售賣廢品，計(jì)算獲得的收入”. 通過列式計(jì)算發(fā)現(xiàn)是一個(gè)比較復(fù)雜的多項(xiàng)式計(jì)算，計(jì)算過程中需要將多項(xiàng)式中的括號(hào)去掉，進(jìn)行化簡并計(jì)算，由此說明了去括號(hào)學(xué)習(xí)的背景和必要性. 教材中通過具體的數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算，列舉特殊的值進(jìn)行嘗試，然后通過猜想驗(yàn)證的方法發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律，使學(xué)生經(jīng)歷了嘗試、觀察、猜想和驗(yàn)證結(jié)論的過程，得到了運(yùn)算的規(guī)律. 教材內(nèi)容是通過由具體數(shù)值到通用公式、由特殊到一般的歸納或者類比推理的過程，進(jìn)行概括和總結(jié)運(yùn)算規(guī)律的法則的. 通過運(yùn)算法則的實(shí)際運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中探究推理的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)從具體算式到符號(hào)公式的推理過程，激發(fā)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)[1].

教學(xué)設(shè)計(jì)與改進(jìn)策略

1. 創(chuàng)設(shè)生活情境，吸引學(xué)生注意力

示例1? 在暑假的職業(yè)體驗(yàn)活動(dòng)中，小亮從每戶家庭以每斤0.4元的價(jià)格收購廢品，以每斤0.5元的價(jià)格賣出了b斤（b≤a）廢品，剩余的廢品以每斤0.2元的價(jià)格賣給了社區(qū)廢品回收處，請(qǐng)問小亮獲利多少元？

提出問題：列出多項(xiàng)式-0.4a+0.5b+0.2（a-b），可以繼續(xù)進(jìn)行化簡計(jì)算嗎？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)生活中的情境，進(jìn)而得到一個(gè)含有括號(hào)的多項(xiàng)式，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)去括號(hào)計(jì)算的必要性，為接下來的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 通過情境導(dǎo)入，學(xué)生能夠自然地融入，體會(huì)到去括號(hào)計(jì)算在生活中的使用非常廣泛，也展示出了本課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容以及了解了為什么要學(xué)習(xí)這一內(nèi)容.

設(shè)計(jì)不足：實(shí)際教學(xué)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)導(dǎo)入的問題情境，很多學(xué)生無法解決，沒有能列出準(zhǔn)確的算式，導(dǎo)致后續(xù)的活動(dòng)無法開展. 情境創(chuàng)設(shè)的目的無法順利達(dá)成，這就表明這個(gè)問題超出了大部分學(xué)生的實(shí)際水平，也顯示了教師沒有能準(zhǔn)確地估計(jì)到學(xué)生的學(xué)習(xí)程度，一些學(xué)生需要教師的幫助才能列出算式. 這個(gè)問題需要學(xué)生由生活化的問題抽象出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，在一開始的教學(xué)就提出這種難度的問題，很容易一下子讓學(xué)生感覺到困難，從而影響了接下來學(xué)習(xí)的積極性，影響到課堂的實(shí)際教學(xué)效果.

改進(jìn)設(shè)計(jì)：

計(jì)算：（1）+

+;（2）-

+;（3）3+（a-2）;（4）a-（a-2）.

改進(jìn)意圖：本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是學(xué)習(xí)去括號(hào)的運(yùn)算法則，其本質(zhì)是在數(shù)字運(yùn)算的基礎(chǔ)上探究符號(hào)的運(yùn)算. 數(shù)字計(jì)算具有很多類似的地方，運(yùn)算的法則也相類似，因此可以讓學(xué)生在計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察和類比. 例2中的四個(gè)運(yùn)算式，第（1）、（2）題是具體數(shù)字的運(yùn)算，學(xué)生較為熟悉，可以運(yùn)用之前學(xué)過的運(yùn)算法則通過先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再進(jìn)行運(yùn)算，也可以把括號(hào)去掉后再進(jìn)行計(jì)算. 這里的計(jì)算是通過減法的運(yùn)算法則，即a-b-c=a-（b+c），通過計(jì)算的過程，學(xué)生可以感受到去括號(hào)計(jì)算和先計(jì)算括號(hào)內(nèi)再進(jìn)行計(jì)算，兩種方式計(jì)算的順序是不一樣的，以此感受到去括號(hào)可以使運(yùn)算簡便，提高運(yùn)算的速度，是數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要. 第（3）、（4）題以代數(shù)式的形式出現(xiàn)，讓學(xué)生思考是否可以直接去掉括號(hào)進(jìn)行計(jì)算，在前面計(jì)算數(shù)字的基礎(chǔ)上，感受去括號(hào)的相同方法，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)式去括號(hào)的認(rèn)知沖突，感受去括號(hào)計(jì)算的必要性. 在這里可以逐步介紹改變運(yùn)算順序的重要性，以及括號(hào)和括號(hào)前符號(hào)的功能，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到要將括號(hào)內(nèi)的代數(shù)式看作一個(gè)整體，加或者減括號(hào)內(nèi)的整體，為下一步歸納去括號(hào)的運(yùn)算法則奠定基礎(chǔ).

2. 探究過程

示例2? 填表

[a b c a+（-b+c） a-b+c a-（-b+c） a+b-c 5 2 -1 -6 -4 3 -9.5 -5 -7 ]

觀察表格，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？可以自己隨意想幾個(gè)數(shù)驗(yàn)證一下.

設(shè)計(jì)意圖：探究新知的過程設(shè)計(jì)了一個(gè)填表的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生通過使用具體的數(shù)字進(jìn)行代入計(jì)算，用最后的計(jì)算結(jié)果作為依據(jù)，發(fā)現(xiàn)結(jié)果之間的聯(lián)系，進(jìn)而猜想結(jié)果：a+（-b+c）=a-b+c、a-（-b+c）=a+b-c，由數(shù)字到字母，體會(huì)數(shù)和式之間的聯(lián)系，經(jīng)過充分的驗(yàn)證，證實(shí)了學(xué)生的猜想，鍛煉了邏輯推理能力，學(xué)會(huì)了如何從具體的數(shù)字中進(jìn)行歸納和概括，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

設(shè)計(jì)不足：學(xué)生在實(shí)際計(jì)算當(dāng)中，填表花了很長時(shí)間，甚至出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不一致的想象，使得接下來的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)歸納的探究非常不順暢. 探究過程的不順利反映出教師在課前的預(yù)設(shè)不夠充分，以致沒有有效生成，偏離研究的主題. 重新觀察這項(xiàng)探究活動(dòng)的實(shí)施，總體的意圖是非常好的，但是填表計(jì)算涉及到之前學(xué)習(xí)的求代數(shù)式的值，是學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)，特別表現(xiàn)在代入時(shí)的規(guī)范計(jì)算、符號(hào)處理等等，而這張表格當(dāng)中還涉及的數(shù)字運(yùn)算是非常復(fù)雜的，并且數(shù)字也非常多，實(shí)際有十幾道計(jì)算題的計(jì)算量，而且還要再換幾個(gè)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，其運(yùn)算量和難度是非常大的，這也是導(dǎo)致探究新知的活動(dòng)推進(jìn)不夠順利的原因.

改進(jìn)設(shè)計(jì)：完成表格

觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

改進(jìn)意圖：探究活動(dòng)除了要思考如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，進(jìn)行新知的探索之外，還要注意活動(dòng)的時(shí)間、學(xué)生的完成度、可操作性等等，才能保證探究活動(dòng)的效果. 因此根據(jù)實(shí)際操作中的問題進(jìn)行了一些改進(jìn)，把原來十幾題的計(jì)算量減少了，數(shù)字也變得簡單一些，這樣可以有效保證活動(dòng)有充足的時(shí)間，也能提高計(jì)算的正確率和計(jì)算速度，保證每位學(xué)生都有能力參與探究活動(dòng)，關(guān)注到所有學(xué)生的發(fā)展，而對(duì)于計(jì)算速度快的學(xué)生可以多嘗試幾個(gè)數(shù)，能夠主動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行猜想a+（-b+c）=a-b+c、a-（-b+c）=a+b-c.

3. 理解算理

示例3? 回憶乘法分配律的知識(shí)，你能使用乘法分配律進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

（1） a-（-b+c）

=a+（-1）（-b+c）

=a+（-1）（-b）+（-1）（+c）

=a+b-c

（2）

=a+（-b+c）

=a+（+1）（-b+c）

=a+（+1）（-b）+（+1）（+c）

=a-b+c

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)是回憶舊知，利用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的乘法分配律進(jìn)行應(yīng)用，在應(yīng)用過程中可以進(jìn)行聯(lián)想并證明，以此使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的類比和推理思想，提高學(xué)習(xí)效率.

設(shè)計(jì)不足：學(xué)生在實(shí)際進(jìn)行驗(yàn)證的時(shí)候不能自主完成，與教師的預(yù)設(shè)相去甚遠(yuǎn). 不禁反思是不是學(xué)生對(duì)于乘法分配律的掌握不扎實(shí)呢？為何無法有效完成驗(yàn)證呢？仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)：一是乘法分配律與要驗(yàn)證的代數(shù)式之間的關(guān)系不夠明朗，比較隱蔽，學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系;第二乘法分配律和驗(yàn)證的數(shù)式之間都有相同的符號(hào)a，影響了學(xué)生的建模，所以就很難完成驗(yàn)證[2].

改進(jìn)設(shè)計(jì)：計(jì)算a+2（a+b），a-3（a-b），再驗(yàn)證a+（-b+c），a-（-b+c）.

改進(jìn)意圖：本例的改進(jìn)主要是通過類比辨析讓學(xué)生感受到乘法分配律的應(yīng)用，兩個(gè)計(jì)算式看起來類似，不同點(diǎn)主要是在于系數(shù)不同，首先進(jìn)行具體計(jì)算，再進(jìn)行驗(yàn)證，這樣就使學(xué)生對(duì)于去括號(hào)是特殊乘法分配律的應(yīng)用能夠順其自然地獲得認(rèn)知，理解了去括號(hào)計(jì)算的算理，為學(xué)生思維的發(fā)展搭建了“腳手架”.

4. 總結(jié)法則

示例4? 教師引導(dǎo)學(xué)生一起歸納本課學(xué)習(xí)的計(jì)算法則.

設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)概括讓學(xué)生進(jìn)一步生成對(duì)運(yùn)算法則的理解.

預(yù)設(shè)不足：在總結(jié)歸納時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難用語言進(jìn)行概括，即便在教師的幫助下理解和識(shí)記也非常困難，基本是教師強(qiáng)行灌輸下去了，沒有起到應(yīng)有的效果.

改進(jìn)設(shè)計(jì)：請(qǐng)學(xué)生用自己的語言表達(dá)a+（-b+c）=a-b+c，a-（-b+c）=a+b-c的特征. 經(jīng)過運(yùn)算定律的驗(yàn)證之后，再次引導(dǎo)學(xué)生用語言概括去括號(hào)的特征，通過比較觀察和辨析，從感性的直觀認(rèn)識(shí)上升到理性的規(guī)范，真正理解所學(xué)到的運(yùn)算法則.

改進(jìn)意圖：教學(xué)過程中對(duì)于去括號(hào)運(yùn)算法則的概括就是對(duì)代數(shù)式符號(hào)化的概括，在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生注意括號(hào)前符號(hào)的變化與不變，發(fā)現(xiàn)去括號(hào)計(jì)算的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生加深對(duì)運(yùn)算法則的認(rèn)識(shí)，并能自覺形成如何計(jì)算的步驟和法則，獲得事半功倍的效果.

5. 板書設(shè)計(jì)

示例5? 將本課所學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行板書.

改進(jìn)設(shè)計(jì)：如圖1

改進(jìn)意圖：用框架結(jié)構(gòu)的形式對(duì)本課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生能夠直觀地看到運(yùn)算法則生成的過程，理解去括號(hào)運(yùn)算的本質(zhì)，并且能夠再次明晰探究這一法則的過程，真正提升運(yùn)算的能力，使學(xué)生深刻理解去括號(hào)的運(yùn)算法則和其中的算理.

改進(jìn)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)

1. 提高計(jì)算能力，發(fā)展符號(hào)思維滿足符號(hào)教學(xué)的要求

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)中的重要使用工具，每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有著特定的意義，因此學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力要求. 那么什么是符號(hào)意識(shí)呢？符號(hào)意識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)科中首先表現(xiàn)為能夠利用符號(hào)表示數(shù)以及數(shù)量關(guān)系和數(shù)字的變化規(guī)律. 學(xué)會(huì)使用符號(hào)進(jìn)行計(jì)算和推理，能夠利用符號(hào)總結(jié)一般性的結(jié)論等. 數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象化的結(jié)果，在教學(xué)中數(shù)學(xué)符號(hào)具有廣泛而不可替代的作用. 其中運(yùn)算符號(hào)是學(xué)生比較熟悉的一類符號(hào)，主要是規(guī)定了如何計(jì)算，如+，-，×，÷，，sin，cos等. 綜合符號(hào)則是指在計(jì)算中可以改變運(yùn)算順序一類的符號(hào)，如（），[]等. 因此，去括號(hào)計(jì)算實(shí)際上是一種化簡運(yùn)算. 學(xué)生在之前的計(jì)算學(xué)習(xí)中已經(jīng)具備了不少的符號(hào)化簡的經(jīng)驗(yàn)，如+（-5），-（-5），--3，7-（-3），（+4）×（-5）等代數(shù)式的符號(hào)化簡. 本課學(xué)習(xí)的去括號(hào)計(jì)算是有關(guān)括號(hào)計(jì)算的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的一次補(bǔ)充和拓展，因此教師要在教學(xué)中給學(xué)生滲透括號(hào)事實(shí)上是一種綜合性數(shù)學(xué)符號(hào)的思想，在數(shù)學(xué)計(jì)算中具備調(diào)整運(yùn)算順序的作用，而根據(jù)運(yùn)算法則和算理要將括號(hào)看作一個(gè)整體. 學(xué)生理解了數(shù)學(xué)符號(hào)的實(shí)質(zhì)對(duì)于如何進(jìn)行符號(hào)化簡就有了更深的理解，為學(xué)習(xí)如何進(jìn)行去括號(hào)的運(yùn)算打下了基礎(chǔ). 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)突出教學(xué)主體，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，是提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的有效途徑，可以提高學(xué)生的運(yùn)算能力，落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)的要求.

2. 探究類比有效促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)

從學(xué)生最初學(xué)習(xí)的數(shù)字運(yùn)算到代數(shù)式的運(yùn)算，是運(yùn)算對(duì)象的推廣和拓展，代數(shù)式的運(yùn)算可以說是一種特殊的數(shù)字運(yùn)算，因此兩者是可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換的. 代數(shù)式的計(jì)算是建立在數(shù)字計(jì)算基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)，是數(shù)字運(yùn)算的抽象表達(dá)，其中涉及的符號(hào)運(yùn)算更加抽象和復(fù)雜，有利于提高學(xué)生的運(yùn)算能力和抽象概括能力. 學(xué)生運(yùn)算能力的提高是一個(gè)長期的過程，需要在數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷豐富中逐漸形成. 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)技能的運(yùn)用都是為數(shù)學(xué)計(jì)算的學(xué)習(xí)助力. 而計(jì)算能力的形成一般都需要經(jīng)歷從具體到抽象、從常量到變量、從單向思維到多向思維的發(fā)展過程. 改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)主要是從數(shù)的計(jì)算進(jìn)行探究，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知習(xí)慣，圍繞學(xué)生運(yùn)算能力慢生成的特點(diǎn)，運(yùn)用類比思想，由具體到抽象，由法則到數(shù)理，逐漸深化，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的生長[3].

3. 符號(hào)學(xué)習(xí)促成數(shù)學(xué)智慧的生成

課堂教學(xué)的核心是學(xué)生如何學(xué)，因此教學(xué)設(shè)計(jì)不僅要關(guān)注教的內(nèi)容更要關(guān)注學(xué)習(xí)者的學(xué)情. 本課在探究活動(dòng)中從研究學(xué)情出發(fā)，通過類比的方法由數(shù)的運(yùn)算類比符號(hào)的運(yùn)算，便于學(xué)生自然地理解去括號(hào)的運(yùn)算法則和算理. 去括號(hào)的計(jì)算實(shí)際上就是符號(hào)計(jì)算的一種化簡，因此在教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生理解符號(hào)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生能夠通過運(yùn)算方法自然理解運(yùn)算算理和法則.

綜上所述，在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)從學(xué)生的理解出發(fā)，圍繞去括號(hào)計(jì)算的主題，以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為基礎(chǔ)，選擇合適的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生類比思考，促進(jìn)學(xué)生思維的生長.

參考文獻(xiàn)：

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