初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的概念理解與培養(yǎng)路徑

周存蘭

[摘? 要] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表述為：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界. 在核心素養(yǎng)以及初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角之下認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象，必須能夠發(fā)掘其新的內(nèi)涵. 這種新的內(nèi)涵意味著對數(shù)學(xué)抽象的理解必須與核心素養(yǎng)培育的最終目標(biāo)相匹配;必須要與學(xué)生的具體學(xué)習(xí)過程，尤其是學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的規(guī)律相匹配;必須要對教師的日常教學(xué)起到指導(dǎo)性的作用. 在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時候，要保證提供給學(xué)生的現(xiàn)實世界中的事例，與所對應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系之間，要有相對簡單、對應(yīng)的關(guān)系，要保證學(xué)生能夠運用自己的數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維，將這些數(shù)學(xué)關(guān)系尋找出來.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;概念理解;培養(yǎng)路徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》已經(jīng)正式發(fā)布，相對于其他學(xué)段的核心素養(yǎng)表達(dá)而言，義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表述更為通俗，其為：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界. 借助這三個表述，可以對初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進行全面的理解. 根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的闡述，初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)表現(xiàn)，包括抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識以及創(chuàng)新意識. 在這些要素當(dāng)中，抽象能力首當(dāng)其沖，這是有原因的. 對于初中數(shù)學(xué)乃至于整個義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)而言，其中的數(shù)學(xué)知識與生活的關(guān)系都非常密切，很多數(shù)學(xué)知識都來自現(xiàn)實世界，所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識又能反作用于現(xiàn)實世界，所以在幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的時候，立足于現(xiàn)實世界進行教學(xué)，然后對現(xiàn)實世界的事物進行數(shù)學(xué)抽象，就是一個基本的教學(xué)思路.

數(shù)學(xué)抽象不是一個新的概念，但是在核心素養(yǎng)以及初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角之下認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象，又必須能夠發(fā)掘其新的內(nèi)涵. 這種新的內(nèi)涵意味著對數(shù)學(xué)抽象的理解必須與核心素養(yǎng)培育的最終目標(biāo)相匹配，必須與學(xué)生的具體學(xué)習(xí)過程，尤其是學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的規(guī)律相匹配，必須對教師的日常教學(xué)起到指導(dǎo)性的作用. 尤其值得一提的是，數(shù)學(xué)抽象過程應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生的體驗過程，只有讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象，才能讓學(xué)生形成關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗性認(rèn)識，并且基于這一認(rèn)識上升為理性思維. 而也只有具備了理性思維的支撐，數(shù)學(xué)抽象才能真正成為學(xué)生的素養(yǎng).

所以對于一線教師來說，要想將初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落實到地，首先要從理論上建立起關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的基本理解，然后要在日常教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，借助日常的教學(xué)實踐以及形成的基本案例，來判斷自己對數(shù)學(xué)抽象的理解，來評價學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成過程與結(jié)果. 這樣的研究思路符合理論聯(lián)系實際的基本需要，也是一線初中數(shù)學(xué)教師進行教學(xué)研究的基本范式.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的概念理解

從定義的角度來看，有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象是指從空間形式與數(shù)量關(guān)系中得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程[1]. 這樣的定義是從數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)角度給出的，其實在學(xué)生把握空間形式與數(shù)量關(guān)系的時候，也有一個數(shù)學(xué)抽象的過程，因為空間形式與數(shù)量關(guān)系在生活當(dāng)中并不是直接出現(xiàn)的，現(xiàn)實中的事物往往都以具體的形態(tài)出現(xiàn)在人們的面前，數(shù)學(xué)中的空間形式與數(shù)量關(guān)系通常都隱含在這些事物的背后，要想讓空間形式與數(shù)量關(guān)系從現(xiàn)實世界中凸顯出來，這個時候觀察者就必須具有數(shù)學(xué)的眼光. 所以說，在“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”這一闡述當(dāng)中，所強調(diào)的核心就是數(shù)學(xué)抽象.

數(shù)學(xué)抽象是需要工具的，這個工具既是指“數(shù)學(xué)的眼光”，同時也是指數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)意識. 數(shù)學(xué)意識是前置性條件，對于絕大多數(shù)人而言，看到現(xiàn)實世界中的事物時，往往是從直觀的角度進行觀察，如形態(tài)、顏色、大小等，所獲得的是直觀感受. 數(shù)學(xué)意識則不同，一個擁有數(shù)學(xué)意識的人，在看到現(xiàn)實世界中的事物時，往往會不由自主地從數(shù)與形的角度去解析，解析得深入與否，又取決于數(shù)學(xué)思維水平的高低. 數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維綜合起來，影響著學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光，進而也就影響到學(xué)生對現(xiàn)實世界的觀察.

由此可以認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中理解數(shù)學(xué)抽象的概念，應(yīng)當(dāng)建立在感性認(rèn)識與理性認(rèn)識相結(jié)合的基礎(chǔ)之上. 要知道數(shù)學(xué)抽象本身是一個抽象的概念，但數(shù)學(xué)抽象的進程體現(xiàn)在學(xué)生身上的時候，卻是數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維共同作用的結(jié)果，表現(xiàn)為學(xué)生看到現(xiàn)實世界中的事物時，能夠剝離其中的非數(shù)學(xué)因素，留下其中的數(shù)學(xué)因素（值得一提的是，這樣的過程會與學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)以及能力高低直接相關(guān)，在剝離的時候有可能會因為自身的水平高低而出現(xiàn)不同的結(jié)果），從而在自己的大腦中建構(gòu)起一個關(guān)于現(xiàn)實事物的數(shù)學(xué)表象. 這個表象是由數(shù)與形組合而成的，是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，是反映現(xiàn)實生活中事物內(nèi)在數(shù)學(xué)特征的模型.

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，教師就應(yīng)當(dāng)注意相關(guān)的教學(xué)策略. 事實已經(jīng)表明，大量的機械學(xué)習(xí)和機械訓(xùn)練容易導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力不理想[2]. 因此要在數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就需要通過具體的案例分析，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的基本規(guī)律，去尋找到有效的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的評價維度. 下面筆者就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)途徑，進行進一步的陳述.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)路徑

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中尋找數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)路徑，并不是一件輕而易舉的事情. 事實表明，教師如果要開展抽象思維的教學(xué)，就必須明確數(shù)學(xué)教學(xué)訓(xùn)練的目標(biāo)、層次、內(nèi)容. 教師只有建立一套教學(xué)目標(biāo)體系，才能夠長期地、持續(xù)地、定向地開展數(shù)學(xué)教學(xué)，避免在數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)教學(xué)偏差. 而基于數(shù)學(xué)抽象的基本特征，筆者以為在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時候，要保證提供給學(xué)生的現(xiàn)實世界中的事物，與所對應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系之間，要有相對簡單、對應(yīng)的關(guān)系，要保證學(xué)生能夠運用自己的數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維，將這些數(shù)學(xué)關(guān)系尋找出來. 當(dāng)然這么強調(diào)并不是說要讓數(shù)學(xué)關(guān)系清晰可見，而是強調(diào)在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，通過學(xué)生的努力以及教師恰到好處的引導(dǎo)，使學(xué)生擁有一個充實的體驗數(shù)學(xué)抽象的過程.

例如，“點、線、面、體”的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到這是幾何知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，同時這也是一個培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的契機. 這是因為“點、線、面、體”既是純粹的數(shù)學(xué)概念，同時在日常生活中又有著相應(yīng)的運用，當(dāng)然即使是同一個概念，在數(shù)學(xué)當(dāng)中和在生活當(dāng)中的含義會有所不同，對于初中學(xué)生來說，他們對于“點、線、面、體”的認(rèn)識，首先來自生活，生活中所說的出發(fā)點、直線、平面、物體等等，都是學(xué)生關(guān)于“點、線、面、體”的生活認(rèn)識. 當(dāng)在生活中提到“點、線、面、體”時，學(xué)生大腦當(dāng)中所浮現(xiàn)出來的，也就是關(guān)于“點、線、面、體”的實際物體. 這里可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在生活中形成的經(jīng)驗具有一個基本的特征——概念與實物的一一對應(yīng). 這里還隱藏著一個重要的規(guī)律，即學(xué)生在生活中所形成的經(jīng)驗，往往就是通過概念名稱與實際物體構(gòu)建出來的. 對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，這是教學(xué)的基礎(chǔ)，對于數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)來說，在實際物體與概念名稱之間嵌入數(shù)學(xué)知識，是一個重要的教學(xué)目的，也是數(shù)學(xué)抽象的根本所在. 換句話說，當(dāng)學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)知識銜接概念與實際物體的時候，就是數(shù)學(xué)抽象教學(xué)成功的時候.

本著這樣的思路，對于“點、線、面、體”的教學(xué)，就要重視數(shù)學(xué)抽象過程的設(shè)計. 筆者在教學(xué)時，重點設(shè)計了這樣幾個環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：讓學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗，說出生活中與“點、線、面、體”相關(guān)的物體或概念.

這是一個調(diào)動學(xué)生生活經(jīng)驗的過程，也是讓學(xué)生的思維指向“點、線、面、體”的過程. 當(dāng)學(xué)生分別舉出“點、線、面、體”的例子時，他們會不由自主地將自己所認(rèn)為的“點、線、面、體”的物體進行比較，這實際上就為后面通過分析與綜合總結(jié)得出“點、線、面、體”的特征打下基礎(chǔ).

從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的角度來看，在這個環(huán)節(jié)，學(xué)生所舉出的例子越豐富，數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)也就越扎實. 當(dāng)然豐富的例子只是數(shù)學(xué)抽象的必要條件之一，要想讓數(shù)學(xué)抽象真正發(fā)生，還離不開教師的引導(dǎo). 這就使得數(shù)學(xué)抽象的體驗過程進入第二個環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)2：通過問題驅(qū)動學(xué)生數(shù)學(xué)抽象體驗的形成.

數(shù)學(xué)抽象強調(diào)的是從現(xiàn)實世界的物體走向抽象世界的數(shù)學(xué)，即“數(shù)”從“形”中抽象出來. 對于“點、線、面、體”這一內(nèi)容的教學(xué)來說，就是要讓學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識到“點、線、面、體”意味著什么. 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，數(shù)學(xué)抽象的切入口可以從“體”開始，在學(xué)生的經(jīng)驗世界里，與“體”相關(guān)的就是物體，而在現(xiàn)實世界中“物體”有著無數(shù)種，如何從紛繁復(fù)雜的無數(shù)種物體中抽象出“體”的認(rèn)識呢？這就需要因繁就簡，需要運用數(shù)學(xué)抽象的方法，解析出復(fù)雜物體中的簡單物體. 比如說讓學(xué)生研究一個房子（如教室）的結(jié)構(gòu)，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，盡管房子的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，但是如果“拆”開來，就可以得到“方形的墻”——這就對應(yīng)著“長方體”和“正方體”，可以得到“圓形的柱子”——這就對應(yīng)著“圓柱體”……其后，換一個視角去看“方形的墻”和“圓形的柱子”，就可以得到“長方形”或者“圓形”（甚至還有學(xué)生提出，如果斜著看圓柱的截面，還可以得到“橢圓形”），這個時候的“形”，實際上就是基于平面的抽象結(jié)果;接著，引導(dǎo)學(xué)生抽象得出“線”. 學(xué)生生活中建立起的關(guān)于線的概念，來自那些叫線的物體，如電線、導(dǎo)線、棉線等，因此學(xué)生會認(rèn)為“細(xì)”“長”的物體，即可稱之為線. 有此經(jīng)驗基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)抽象的運用空間可以是讓學(xué)生去觀察教室中墻壁與墻壁的交界處，這樣以激活學(xué)生的經(jīng)驗認(rèn)識，還能夠進一步讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)意義上的線是沒有粗細(xì)的. 事實上這些認(rèn)識還可以為后續(xù)的點埋下伏筆，通過數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生就可以認(rèn)識到數(shù)學(xué)意義上的點沒有實際的大小……

環(huán)節(jié)3：通過總結(jié)獲得數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果.

數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果往往表征為數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的得出，因此教師借助數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的構(gòu)建與運用水平，來判斷學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過程中體驗的效率，這是一個具有因果關(guān)系的過程. 一個簡單的做法是，在黑板上用粉筆描出一個白點、畫出一條白線，然后問學(xué)生：這是不是數(shù)學(xué)意義上的點或線？等到學(xué)生做出判斷之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生辨析，這樣“學(xué)生看得到的白點和白線”與“數(shù)學(xué)意義上的點和線”的區(qū)別也就凸顯出來了.

數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)指向與教學(xué)前瞻

通過上述教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，很關(guān)鍵的一點就是：教師自身要有明確的數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的意識. 這種意識的養(yǎng)成，對于實際教學(xué)的過程與結(jié)果影響巨大，因為當(dāng)教師擁有數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的意識時，其會在教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實施的每一個環(huán)節(jié)，都去關(guān)注有沒有數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的機會;反之如果沒有這種意識，那么即使有無數(shù)個機會也會被忽視. 教師除了必須有明確的數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)意識，還必須有明確的教學(xué)目的指向. 作為初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，立足于數(shù)學(xué)抽象過程的體驗，去培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)的能力，最終的目的是為了讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，也就是讓學(xué)生擁有用數(shù)學(xué)的眼光觀察實際生活的本領(lǐng).

既然新版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)正式發(fā)布，那么立足于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，筆者以為核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)一定會以文始提到的“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”教育理念為出發(fā)點和落腳點，同時未來的初中數(shù)學(xué)教學(xué)也一定會在具體的教學(xué)案例研究與分析當(dāng)中，得出包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的評價方法與機制. 如此，數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)就可以形成一個從意識建立到策略形成，再到評價機制形成的教學(xué)回路，這樣也就可以讓學(xué)生處于一個良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)當(dāng)中.

總而言之，數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生的抽象思維能力作為基礎(chǔ)[3]. 在核心素養(yǎng)的背景之下，必須高度重視數(shù)學(xué)抽象的教學(xué). 當(dāng)然要說明的是，強調(diào)數(shù)學(xué)抽象的重要性，并不是說在數(shù)學(xué)教學(xué)中只重視數(shù)學(xué)抽象，實際上數(shù)學(xué)抽象是整個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系的組成部分，基于整體的視角去強調(diào)數(shù)學(xué)抽象的作用，更能夠讓整個核心素養(yǎng)落地.

參考文獻：

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