在概念形成中培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象

向毅

摘 要： 概念形成實(shí)質(zhì)是抽象出某一類對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征的過程。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果在一定程度上受到數(shù)學(xué)抽象影響，數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本文立足于初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，以“乘法（第一課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探索在概念形成中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象。

關(guān)鍵詞：概念形成 數(shù)學(xué)抽象 乘方

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2017）02-0151-01

概念形成是指“從大量的同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是抽象出某一類對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征的過程。[1]”數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一[2]，“是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程。”[3]學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果在一定程度上受到數(shù)學(xué)抽象影響[4]。分析其主要原因有，數(shù)學(xué)具有抽象性這一特性。數(shù)學(xué)與客觀現(xiàn)實(shí)有緊密的聯(lián)系，又與現(xiàn)實(shí)世界中的具體事物有一定距離，特別是使用了高度抽象的數(shù)學(xué)語言，增加了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度。因此，數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本文立足于初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，以“乘法（第一課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探索培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

（1）讓學(xué)生理解并掌握有理數(shù)的乘方、冪、底數(shù)、指數(shù)的概念及意義；

（2）能夠正確進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。

2.過程與方法

（1）在現(xiàn)實(shí)生活的情境中讓學(xué)生獲得有理數(shù)乘方的初步經(jīng)驗(yàn)；

（2）培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、抽象的能力；

（3）經(jīng)歷從乘法到乘方的推廣的過程，從中感受化歸的數(shù)學(xué)思想。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

讓學(xué)生在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，探索規(guī)律的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和勇于探索的精神，增進(jìn)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：有理數(shù)乘方的定義，有理數(shù)的乘方運(yùn)算規(guī)律。

教學(xué)難點(diǎn)：有理數(shù)乘方的運(yùn)算的符號(hào)法則；乘方與冪的相互關(guān)系。

三、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：前面我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，在有理數(shù)乘法的運(yùn)算中，有時(shí)我們會(huì)碰到求幾個(gè)相同因數(shù)的積的情況。

邊長為2cm的正方形的面積，怎么表示？棱長為2cm的正方體的體積，怎么表示？

生1：邊長為2cm的正方形的面積是 （cm2）；棱長為2cm的正方體的體積是 （cm2）。

師： ， 都是相同因數(shù)的乘法，為了簡便，我們將它們分別記作 ， 。

【設(shè)計(jì)意圖】在有理數(shù)的乘法運(yùn)算中，我們會(huì)碰到多個(gè)相同的因數(shù)相乘的情況，由于相同因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)可能較多，書寫起來比較麻煩而且容易寫重或?qū)懧?，讀起來也費(fèi)時(shí)費(fèi)力。從現(xiàn)實(shí)生活的情境中讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)有理數(shù)乘方的必要性，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

2.提出問題，探求新知

師：形如 、 、 、 ，就是我們今天學(xué)習(xí)內(nèi)容“乘方”。乘方是什么樣的運(yùn)算？

生2：多個(gè)相同的因素相乘

師：幾個(gè)相同的因數(shù) 相乘，如何表示？

生3：記作

師：一般地，幾個(gè)相同的因數(shù) 相乘，即 ，記作 。這種求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。

師：在 中，底數(shù)和指數(shù)分別是多少？讀作什么？它表示什么？

生4：在 中，底數(shù)是9，指數(shù)是4， 讀作9的4次方，或9的4次冪，它表示4個(gè)9相乘，即 。

師：在 中，底數(shù)和指數(shù)分別是多少？讀作什么？它表示什么？

生5： 的底數(shù)是-2，指數(shù)是4，讀作-2的4次方（或-2的4次冪），它表示 。

師：負(fù)數(shù)的乘方，在書寫時(shí)一定要把整個(gè)負(fù)數(shù)（連同負(fù)號(hào)）用小括號(hào)括起來。

師： 與 一樣嗎？

生6： 與 在表示方式是不同的，表示意義也不相同， 表示4個(gè)-2相乘， 表示4個(gè)2相乘的相反數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】教師列舉“乘方”具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)它們共同本質(zhì)特征的抽象，形成“乘方”概念。將“乘方”概念與乘法運(yùn)算建立聯(lián)系，乘方運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，乘方運(yùn)算是乘法運(yùn)算的特殊情況。同時(shí)，使學(xué)生理解并掌握有理數(shù)的乘方、冪、底數(shù)、指數(shù)的概念及意義，認(rèn)識(shí)到乘方與冪的相互關(guān)系。

3.鞏固新知，加深理解

師：乘方如何進(jìn)行計(jì)算？

生8：把乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。

師：乘方運(yùn)算為什么可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算？

生9：因?yàn)?就是 個(gè) 相乘，所以可以利用有理數(shù)的乘法運(yùn)算來進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。

師：在了解了乘方意義，知道乘方是乘法的特殊情況后，我們可以利用有理數(shù)的乘法運(yùn)算來進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。

例1計(jì)算：

（1） （2） （3）

學(xué)生討論：根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算的符號(hào)法則，很容易得到乘方運(yùn)算的法則。如下，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0。

【設(shè)計(jì)意圖】通過例題的講解，讓學(xué)生體會(huì)乘方運(yùn)算是乘法運(yùn)算的特殊情況，然后通過有理數(shù)的乘法符號(hào)規(guī)律，歸納有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律。主要通過例1的分析，引導(dǎo)學(xué)生討論得到：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)的結(jié)論，確定有理數(shù)乘方的運(yùn)算的符號(hào)。能夠正確進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。

4.課堂小結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)談?wù)勀愕氖斋@，你能解決下列問題嗎？

（1）乘方是什么樣的運(yùn)算？

（2）乘方如何進(jìn)行計(jì)算？

（學(xué)生回答略）

【設(shè)計(jì)意圖】教師不是孤立地對(duì)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，而是站在整個(gè)知識(shí)體系的角度歸納小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)地整體性，幫助學(xué)生理清知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系。

5.布置作業(yè)

（1）必做題：教材第42頁練習(xí)題1-3

（2）選做題：例題的變式2

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)的布置，充分體現(xiàn)了讓不同層次學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課教師要重視將因數(shù)的范圍擴(kuò)充到負(fù)有理數(shù)的擴(kuò)充過程，在教學(xué)中要結(jié)合示意圖講清楚冪、底數(shù)、指數(shù)的意義和相互關(guān)系：乘方是一種運(yùn)算，冪是乘方的結(jié)果，就如加法是一種運(yùn)算，和是加法運(yùn)算的結(jié)果一樣。同時(shí)要通過例題、課堂練習(xí)和家庭作業(yè)，加強(qiáng)鞏固乘方概念和運(yùn)算法則。

【總評(píng)】教師按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從最近發(fā)展區(qū)入手，較好地展現(xiàn)了教師的教學(xué)特色。

（1）注重概念形成過程

“乘方”概念形成的基本過程大致是：分析不同實(shí)例的各種屬性——發(fā)現(xiàn)不同實(shí)例的類似之處——對(duì)相似之處進(jìn)行抽象——形成概念?！俺朔健备拍钚纬蛇^程實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)抽象過程，教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生，逐漸培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象。

（2）注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

本節(jié)課以概念產(chǎn)生的數(shù)學(xué)背景為出發(fā)點(diǎn)，建立在解決某些問題的需要的基礎(chǔ)上。由難度適當(dāng)?shù)膯栴}而引起的認(rèn)知沖突，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲和思維的積極性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象。

參考文獻(xiàn)

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：106.

[2]章建躍. 高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考[J]. 課程.教材.教法，2016，07：44-49.

[3]何小亞. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指標(biāo)之反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2016，

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[4]曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：77.