從實驗視角引導學生認知數(shù)學抽象

常國良

摘要：本文從親身實踐的角度對抽象的高中數(shù)學知識感、悟、學，從基于感性的學習到基于理性的思考，將數(shù)學抽象如何形成的過程在課堂教學中層層展現(xiàn)，體現(xiàn)核心素養(yǎng)在一線教學實踐中如何落地。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 數(shù)學抽象 數(shù)學實驗 不等式 圖形計算器

新一輪《普通高中課程標準》于2016年10月遞交了內(nèi)部討論稿，明確規(guī)定了新的課程目標和數(shù)學核心素養(yǎng)，其中“數(shù)學抽象”位居六大核心素養(yǎng)之首?？梢赃@么說，數(shù)學的抽象性是困擾學生數(shù)學學習的最大障礙，這與高中數(shù)學形式化程度較高有直接關(guān)聯(lián)。抽象知識怎么學？數(shù)學抽象素養(yǎng)怎么培養(yǎng)？只有通過反復解題才能獲得嗎？華師大張奠宙教授站在系統(tǒng)的高度告誡我們：好的教師在于引導學生如何將教材中冰冷的、線性的知識用火熱的思考、親身的實踐來獲得。人民教育出版社章建躍博士也說：數(shù)學抽象部分可以借助實驗、信息技術(shù)等方式，讓學生獲得更好的形象感知。

一、基于數(shù)學性質(zhì)的研究

中學數(shù)學有很多概念和性質(zhì)，學生對其的理解往往是基于純粹形式化的證明，這種方式有嚴密性，但是感知度不足。數(shù)學性質(zhì)往往有深刻的生活背景或物理形態(tài)的載體，性質(zhì)理解是否深刻，記憶能否牢固，與學生是否親身參與性質(zhì)的探討有很大的關(guān)聯(lián)。這里所談及的數(shù)學性質(zhì)是具有重要的意義和地位，并非解題經(jīng)驗之類，而是影響某一知識層面的數(shù)學性質(zhì)。其具有下列特點：第一，是某一知識層面的核心，具備了多種知識在此處交匯；第二，性質(zhì)鑲嵌在一定的物理形態(tài)的背景中，可以借助實驗獲得抽象；第三，性質(zhì)的解決涉及到觀察、推理、收集信息、整理信息、分析信息等一系列理解問題、分析問題、解決問題的知識和技能；第四，性質(zhì)的研究需要注重思維的啟發(fā)、抽象能力的培養(yǎng)，實驗手段的使用滿足了這一要求。由此可見，基于實驗手段的數(shù)學性質(zhì)的研究可以成為數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的一個新方式。

師：用滑動變阻器、燈泡等物理器件搭建一個電路回路。

（每四人為一學習組，搭建電路實景圖，并拉動滑塊進行觀察。）

生1：緩慢拉動滑動變阻器上的滑塊，我發(fā)現(xiàn)燈泡的亮度從最明亮到最暗淡，最后又變成最明亮。

師：大家都觀察到類似的實驗現(xiàn)象，那意味著電路中實際電阻值怎樣變化呢？

生2：整個電路回路中實際電阻值的大小變化是：小——大——小。

師：結(jié)合物理相關(guān)知識思考，這是一個什么電路？如何計算電路中的實際電阻值？

二、基于數(shù)學探究的學習

數(shù)學探究是新課程標志性的熱門詞語，但是一線教師真正引導學生做數(shù)學探究的少之又少，而那些讓學生記憶深刻、培養(yǎng)數(shù)學抽象能力的探究幾乎沒有。偽探究我們見了不少，但是真正做探究是如何做呢？首先，教師須要明白什么是探究。美國國家教育科學標準中對探究的定義是：探究是多層次、多方面的活動，包括觀察、提出問題（通過查詢資料發(fā)現(xiàn)已知結(jié)論，指定調(diào)查研究計劃）；用多元的手段收集數(shù)據(jù)、分析調(diào)研數(shù)據(jù)、提出恰當猜想；對研究初步結(jié)果進行交流。在美國國家科學教育標準中，基于教學的探究有下列用法（節(jié)選）：第一，基于探究的教學：科學性教學的核心策略是積極思考對于學生真實探究所出現(xiàn)的反饋和問題。第二，基于探究的學習：從學生角度來說，探究的含義也可以是學習過程。美國國家課程教育標準指出，探究包含一種積極的學習過程——“學生去做的事，而不是為他們做好那些事”。用建構(gòu)主義的話來說，探究要讓學生思考我該怎么做，為什么這么做，甚至是做什么，區(qū)別以往被動接受教師要求學生做，甚至是教師制定大量數(shù)學性質(zhì)、結(jié)論要求學生記憶。

因此，探究性學習是以科學研究的過程來類似做學習研究，從而在掌握知識的同時，體驗、理解、思索科學研究的方式方法，掌握問題研究一般規(guī)律的方式。這種研究對于提高學生數(shù)學興趣、培養(yǎng)其數(shù)學素養(yǎng)有著重要的作用，也特別可以用感性的研究去理解一些抽象的數(shù)學知識。

例2：幾何概型等可能的研究

辨析：這是學生給出的不同的解法。造成不同結(jié)果的原因是什么？經(jīng)過辨析，學生普遍認為第二種解法存在問題，但是錯誤的原因在哪里？數(shù)學表象的背后如何闡述抽象錯誤的原因？本題的本意是要求兩直角邊x、y是（0，1）區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)，從而點落在正方形區(qū)域內(nèi)任一點處都是等可能的；解法2的同學出于好心將問題進行了簡化運算，其一一對應的變換是令m=x2，n=y2，恰恰在此有可能出現(xiàn)了問題。為了闡述這種變換是否等可能，我們可以利用Excel VBA檢驗。步驟如下：

（1）第一列記為橫坐標x，選中A1格，利用Excel自帶函數(shù)Rand，填寫為Rand（0，1），自動產(chǎn)生一個隨機數(shù)，按住右下角拖動至A3000，產(chǎn)生3000個隨機數(shù)；同理：第二列記為縱坐標，選中B1格，產(chǎn)生3000個隨機數(shù)；

（2）第三列記為橫坐標x2，選中C1格，計算“=A1*A1”，按住右下角拖動至A3000，產(chǎn)生3000個隨機數(shù)；同理：第四列記為縱坐標y2，選中D1格，計算3000個隨機數(shù)；

（3）選中A、B兩列，插入—圖表—散點圖，得到（x，y）均勻分布于圖4；

（4）選中C、D兩列，插入—圖表—散點圖，得到（x2，y2）非均勻分布于圖5。

思考：實驗探究表明，一一對應變換并不能保證變量的等可能性。其實從函數(shù)角度也非常好理解，非線性函數(shù)的自變量與函數(shù)值并不是等價變化的，統(tǒng)計學中線性相關(guān)說的正是這個道理。以信息輔助為手段，將變量間抽象的轉(zhuǎn)換關(guān)系以具體的散點圖展示出來，深刻理解了線性相關(guān)下幾何概型的等可能具備傳遞性，而非線性變換由于變換曲率的不同，自然無法達到隨心所欲的變換。實驗教學將這種變換間的數(shù)學抽象表露無遺，促進了學生的思考和理解，增加了學習的興趣。

三、基于碎片化時間的技術(shù)

隨著網(wǎng)絡的不斷發(fā)展，現(xiàn)代教學中微視頻教學、云端微資源的利用、微型化app的使用都不斷滲透到教學中。以微視頻、微博等典型的“微元素”方式促進了“微時代”的迅速發(fā)展，“微”已經(jīng)置身于生活各個領(lǐng)域，從教學角度來說，微課程、微視頻、微課、微系統(tǒng)等等，占領(lǐng)了教學的碎片化時間，大大提高了學習的效率、開拓了教學的資源。

高中數(shù)學教學可以利用碎片化時間，結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)，在短時內(nèi)進行一定的數(shù)學問題實踐，在微型設備（如手機、平板、圖形計算器等）等利用相關(guān)app進行數(shù)學實踐或?qū)嶒?，從技術(shù)的手段思考數(shù)學問題的抽象性。筆者常常以HP公司的圖形計算器為技術(shù)工具（或者圖形計算器的app），在碎片化時間內(nèi)尋求數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

例3：復合函數(shù)單調(diào)性的研究

復合函數(shù)單調(diào)性的研究是一個難點，日常教學中更多是依賴形式化分析、理論證明，學生對于復合函數(shù)的直觀感受比較缺失，我們可以借助現(xiàn)代信息技術(shù)，選擇函數(shù)模型，利用圖形計算器實驗、對比、分析，獲得更多的感性認知，進而思考復合函數(shù)單調(diào)性的變換。

（1）打開圖形計算器界面，選擇APP“函數(shù)”；

（2）在編輯函數(shù)界面，選擇基本初等函數(shù)（即需要復合的函數(shù)）（圖6）；

（3）選擇相應的基本初等函數(shù)進行復合（圖7）思索初等函數(shù)圖象以及復合函數(shù)圖象變化，作圖、歸納結(jié)論，并可以利用單調(diào)性定義對其進行理論性論證。

思考：對于一些一開始無法直觀判斷的復合函數(shù)單調(diào)性，可以通過多次實驗觀察，結(jié)合數(shù)學論證培養(yǎng)學生的復合函數(shù)單調(diào)性的抽象思維。在此教師也可以僅僅提供一個問題，讓學生主動去探索問題，培養(yǎng)學生將自己面對的問題歸類、數(shù)學實驗并驗證的習慣，也可以更進一步讓學生通過技術(shù)手段主動復合不同的函數(shù)，提供多元的思考方向，為后續(xù)理論論證提供感性支撐。

參考文獻

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【責任編輯 郭振玲】