數(shù)學(xué)教學(xué)中隱喻的運(yùn)用

俞昕

【摘要】隱喻是一個深層的認(rèn)知機(jī)制，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師可以使用隱喻來讓學(xué)生熟知一種新的數(shù)學(xué)對象.合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)欣賞、數(shù)學(xué)抽象中的隱喻確實(shí)有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).但也要慎用隱喻，既要有“引進(jìn)的情景化”（隱喻）又要有“提煉的去情景化”（數(shù)學(xué)化）.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)隱喻；數(shù)學(xué)術(shù)語；數(shù)學(xué)欣賞；數(shù)學(xué)抽象

1數(shù)學(xué)教學(xué)中的隱喻

現(xiàn)代認(rèn)知理論視角下，隱喻是一個深層的認(rèn)知機(jī)制.美國隱喻研究專家Lakoff & Johnson認(rèn)為，“隱喻植根于經(jīng)驗(yàn)知識之中，它們（至少部分地）形成了我們做什么、以及如何理解我們正在做的事情的一種結(jié)構(gòu).”Lakoff將隱喻解讀為“用一種事物來理解另一種事物”.這也是目前絕大多數(shù)研究者對隱喻的認(rèn)知功能所達(dá)成的共識.此時，“隱喻”特別需要和心理學(xué)中的“遷移”加以區(qū)分.首先，隱喻具有“A是B”的表達(dá)方式，這是它與遷移相區(qū)別的最明顯標(biāo)志.其次，“遷移”是指“一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響”，它通常發(fā)生在學(xué)習(xí)過程中的兩種學(xué)習(xí)之間；而隱喻中的A、B卻不一定都是學(xué)習(xí)過程中的概念或事物.比如“定義域是盛著點(diǎn)的容器”這個隱喻，“容器”并不是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的事物或概念，它甚至和學(xué)習(xí)沒有什么必然聯(lián)系.另外，遷移的實(shí)質(zhì)是新舊經(jīng)驗(yàn)的整合，整合可通過三種方式實(shí)現(xiàn)：同化、順化和重組；而隱喻的目的是生動形象，深入淺出，把不知或難知的事物或概念等變得能知或易知，它不需將事物或概念等做任何改變[1].

個體的知識常常可以從他們所使用的隱喻中得到更好地理解.如Schon所指出，隱喻可以被看作理解“我們?nèi)绾嗡伎肌⑷绾握J(rèn)識現(xiàn)實(shí)的意義以及看待事物的觀點(diǎn)或方法”的一種方式.Lakoff & Johnson也認(rèn)為，“假如說我們的觀念系統(tǒng)很大程度上是隱喻性質(zhì)的，如果這是正確的話，那么我們的思考方式、我們的個人經(jīng)歷以及我們?nèi)粘Ｉ钪械乃魉鶠橐簿褪且环N隱喻.”有關(guān)教師知識專業(yè)發(fā)展的一些研究文獻(xiàn)都支持這樣的觀點(diǎn)，即隱喻形成了教師思考方式和教學(xué)行為的結(jié)構(gòu)，反映出教師關(guān)于教學(xué)實(shí)踐的信念，并為課堂教學(xué)的過程提供了獨(dú)特的意義，成為理解教師知識的一種手段.由此，有關(guān)文獻(xiàn)也反映出學(xué)生對數(shù)學(xué)的隱喻反映出他們對數(shù)學(xué)的一種信念[2].

Lakoff & Johnson認(rèn)為隱喻主要有三種：結(jié)構(gòu)隱喻、方位隱喻及本體隱喻.結(jié)構(gòu)隱喻：指用一種概念結(jié)構(gòu)構(gòu)造另一種概念.如爭論是戰(zhàn)爭；你的爭論是沒有根據(jù)的；我推翻了他的觀點(diǎn).方位隱喻：指個體處于空間和方位的感覺而構(gòu)成的隱喻.如上—下、里—外、深—淺，中心—外圍等表達(dá)空間的具體概念，投射于人的情緒、身體狀況、數(shù)量、社會地位等抽象概念上，而形成的一些用方位詞表達(dá)的概念系統(tǒng)，如“Happy is up”、“他喝高了”.本體隱喻又可分為“實(shí)體和物質(zhì)隱喻”和“容器隱喻”.“實(shí)體和物質(zhì)隱喻”即通過物體和物質(zhì)來理解人們的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)，從而使人們能把一部分經(jīng)歷作為一種同類的、可分離的物質(zhì)來看待.“容器隱喻”指人是獨(dú)立于周圍世界以外的實(shí)體，每個人本身就是一個容器.人們將這種概念投射于人體以外的其它物體，如房子、叢林、田野、區(qū)域等，甚至將一些無形的、抽象的事件、行為、活動、狀態(tài)也看作一個容器[2].

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的隱喻是指教師用學(xué)生熟知的一種事物、數(shù)學(xué)對象及其特征說明另一種數(shù)學(xué)對象.結(jié)構(gòu)實(shí)體隱喻指用學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)對象或?qū)嶓w結(jié)構(gòu)構(gòu)造另一種數(shù)學(xué)對象.容器隱喻指使用數(shù)學(xué)熟知的個體或事物（包括數(shù)學(xué)對象）處于空間和方位的感覺而說明某一數(shù)學(xué)對象或其特征[3].

2高中數(shù)學(xué)教學(xué)中隱喻的合理運(yùn)用

2.1數(shù)學(xué)術(shù)語的隱喻及其人文內(nèi)涵

數(shù)學(xué)術(shù)語指的是指稱或限定某類數(shù)學(xué)對象的字、詞或詞組.通常是用詞語的一般意義隱喻其數(shù)學(xué)意義.在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以針對某些學(xué)生不容易理解或容易理解錯誤的數(shù)學(xué)術(shù)語，對其的隱喻進(jìn)行挖掘，便于學(xué)生辨析、理解數(shù)學(xué)概念.

比如“函數(shù)”一詞，表面看是用“函”限定“數(shù)”.但其數(shù)學(xué)意義并不是指稱數(shù)，也不是對數(shù)的限定.這一詞匯是清代學(xué)者李善蘭在1859年翻譯Augustus Demorgan所著的《代數(shù)學(xué)原理》（The Elements of Algebra）一書時首次使用的數(shù)學(xué)術(shù)語.原書中“function”一詞的解釋為：“以任何方式包含x的表達(dá)式都是x的函數(shù)，所以a+x和a+bx2都是x的函數(shù).”李善蘭把“function”翻譯為“函數(shù)”，解釋為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.這一解釋更接近李善蘭翻譯的另一本名為《代微積拾級》（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus）的書中對“function”的定義：“當(dāng)一個變量等于一個包含另一個變量的表達(dá)式的時候，第一個變量就叫做第二個變量的函數(shù).”綜上可以看出，李善蘭用“函數(shù)”這個詞匯的用意，其中的“數(shù)”是“變數(shù)”，也就是現(xiàn)在所說的“變量”，而“函”是包含的意思.二者組合在一起叫做“函數(shù)”，表達(dá)的就是“變量包含變量”的關(guān)系，比如“a+x”是一個變量，包含著變量“x”，那么“a+x”就是“x”的函數(shù).所以“函數(shù)”指稱的不是數(shù)，而是變量之間的包含關(guān)系，與當(dāng)時人們對“函數(shù)”的認(rèn)識是吻合的.現(xiàn)在數(shù)學(xué)中對函數(shù)的理解事實(shí)上已經(jīng)發(fā)生了變化，是集合與集合之間的“對應(yīng)”關(guān)系，而不僅僅是變量之間的“包含”關(guān)系了[4].

2.2數(shù)學(xué)欣賞中的隱喻

為了改變數(shù)學(xué)在學(xué)生心目中抽象枯燥的形象，數(shù)學(xué)教師可以通過挖掘數(shù)學(xué)欣賞中的隱喻使學(xué)生親近數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)要在數(shù)量變化中尋求其中的不變因素.許多數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)運(yùn)算律都是一種不變性的描述.李煜的詞：“雕欄玉砌應(yīng)猶在，只是朱顏改”約略反映了這種意境.如一元二次式的配方式ax2+bx+c=ax+b2a2+c-b24a.左右兩端看上去不一致，但是彼此恒等.正如陸游詠梅詩所云：“零落成泥輾作塵，只有香如故”.盡管梅花已經(jīng)碾作塵，依然保持著固有的香味.同樣，數(shù)學(xué)恒等變換無論如何復(fù)雜，其值是永遠(yuǎn)不變的.這使我們想起崔護(hù)的詩《題都城南莊》：“去年今日此門中，人面桃花相映紅.人面不知何處去，桃花依舊笑春風(fēng).”這首抒情詩非常優(yōu)美.但是也可以從另外的角度去欣賞：人面可以隱去，桃花是不變的[5].用人面桃花的變與不變，分析“關(guān)系-映射-反演（RMI）”方法是合適的.比如為了求得S=7.292×33.2412.015，可以用對數(shù)計算法計算如下：（1）取對數(shù)lgS=lg7.292×33.2412.015=2lg7.29+13lg3.24-5lg12.01；（2）查表計算lgS=-4.4981；（3）取反對數(shù)S=0.0003149.幾個式子的原來面貌已不復(fù)存在，剩下的只有桃花依然笑春風(fēng).盡管研究的數(shù)學(xué)對象已經(jīng)通過映射變到另一個領(lǐng)域，已經(jīng)面目全非了，但是我們所要求的結(jié)果，仍然沒有變.等到反演回來，那株桃花依然在笑春風(fēng).

問題是數(shù)學(xué)的心臟.數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)需要解題，而解題過程需要反復(fù)思索，終于在某一時刻出現(xiàn)頓悟.

例如做一道幾何題百思不得其解，突然添了一條輔助線，問題豁然開朗，欣喜萬分.解一道不等式屢屢碰壁，突發(fā)一念，迎刃而解.這樣的意境令人想起王國維借用宋詞來描述的意境：昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路（晏殊《蝶戀花》）.衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴（柳永《蝶戀花》）.眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處（辛棄疾《青玉案》）.做學(xué)問，大抵都要經(jīng)歷這樣的意境.不過，數(shù)學(xué)解題是“成本最低”的克服困難的學(xué)科.一個學(xué)生，如果沒有經(jīng)歷過這樣的意境，數(shù)學(xué)大概是學(xué)不好的了.用這樣數(shù)學(xué)欣賞的方式來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更深刻的認(rèn)識、興趣和信念.

2.3數(shù)學(xué)隱喻有助于學(xué)生逾越數(shù)學(xué)抽象的溝壑

隱喻是教師實(shí)踐性知識的重要表征形式，它可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)對象.文[2]通過對兩位專家型數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)進(jìn)行實(shí)錄分析，得到專家型教師課堂教學(xué)隱喻語言使用的特點(diǎn)：教師課堂教學(xué)中兩位教師多次使用隱喻，所用時間占課堂教學(xué)時間的15%左右，且以結(jié)構(gòu)實(shí)體隱喻為主；隱喻語言主要出現(xiàn)在引入環(huán)節(jié)和探究新知環(huán)節(jié)，且以師生問答的形式呈現(xiàn)為主；概念教學(xué)使用范例進(jìn)行隱喻教學(xué)，而程序教學(xué)中使用相似性材料進(jìn)行隱喻教學(xué).在概念性知識教學(xué)過程中，多使用與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的范例——抽象對象隱喻，可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；在程序性知識教學(xué)過程中，多使用與所學(xué)對象具有相似性的教學(xué)材料，可以促進(jìn)學(xué)生對操作性技能的理解.

高中數(shù)學(xué)中“充分條件”與“必要條件”一向是概念性知識中的教學(xué)難點(diǎn)，內(nèi)容抽象、推理嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛，因此而難教難學(xué)，成為橫跨在相當(dāng)一部分學(xué)子面前一道難以逾越的“坎”.下面的案例片段運(yùn)用了抽象對象的隱喻使學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)概念有一個形象的理解.

事例1：小α又遲到了.老師對他說：“你真是的！”小α說：“都怪路上的景色太迷人.”老師說：“你太可愛了，只是遲到的理由不充分，下課后還是要勞駕你到辦公室來一下！”

事例2：2007年3月29日胡錦濤總書記在考察北京奧運(yùn)會工程建設(shè)時指出“營造積極的國際輿論環(huán)境，是成功舉辦奧運(yùn)會的必要條件”.

教師：這些源于生活的“充分”、“必要”的詞語，實(shí)際上都是數(shù)學(xué)中的兩個重要概念，在數(shù)學(xué)中對其做了嚴(yán)密、清晰的定義！

“數(shù)學(xué)歸納法”與“二分法”屬于操作性、程序性知識，在教學(xué)過程中教師多數(shù)使用類似的操作性、程序性材料來隱喻.數(shù)學(xué)歸納法的經(jīng)典材料是“多米諾骨牌”.在“二分法”的教學(xué)中，常常見到教師創(chuàng)設(shè)商品“猜價格”游戲，每次猜后老師都會給出“多了”還是“少了”的提示，說高了的往低猜，說低了的往高猜，不斷調(diào)整，逐步接近商品的真正價格，由此引入“二分法”.然后，以求一個具體方程的近似解為例，經(jīng)歷求近似解的過程，總結(jié)出“二分法”的一般程序.

3高中數(shù)學(xué)教學(xué)中隱喻的運(yùn)用也存在弊端

我們必須得承認(rèn)隱喻可以被比作一把雙刃劍.在數(shù)學(xué)教學(xué)中要慎用，隱喻這種獨(dú)特的、想象的結(jié)構(gòu)可能在教學(xué)對話中被濫用，因?yàn)樗葌鹘y(tǒng)的教學(xué)需要給予更多的專注、個性化的腳手架和時間的投入.上述“二分法”的隱喻中，“猜價格”與“二分法”之間，除了“取中點(diǎn)”有點(diǎn)類似之外，現(xiàn)實(shí)情景與數(shù)學(xué)內(nèi)容是兩張皮.因?yàn)樵凇安聝r格”情景里，學(xué)生見不到“連續(xù)函數(shù)”，見不到“閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號”，見不到“函數(shù)零點(diǎn)”，見不到“方程”，見不到“方程的解”等等.到底是“猜價格”游戲不具有“二分法”的必要因素與必要形式，還是教學(xué)沒有組織學(xué)生去建立“猜價格”游戲與用“函數(shù)的思想求解方程”的數(shù)學(xué)聯(lián)系呢[6]？

羅增儒先生認(rèn)為：是后者而不是前者，是教學(xué)只關(guān)注“引進(jìn)的情景化”，缺失“提煉的去情景化”.下面是一個數(shù)學(xué)化的提練過程.

（1）設(shè)商品的價格為c元（常量），它在a元與b元之間（a0.“猜對”對應(yīng)著方程f（x）=0的解.

（2）取中點(diǎn)a+b2，若猜得高了，表明fa+b2>0，則在區(qū)間a，a+b2上再取中點(diǎn)；若猜得低了，表明fa+b2<0，則在區(qū)間a+b2，b上再取中點(diǎn).

（3）以此類推，區(qū)間長度越來越小，也就是猜的價格越來越接近真實(shí)價格，所猜的價格就是方程f（x）=0解的近似值.猜對時就是方程f（x）=0的準(zhǔn)確解.

（4）于是我們可以用不斷取中點(diǎn)的方法來求方程f（x）=0的近似根，這就是“二分法”.

在這里，“猜價格”游戲成為了學(xué)生認(rèn)識抽象數(shù)學(xué)模式的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生也經(jīng)歷了一個從具體現(xiàn)實(shí)情景到抽象數(shù)學(xué)模式之間的“數(shù)化”提煉過程.因此，我們在運(yùn)用隱喻時要時刻注意：缺乏直觀的概念是盲目的，缺乏概念的直觀是空虛的，數(shù)學(xué)教學(xué)既要有“引進(jìn)的情景化”（隱喻）又要有“提煉的去情景化”（數(shù)學(xué)化）.

參考文獻(xiàn)

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[3]葉立軍，斯海霞.專家型教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)隱喻語言應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（1）：37-39.

[4]郜舒竹，張平仁，王智秋.數(shù)學(xué)術(shù)語的隱喻歧義及其人文內(nèi)涵[J].課程·教材·教法，2011，31（2）：51-57.

[5]張奠宙.萬變不離其中——數(shù)學(xué)欣賞：欣賞數(shù)學(xué)中的不變量與不變性質(zhì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（1）：1-3.

[6]羅增儒.“二分法”教學(xué)中的幾個問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（3）：1-4.