獨立性檢驗的困難、對策與價值

朱源++何小亞++蔡倩

【摘要】學(xué)生學(xué)習(xí)獨立性檢驗的常見困惑有以下八點：如何理解分類變量的概念；如何選擇原假設(shè)H0；如何理解P（A）、P（B）的含義；如何理解隨機變量K2；如何理解“犯錯誤的概率不超過0.01”；能否構(gòu)造其他統(tǒng)計量判斷兩個變量有關(guān)；如何理解假設(shè)檢驗的本質(zhì)；如何區(qū)分回歸分析與獨立性檢驗所研究的問題范疇.學(xué)生出現(xiàn)上述困惑的主要原因是：數(shù)學(xué)證明的負遷移；認知圖式中缺乏起固定作用的觀念；課標(biāo)的界定不清楚；高考的導(dǎo)向.基于以上分析，為改善獨立性檢驗的教學(xué)效果，建議課標(biāo)提高獨立性檢驗和假設(shè)檢驗的內(nèi)容要求，并為其分配更多的課時；建議教師開展獨立性檢驗的教學(xué)時：明確具體的教學(xué)目標(biāo)、激活學(xué)生已有的直觀經(jīng)驗作為先行組織者、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程.

【關(guān)鍵詞】獨立性檢驗；假設(shè)檢驗；卡方分布

1前言

近十年來，隨著計算機科學(xué)的發(fā)展以及大數(shù)據(jù)時代的到來，算法、概率與統(tǒng)計等知識愈發(fā)受到基礎(chǔ)教育的重視，而獨立性檢驗作為一種重要的統(tǒng)計推斷方法更是如此.在2003年中國頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中，獨立性檢驗被安排在選修12和選修23，具體要求如下：“通過對典型案例的探究（如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等），了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用.”[1]然而在獨立性檢驗的實際教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果卻不盡如人意.黃華勝關(guān)于學(xué)生對統(tǒng)計推斷的理解研究發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生不認可獨立性檢驗和假設(shè)檢驗的說理方式，他們認為統(tǒng)計推斷的結(jié)論存在運氣成分，一次統(tǒng)計的結(jié)果不能說明問題[2].那么獨立性檢驗究竟難在何處？有什么教學(xué)對策？又有什么教學(xué)價值？本文將分別進行探討.

2獨立性檢驗難在何處

2.1具體內(nèi)容方面

2.1.1數(shù)值變量與分類變量

數(shù)值變量是由測量或計數(shù)所得到的量，如溫度、長度、速度等，其具有數(shù)值特征，也叫定量變量.分類變量則只有性質(zhì)上的差異，具體分為有序變量和無序變量.有序變量即具有次序關(guān)系的變量，如將產(chǎn)品分為一等品、二等品和三等品；無序變量即不具有次序關(guān)系的變量，如性別（男、女）、人種（白人、黑人、黃種人）等.

學(xué)生過去在回歸分析和函數(shù)的學(xué)習(xí)中，所遇到的變量都是數(shù)值變量，因此缺乏有關(guān)分類變量的認知經(jīng)驗.但現(xiàn)實生活中，分類變量是大量存在的，判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系，即獨立性檢驗要解決的問題.如“吸煙與患肺癌是否有關(guān)系”的問題中，所涉及的兩個分類變量分別是：是否吸煙（可取值“是”、“否”）；是否患肺癌（可取值“是”、“否”），這兩個分類變量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計要用列聯(lián)表的形式，而學(xué)生往往缺乏將兩者視為變量的意識.

3困難的原因分析

3.1數(shù)學(xué)證明的負遷移

Belle將證明進行了以下分類：①個人的經(jīng)驗；②權(quán)威的認可；③觀察到的實例；④舉不出反例；⑤結(jié)論的有效性；⑥數(shù)學(xué)的邏輯演繹推理[8].數(shù)學(xué)證明只是諸多證明方法中的一種，但學(xué)生所熟練的邏輯演繹推理的證明方式卻容易對其他證明方法產(chǎn)生負遷移效應(yīng).這種效應(yīng)在獨立性檢驗的學(xué)習(xí)中突出表現(xiàn)為：從數(shù)學(xué)證明的角度（尤其是源于反證法的類比遷移）看待統(tǒng)計推斷，不認可獨立性檢驗的說理方式，認為既然小概率事件不是不可能事件，那么通過小概率事件的發(fā)生來拒絕原假設(shè)就有可能犯錯，因此這種推斷不可靠.除非在原假設(shè)之下，實測事件不可能發(fā)生，才能拒絕之.

3.2認知圖式中缺乏起固定作用的經(jīng)驗

奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論提供有意義學(xué)習(xí)得以發(fā)生的三個先決條件，其中之一則是學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中具備適當(dāng)?shù)挠^念.這一理論對解釋學(xué)生學(xué)習(xí)獨立性檢驗的認知困難具有重要意義，具體而言體現(xiàn)在以下兩個方面：①學(xué)生在進行獨立性檢驗的學(xué)習(xí)之前，缺乏運用“小概率反證法”的直觀經(jīng)驗；②學(xué)生對獨立性檢驗原理圖式中所涉及的相關(guān)概念如分類變量、隨機變量等的理解不夠深刻、精確.

3.3課標(biāo)的界定不清楚

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》對獨立性檢驗和假設(shè)檢驗的具體要求如下[1]：①通過對典型案例的探究（如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等），了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用；②通過對典型案例的探究（如“質(zhì)量控制”“新藥是否有效”等），了解實際推斷原理和假設(shè)檢驗的基本思想、方法及初步應(yīng)用.但獨立性檢驗本質(zhì)上就是假設(shè)檢驗，在課標(biāo)中不應(yīng)該將二者分開.參與人教版《數(shù)學(xué)選修12》和《數(shù)學(xué)選修23》編寫工作的李勇教授，一方面承認：“獨立性檢驗是一種特殊的假設(shè)檢驗”，另一方面又指出：“專家在審查教材時，認為‘假設(shè)檢驗的基本原理和‘聚類分析的基本思想不適應(yīng)于高中的知識背景，建議刪除這兩方面的內(nèi)容”[7]，則未免有自相矛盾的嫌疑.

3.4“考教悖論”

面對高考時，一線教師的態(tài)度是“考什么就教什么”，而命題專家的態(tài)度則是“教什么就考什么”，這一矛盾即所謂的“考教悖論”.一方面，由于課程標(biāo)準(zhǔn)對獨立性檢驗的要求只是“了解”，因此高考很少考查或者只考查獨立性檢驗的操作步驟；另一方面，高考的命題趨向又促使一線教師壓縮獨立性檢驗的教學(xué)時間，只教其操作步驟.

4相關(guān)建議

4.1課程標(biāo)準(zhǔn)的修正建議

將獨立性檢驗視為一種特殊的假設(shè)檢驗，對中國、新加坡、美國、澳大利亞、芬蘭的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[9]～[13]中的假設(shè)檢驗內(nèi)容進行對比，以期為中國后續(xù)新課標(biāo)的制定提供有益建議.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）新加坡非常重視統(tǒng)計知識，將H1、H2課程分為純數(shù)學(xué)和統(tǒng)計兩個部分.其中假設(shè)檢驗的內(nèi)容非常全面（表1），并且H1與H2水平的要求體現(xiàn)了一定的差異性.

2）美國高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的統(tǒng)計與概率部分有四項內(nèi)容：①解釋分類數(shù)據(jù)和度量數(shù)據(jù)；②做出推斷與證明結(jié)論；③條件概率與概率規(guī)則；④利用概率做決策.每項內(nèi)容之下還有若干具體的條目.雖然沒有特別提出假設(shè)檢驗的概念和相關(guān)術(shù)語，但在“做出推斷與證明結(jié)論”這一項中，共6個條目，其中2條（第2條和第5條）滲透了假設(shè)檢驗的思想：確定一個具體模型是否與給定數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程的結(jié)果一致，例如一個模型認為拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5，那么拋5次硬幣全部反面朝上的結(jié)果會不會導(dǎo)致你懷疑上述模型；使用仿真推斷兩個參數(shù)是否存在顯著差異.

（3）澳大利亞和芬蘭的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)沒有涉及獨立性檢驗和假設(shè)檢驗的內(nèi)容.

對比表明，五國對假設(shè)檢驗內(nèi)容的重視程度有很大的差異.呈現(xiàn)這種差異的原因可理解為各國的數(shù)學(xué)理念和數(shù)學(xué)教育理念不同，但也從一個側(cè)面反映了假設(shè)檢驗的原理和思想未必是高中生所必須具備的統(tǒng)計知識和統(tǒng)計觀念.

反觀中國高中數(shù)學(xué)課標(biāo)，將獨立性檢驗與假設(shè)檢驗的內(nèi)容與聚類分析和回歸分析一并歸入統(tǒng)計案例一節(jié)，利用少數(shù)案例介紹這些原理及其初步應(yīng)用，一方面占用了學(xué)生的課時，另一方面又淺嘗輒止，使學(xué)生難以理解上述原理和其中的統(tǒng)計思想.為改變這一現(xiàn)狀提出兩點建議：一是參考新加坡，提高獨立性檢驗和假設(shè)檢驗內(nèi)容的要求層次，并為此分配更多的學(xué)時；二則是參考澳大利亞及芬蘭，刪掉獨立性檢驗和假設(shè)檢驗的內(nèi)容，使學(xué)生接受高等教育后再系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這方面知識.另外，中、美兩國的高中課標(biāo)在處理假設(shè)檢驗的內(nèi)容上具有一定的相似性，但兩者的相異性則更為后續(xù)中國課標(biāo)的制定提供有益啟示.具體體現(xiàn)在以下兩個方面：一、雖然同為滲透假設(shè)檢驗的思想，但美國課標(biāo)沒有限定具體課時和教學(xué)方式，為相應(yīng)教材的編寫和教學(xué)活動的開展保留了極大的自主性和靈活性.二、在具體要求的表述方面，美國課標(biāo)更為清晰，因此具有較強的操作性.以上兩點不僅針對假設(shè)檢驗的內(nèi)容，對于中國高中課標(biāo)中其他內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的制定亦有同樣的啟發(fā)意義.

4.2教師教學(xué)的建議

4.2.1明確教學(xué)目標(biāo)

在獨立性檢驗的實際教學(xué)中，有些教師受應(yīng)試教育思想或相關(guān)專業(yè)知識所限，將本課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：了解獨立性檢驗的操作規(guī)則，會套用公式對兩個分類變量的獨立性做出判斷.以這一教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)教學(xué)，難免導(dǎo)致學(xué)生的上述認知障礙.為使學(xué)生達到更高層次的關(guān)系性理解，建議教師在本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)之前制定有效、可操作的教學(xué)目標(biāo)，具體而言即根據(jù)授課對象的數(shù)學(xué)水平，確定其應(yīng)突破上述認知障礙中的哪幾條，分別應(yīng)達到什么層次.

4.2.2激活直觀經(jīng)驗作為先行組織者

先行組織者是先于學(xué)習(xí)任務(wù)呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，對當(dāng)前學(xué)習(xí)的內(nèi)容起到定向、引導(dǎo)的作用.在正式教學(xué)之前，可呈現(xiàn)一些與獨立性檢驗有關(guān)的生活實例，以幫助學(xué)生積累或激活已有的“小概率反證法”的認知經(jīng)驗，進而將其與反證法做比較，作為學(xué)習(xí)獨立性檢驗的先行組織者.如：①拋一枚硬幣連續(xù)5次均正面朝上會不會讓你懷疑其質(zhì)地不均勻；②在轉(zhuǎn)盤抽獎中，中獎與不中獎的區(qū)域各占一半，但連續(xù)5次指針都指向不中獎區(qū)域，你會不會懷疑其中有貓膩；③有一名陌生人給你發(fā)來郵件，預(yù)測了某只股票連續(xù)五天的漲跌情況，經(jīng)過你一周的檢驗，確實吻合！一周后陌生人又發(fā)來郵件，表示可以繼續(xù)為你提供預(yù)測信息，但需要收費，你愿意嗎？

4.2.3提供數(shù)學(xué)建模的機會

歷史上，皮爾遜提出卡方檢驗的過程即根據(jù)實際問題建立統(tǒng)計模型進而解決問題的過程.而在實際教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷獨立性檢驗的再創(chuàng)造過程，既能加深其對這一原理的理解，亦能培養(yǎng)其數(shù)據(jù)收集、整理、觀察、分析與決策的能力.例如，選擇“性別與喜歡數(shù)學(xué)是否有關(guān)”作為教學(xué)素材[14]，現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)、制作列聯(lián)表、引導(dǎo)學(xué)生觀察列聯(lián)表判斷兩個變量是否有關(guān)、鼓勵其提出理性的判斷規(guī)則、選擇其中幾種較為典型的規(guī)則進行討論、形成獨立性檢驗的初步規(guī)則、教師補充部分知識完善規(guī)則.

5教學(xué)價值

5.1方法論層面

獨立性檢驗是一種很重要的統(tǒng)計學(xué)方法，體現(xiàn)了假設(shè)檢驗的思想，在很多研究領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用.該方法的教學(xué)貫徹了課程標(biāo)準(zhǔn)的總目標(biāo)，即為學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代社會的生產(chǎn)生活和進一步學(xué)習(xí)需要提供準(zhǔn)備.

5.2思維品質(zhì)層面

學(xué)習(xí)獨立性檢驗，最有價值、最精彩的就是要學(xué)習(xí)其思維方式，即小概率反證法——在一次試驗中，若基于原假設(shè)的小概率事件發(fā)生了，則認為原假設(shè)不合理，推翻之.以上思維方式是很重要的統(tǒng)計素養(yǎng)，但我國的高中課標(biāo)僅僅將其列為“了解”層次！鑒于獨立性檢驗重要的思維訓(xùn)練價值與廣泛應(yīng)用，建議將相關(guān)目標(biāo)提升到“理解”層次，并為具體教學(xué)提供更多課時.

5.3情感領(lǐng)域目標(biāo)的落實

三維目標(biāo)包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀，然而在實際教學(xué)中，一線教師最容易忽視的就是情感態(tài)度價值觀目標(biāo).具體原因有三：（1）情感態(tài)度價值觀目標(biāo)是課程目標(biāo)，一些專家認為沒必要在每節(jié)課的設(shè)計中撰寫該目標(biāo)；（2）課程標(biāo)準(zhǔn)缺少對情感態(tài)度價值觀目標(biāo)的內(nèi)涵與外延的解讀，導(dǎo)致一線教師無法具體踐行；（3）教學(xué)任務(wù)重，在完成知識性和過程性目標(biāo)之余，沒有時間進行落實情感領(lǐng)域的目標(biāo).

獨立性檢驗源于統(tǒng)計學(xué)家對生活直覺的總結(jié)和抽象化，其意義在于將變量間相關(guān)性的判斷由直覺水平上升到科學(xué)水平.學(xué)生對獨立性檢驗的深刻理解必將指引其體會原理中所蘊含的數(shù)理統(tǒng)計文化.

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