初中數(shù)學(xué)“單元教學(xué)”的智性實(shí)踐

趙輝

[摘? 要] 實(shí)施單元整體性的教學(xué)，能有效地促進(jìn)學(xué)生掌握系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從“關(guān)聯(lián)”入手、從“次序”入手、從“脈絡(luò)”入手、從“本質(zhì)”入手，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“目標(biāo)結(jié)構(gòu)”“內(nèi)容結(jié)構(gòu)”“過(guò)程結(jié)構(gòu)”“策略結(jié)構(gòu)”等. 以整體性、結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性等的視角進(jìn)行教學(xué)，就是要幫助學(xué)生建立知識(shí)的連續(xù)、方法的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方法、策略、路徑的有效循環(huán). 整體性的數(shù)學(xué)單元教學(xué)有助于提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、建構(gòu)、創(chuàng)造、整合數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);單元教學(xué);智性實(shí)踐

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)層次性、結(jié)構(gòu)性的統(tǒng)一體. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以以單元為單位，實(shí)施單元整體性的教學(xué). 這里的“單元”，既包括教材中的單元，也包括教師根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的特質(zhì)重組、重構(gòu)的單元. 單元應(yīng)當(dāng)成為教師教學(xué)的基本單位. 通過(guò)實(shí)施單元整體性的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生掌握系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 那么，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，如何實(shí)施基于單元的整體性、結(jié)構(gòu)性的教學(xué)呢？筆者認(rèn)為，可以從以下四個(gè)方面入手：

從“關(guān)聯(lián)”入手，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“目標(biāo)結(jié)構(gòu)”

教學(xué)目標(biāo)是教師教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往采用“課時(shí)”教學(xué)的方式，以知識(shí)“點(diǎn)”為基本單位. 這樣的一種教學(xué)，教學(xué)目標(biāo)往往比較小，通常是聚焦于“這一節(jié)課”. 而實(shí)施單元整體性的教學(xué)，要求教師在教學(xué)中要胸中有全局、有整體、有系統(tǒng). 為此，教師要從“關(guān)聯(lián)”入手，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“目標(biāo)結(jié)構(gòu)”[1].

從“關(guān)聯(lián)”入手，要求教師要站在本體性知識(shí)立場(chǎng)，而不是站在教材立場(chǎng)，更不是站在某一個(gè)知識(shí)“點(diǎn)的立場(chǎng)”來(lái)解讀、編織數(shù)學(xué)知識(shí). 從“關(guān)聯(lián)”入手，能讓教師有效地設(shè)計(jì)出提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的目標(biāo)結(jié)構(gòu). 目標(biāo)是整個(gè)教學(xué)的起點(diǎn)、原點(diǎn)，也是教師教學(xué)的一根主心軸、主心骨. 目標(biāo)應(yīng)當(dāng)貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終. 清晰的整體性的目標(biāo)，能有效地組織教學(xué)，突出單元教學(xué)的層次性、整體性、融合性.

如教學(xué)“全等三角形”（人教版八年級(jí)上冊(cè)），根據(jù)全等三角形的認(rèn)識(shí)、全等三角形的性質(zhì)以及判定等相關(guān)知識(shí)之間的密切關(guān)聯(lián)，教師在教學(xué)中要從整體上設(shè)定目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)全等三角形、了解全等三角形、思考全等三角形、探究全等三角形. 為此，我們將“全等三角形的性質(zhì)”“全等三角形的判定”等相關(guān)內(nèi)容整合起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了這樣的目標(biāo)結(jié)構(gòu)：從具體實(shí)例中研究全等三角形的性質(zhì)，建構(gòu)三角形的判定定理并用以解決實(shí)際問(wèn)題;引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、探究、歸納，讓學(xué)生能積極主動(dòng)地應(yīng)用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等方式進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想. 在這樣的目標(biāo)結(jié)構(gòu)中，一方面著眼于知識(shí)，另一方面著眼于技能，它們能共同幫助學(xué)生積累相關(guān)的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 同樣，在這樣的目標(biāo)結(jié)構(gòu)中，我們滲透、融入了主要的數(shù)學(xué)思想. 從關(guān)聯(lián)入手，要求教師要提煉共同的因素、因子作為目標(biāo)的組成部分. 只有這樣，目標(biāo)之于學(xué)生的學(xué)習(xí)才具有針對(duì)性、實(shí)效性.

從知識(shí)關(guān)聯(lián)入手，設(shè)計(jì)整體性的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)而讓目標(biāo)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)性、啟發(fā)性，讓目標(biāo)真正發(fā)揮目標(biāo)之作用. 借助于目標(biāo)結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)單元中的核心知識(shí)，有助于學(xué)生進(jìn)行自主性、自能性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 借助于目標(biāo)結(jié)構(gòu)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能從膚淺走向深刻、從低階走向高階.

從“次序”入手，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“內(nèi)容結(jié)構(gòu)”

實(shí)施單元整體性的教學(xué)，不僅要進(jìn)行單元性的目標(biāo)設(shè)定，更要進(jìn)行結(jié)構(gòu)性、層次性的內(nèi)容設(shè)定. 盡管數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著密切的關(guān)聯(lián)，但還是有先后（主要是指邏輯先后）的順序的. 因此，教師在教學(xué)中，要遵循一定的“次序”，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“內(nèi)容結(jié)構(gòu)”[2]. 通過(guò)把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的次序，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)拾級(jí)而上，從無(wú)序到有序逐步深化發(fā)展. 借助于“序”的教學(xué)，能將數(shù)學(xué)知識(shí)串接成線、連線成片、連片成體. 比如教學(xué)“三角形”（人教版八年級(jí)下冊(cè)）這一部分內(nèi)容，這一部分內(nèi)容比較繁雜. 為此，教師在教學(xué)中可以設(shè)計(jì)一定的版塊來(lái)進(jìn)行有“序”性的教學(xué). 比如筆者在教學(xué)這部分時(shí)，就將這部分內(nèi)容按照“邊”“角”兩部分展開(kāi)教學(xué)，將教材單元中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合. 這樣的一種整合，是基于知識(shí)序基礎(chǔ)上的，是為了學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)三角形而設(shè)計(jì)的. 比如在研究“邊”的過(guò)程中，筆者引入了中線、角平分線、中位線、高等內(nèi)容，研究了三角形三邊關(guān)系、三角形的穩(wěn)定性等內(nèi)容，一部分是教材的內(nèi)容，另一部分是筆者補(bǔ)充介紹、引導(dǎo)學(xué)生探究思考的內(nèi)容;比如在研究“角”的過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)?nèi)角和、外角和等知識(shí). “邊”的知識(shí)和“角”的知識(shí)是三角形這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性知識(shí). 借助于學(xué)習(xí)這些知識(shí)，為學(xué)生后續(xù)研究“全等三角形”等相關(guān)內(nèi)容奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在實(shí)施各個(gè)版塊內(nèi)容教學(xué)時(shí)，教師同樣要注重知識(shí)的序、注重學(xué)生認(rèn)知的序. 只有關(guān)注序，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)如同呼吸一樣自然. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入研究數(shù)學(xué)知識(shí)的序，以便引導(dǎo)學(xué)生有序地學(xué)習(xí)，從而致力于助推學(xué)生將相關(guān)的碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊、構(gòu)成體.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)，從根本上說(shuō)，也就是要處理兩個(gè)方面的問(wèn)題，這就是“選材”和“立序”. “選材”解決的是學(xué)生“學(xué)什么”的問(wèn)題，而“立序”解決的是學(xué)生“怎樣學(xué)”的問(wèn)題. 只有處理好“材”與“序”，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程，幫助學(xué)生鞏固相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).

從“脈絡(luò)”入手，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“過(guò)程結(jié)構(gòu)”

引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，更要把握學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)[3]. 對(duì)于不同數(shù)學(xué)知識(shí)，有時(shí)候是有一條隱性的脈絡(luò)潛藏其中. 作為教師，要從“脈絡(luò)”入手，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)之線索、脈絡(luò). 同時(shí)，不同的數(shù)學(xué)知識(shí)有時(shí)候還有一種相同的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，比如“猜想-驗(yàn)證”學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，比如“條件-探究”學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)等. 從“脈絡(luò)”入手，可以著手引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“過(guò)程結(jié)構(gòu)”.

從脈絡(luò)入手，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要求充分發(fā)揮學(xué)生的想象力. 借助于想象，學(xué)生能感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)、靈魂. 比如教學(xué)“扇形的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助于扇形中的弧長(zhǎng)公式進(jìn)行嚴(yán)密的推導(dǎo)，建構(gòu)扇形的面積公式. 但在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這些公式難以快速?gòu)挠洃泝?nèi)存中調(diào)出來(lái). 為此在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的面積公式、圓環(huán)的面積公式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓、圓環(huán)等同時(shí)展開(kāi)動(dòng)態(tài)想象. 通過(guò)動(dòng)態(tài)想象，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，所謂“扇形面積”，其實(shí)就是“以圓弧為底、半徑為高、圓心為頂點(diǎn)的三角形的面積”;所謂“圓的面積”，其實(shí)就是“以圓的周長(zhǎng)為底、半徑為高、圓心為頂點(diǎn)的三角形的面積”;所謂“圓環(huán)的面積”，其實(shí)就是“以內(nèi)圓的周長(zhǎng)為上底、外圓的周長(zhǎng)為下底、兩圓之間的距離為高的梯形的面積”. 借助于這樣的一種動(dòng)態(tài)想象，學(xué)生感悟、體驗(yàn)到“曲線圖形”中的“化曲為直”的想象思路. 借助于這樣的一種思路，學(xué)生就能將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)整合起來(lái)思考，他們的學(xué)習(xí)興趣盎然、興味盎然. 從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在脈絡(luò)入手，能打通學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 借助于動(dòng)態(tài)想象，學(xué)生能有效地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì). 他們?cè)诮鉀Q相關(guān)問(wèn)題時(shí)就不會(huì)再依賴于教師，而是能進(jìn)行自主性、自能性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 可以這樣說(shuō)，在整個(gè)初中幾何教學(xué)中，教師都應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)態(tài)想象，動(dòng)態(tài)想象是發(fā)展學(xué)生的空間觀念的基礎(chǔ).

從脈絡(luò)入手，引導(dǎo)學(xué)生圍繞相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考、想象，不僅能將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)整合起來(lái)，而且能幫助學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)研究方法經(jīng)驗(yàn)等. 如在上述教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生有了動(dòng)態(tài)想象的意識(shí)，在學(xué)習(xí)相關(guān)的幾何知識(shí)時(shí)，就會(huì)積極主動(dòng)地去想象，動(dòng)態(tài)想象就會(huì)成為學(xué)生的一種自覺(jué)意識(shí)、成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài).

從“本質(zhì)”入手，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“策略結(jié)構(gòu)”

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是形成一定的方法、策略與路徑. 相比較于數(shù)學(xué)知識(shí)乃至于數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)策略、路徑的結(jié)構(gòu)更具有遷移性. 研究表明，一個(gè)善于學(xué)習(xí)的人就是善于總結(jié)學(xué)習(xí)思想方法策略路徑的人. 從數(shù)學(xué)知識(shí)的“本質(zhì)”入手，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“策略結(jié)構(gòu)”，能讓學(xué)生形成“高觀點(diǎn)”[4]. 立足于“高觀點(diǎn)”，學(xué)生能超越單一的知識(shí)內(nèi)容層面的限制，而將不同的數(shù)學(xué)知識(shí)整合起來(lái)，形成整體性的具有遷移性質(zhì)的策略、方法等. 這樣的策略、方法等有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

比如“方程”這一部分內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分. 初中階段的方程主要有“一元一次方程”“二元一次方程組”“一元二次方程”“分式方程”等相關(guān)內(nèi)容. 特定的方程對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有特定的要求. 其中，“一元一次方程”是基礎(chǔ)性的方程，其他所有的方程最終都要轉(zhuǎn)化成“一元一次方程”. 如“二元一次方程組”要求引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“消元”來(lái)轉(zhuǎn)化成“一元一次方程”;“分式方程”要求引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“去分母”來(lái)轉(zhuǎn)化成“一元一次方程”;“一元二次方程”要求引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“降次”來(lái)轉(zhuǎn)化成“一元一次方程”等. 盡管解這些方程的方法、策略不同，但其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是相同的，都是應(yīng)用了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法. 這種共通的思想，在方程這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生“設(shè)元”“設(shè)參”，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)方程. 我們?cè)诮虒W(xué)中千萬(wàn)不能小看“設(shè)元”“設(shè)參”，它貫穿于學(xué)生方程學(xué)習(xí)的始終. 可以這樣說(shuō)，對(duì)于解決問(wèn)題來(lái)說(shuō)，設(shè)元、設(shè)參等比寫等量關(guān)系更重要，它是方程的本質(zhì). 從學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)入手，不僅能提升學(xué)科知識(shí)的教學(xué)效能，更能將相關(guān)的學(xué)科知識(shí)整合起來(lái). 從數(shù)學(xué)知識(shí)的“本質(zhì)”入手，能有效地引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“策略結(jié)構(gòu)”. 從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，方程僅僅是一個(gè)工具. 重要的是要引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)能借助于“元”“參數(shù)”等進(jìn)行具體分析. 無(wú)論是在“二元一次方程組”還是“一元二次方程”“分式方程”，尤其是對(duì)于后續(xù)將要學(xué)習(xí)更高次數(shù)、更多元的方程來(lái)說(shuō)，這樣的一種“設(shè)元”“設(shè)參”具有重要的思想方法策略意義和價(jià)值. 這樣的一種方程思維，將會(huì)深刻地影響著學(xué)生的方程這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí).

從本質(zhì)入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“策略結(jié)構(gòu)”的建構(gòu)，要求教師在每一節(jié)課中要有意識(shí)地滲透. 在數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)上花費(fèi)一定的時(shí)間是值得的，它能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事半功倍. 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，將會(huì)深刻地影響著、決定著學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，策略結(jié)構(gòu)會(huì)超越知識(shí)內(nèi)容的局限，有著廣泛的遷移力. 借助于統(tǒng)一策略，能將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效的統(tǒng)整.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施單元整體性的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要以數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)為依據(jù)和基礎(chǔ)，以相關(guān)的課程理念為指導(dǎo)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行有效的統(tǒng)整. 單元整體性的數(shù)學(xué)教學(xué)，能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從傳統(tǒng)的“知識(shí)點(diǎn)”的學(xué)習(xí)向“知識(shí)結(jié)構(gòu)”“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”“方法結(jié)構(gòu)”“策略結(jié)構(gòu)”等的學(xué)習(xí)遷移轉(zhuǎn)變. 從整體性、結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性的視角進(jìn)行教學(xué)，就是要幫助學(xué)生明確知識(shí)的連續(xù)性、方法的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方法、策略、路徑的有效循環(huán). 不難看出，整體性的數(shù)學(xué)教學(xué)有助于提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、建構(gòu)、創(chuàng)造、整合數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

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