基于問題導學法應(yīng)用的初中數(shù)學例題教學分析

徐黃娟

[摘? 要] 問題導學法能有效激活學生的數(shù)學思維，提升學生的解題能力. 例題教學過程中，教師通過問題的精心設(shè)置，能有效啟發(fā)學生的思維，鍛煉學生的學習能力. 文章以一道題的教學為例，具體談?wù)勅绾卧诔踔袛?shù)學課堂中，巧妙應(yīng)用問題導學法激活學生的思維，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問題導學;課堂;思維

問題導學法是指在課堂教學過程中，教師結(jié)合教學內(nèi)容提出一些問題供學生思考的一種教學方法. 學生在問題的引導下，通過自主探索、合作交流等方式對問題進行思考與分析，獲得解決問題的能力，這對發(fā)展學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)具有重要促進作用.

問題導學中的“問題”，是指教師在課前精心設(shè)計的問題、課堂中隨機產(chǎn)生的問題以及留給學生課后思考的問題等;“導”主要指教師適當?shù)囊龑?，即在“問題”的基礎(chǔ)上，引導學生進入積極的思考與學習狀態(tài);“學”為學生的學習，包含學生的思維、學習效率與能力等綜合因素[1].

問題導學法的優(yōu)勢

隨著新課改這股風的刮起，萌生出眾多教學方法，問題導學法在眾多新興的方法中脫穎而出，它既存在獨有的優(yōu)勢，又能與其他教學方法互通、交融，受到廣大教育工作者的青睞.

1. 激發(fā)興趣，啟發(fā)思維

初中數(shù)學與小學數(shù)學相比，更顯枯燥、乏味，不少學生將精力放在對公式、定理等的記憶上，使得學習積極性不夠，課堂活躍度差，長此以往，必然會對學生的學習興趣產(chǎn)生消極影響. 問題導學以“問題”為起點，引導學生圍繞問題進行探索分析，并結(jié)合合作學習法的應(yīng)用，不僅能快速調(diào)動學生的積極性，營造出和諧、舒適的課堂氛圍，還能有效地啟發(fā)學生的數(shù)學思維，強化學生對知識的理解程度.

2. 以生為本，教學相長

新課標一再強調(diào)學生才是課堂的主人. 問題導學法主張學生在課堂中的主體性地位，堅持在“以生為本”的原則下開展教學活動. 雖然這種教學方法與傳統(tǒng)“注入式”的教學模式相比，需要教育工作者花費更多的時間與精力去挖掘教材、了解學生、研究問題的設(shè)計等，但所取得的教學成效是傳統(tǒng)教學模式無法比擬的. 問題導學法不僅可以提升教師的教學能力，激發(fā)學生的主人翁意識，還能從很大程度上改善學生課堂活動參與的積極性，從真正意義上實現(xiàn)教學相長.

3. 鞏固知識，提升能力

問題導學固然是以提問為教學的主要模式，而問題又是結(jié)合學生實際情況而產(chǎn)生的. 教師設(shè)計問題時，常會綜合考慮學生的知識掌握程度來明確問題方向與難度，設(shè)計出的每一個問題都具有明確的針對性與挑戰(zhàn)性，以達到幫助學生鞏固知識的作用. 學生針對問題進行思考、探索與分析的過程，不僅是解決問題的過程，還是形成良好猜想、推理、歸納總結(jié)等能力的過程[2].

問題導學法的應(yīng)用分析

筆者在一次聽課中，偶得一則以問題為主導的例題教學案例，恰與近期所研究的“問題導學法的應(yīng)用”相契合，故做如下整理，談一些拙見.

原題：用一根10米長的鐵絲圍一個長方形.

問題：（1）圍成的長方形，寬比長短1.4米，求長方形的長與寬;

（2）圍成的長方形，長比寬多0.8米，求長方形的長與寬;

（3）若圍成一個正方形，邊長為多少？正方形的面積與問題（2）所圍成的長方形的面積相比，有什么變化？

1. 教學簡錄

師：從“將一根10米長的鐵絲圍成一個長方形”這句話中，我們能不能求出長方形的長與寬？為什么？

生1：從這個條件出發(fā)，我們只能得出所圍成的長方形具備“長+寬=5（米）”這個條件，無法求出長與寬的具體值.

師：通過簡短的一句話，你們能抓住“長+寬=5（米）”這個條件，非常好！除此之外，還能從其他角度進行分析嗎？

生2：假設(shè)所圍成的長方形的長為x米，則寬為（5-x）米，從“長+寬=5（米）”這個條件出發(fā)，列式為x+（5-x）=5，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)x消失了.

師：思路看似沒問題，但通過一個相等關(guān)系設(shè)未知數(shù)并列方程，固然會出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，無法達到預(yù)期效果.

生3：在已知“長+寬=5（米）”這個條件后，只要知道長或?qū)捜我庖粋€值，就能得到一個與之相對應(yīng)的結(jié)論. 若長為4米，則寬必然為1米;若長為3米，則寬必然為2米.

師：從你的表述中，我看到了從一般到特殊的數(shù)學思想. 同時，還提到了“對應(yīng)”這個詞語，非常好！

生4：從以上分析來看，鐵絲所圍成的長方形存在這樣一個規(guī)律：長變大，則寬變小;長變小，則寬變大. 不論兩者怎么改變，長與寬的和不會發(fā)生變化. 由此也能看出，若不指定長與寬，則可圍成無數(shù)種長方形.

師：很好，這是從運動變化的角度來看待這個問題的，思路非常清晰，值得贊揚！通過以上討論不難發(fā)現(xiàn)，只知道周長，無法確定長方形的形狀，想要圍成固定的長方形，需要知道什么條件？

生5：必然要知道長或?qū)捚渲幸粋€條件，比如長為3.5米，求寬的值.

生6：好直白，感覺像小學生做的題目，毫無挑戰(zhàn)性.

師：生5的說法雖然簡單，但也有一定的意義. 這種表述其實就是之前我們遇到的“代數(shù)式求值問題”，但是探究空間與價值不是很大.

生7：或許在長與寬之間加上另一種數(shù)量關(guān)系，會有新的收獲.

師：哦？這個想法挺有意思，現(xiàn)在請大家發(fā)揮自己的想象為長與寬匹配一種恰當?shù)臄?shù)量關(guān)系.

學生針對此問進行分類、探索，獲得了以下三種結(jié)論：①增減關(guān)系，如長比寬多0.5米，寬比長少1.5米等;②倍數(shù)關(guān)系，如長 ∶ 寬=2 ∶ 1，寬為長的，長為寬的3倍等;③以上兩種關(guān)系的混合，如長比寬的3倍多0.5米，寬比長的2倍少0.5米等.

根據(jù)學生自主獲得的三種結(jié)論，教師從中挑選出了以下三個具有代表性的問題：①將10米長的鐵絲圍成一個長比寬多0.8米的長方形，求該長方形的長與寬;②將10米長的鐵絲圍成一個“長 ∶ 寬為2 ∶ 1”的長方形，求該長方形的長與寬;③將10米長的鐵絲圍成一個長比寬的2倍少1米的長方形，求該長方形的長與寬.

針對問題①，學生給出了以下兩種解法：

解法1：設(shè)所圍成的長方形的寬是x米，則長為（x+0.8）米，結(jié)合題意，列式x+（x+0.8）=10×，解得寬x=2.1（米），則長為2.1+0.8=2.9（米）.

解法2：設(shè)所圍成的長方形的長為x米，則寬為（5-x）米，結(jié)合題意，列式（5-x）+0.8=x，解得長x=2.9（米），則寬為5-2.9=2.1（米）.

針對問題②，學生給出了以下三種解法：

解法1：長=5×=（米），寬=5×=（米）.

解法2：假設(shè)所圍成的長方形的寬為x米，則長為2x米，結(jié)合題意，列式2x+x=10×，解得寬x=（米），則長為2×=（米）.

解法3：假設(shè)所圍成的長方形的長為x米，則寬為（5-x）米，結(jié)合題意，列式2（5-x）=x，解得長x=（米），則寬為5-x=5-=（米）.

針對問題③，學生給出了以下兩種解法：

解法1：假設(shè)所圍成的長方形的寬是x米，則長為（2x-1）米，結(jié)合題意，列式x+（2x-1）=10×，解得寬x=2（米），則長為2x-1=3米.

解法2：假設(shè)所圍成的長方形的長是x米，則寬為（5-x）米，結(jié)合題意，列式2（5-x）-1=x，解得長x=3（米），則寬為5-x=2（米）.

師：觀察發(fā)現(xiàn)，大家的計算過程分別應(yīng)用了算術(shù)法與方程法，在應(yīng)用中你們有什么體驗？

生8：用算術(shù)法比較繁雜，方程法更加簡便.

師：列方程的關(guān)鍵是什么？

生9：必須準確地找出問題中存在的等量關(guān)系.

師：非常好！從以上解題過程來看，大家都能根據(jù)問題找到其中所蘊含的等量關(guān)系，并用算術(shù)法與方程法解決問題. 今后遇到一些復雜的問題，可從方程的角度出發(fā)，化繁為簡，提高解題效率. 在鐵絲的總長不發(fā)生變化的情況下，所圍成的不同長方形的面積有沒有變化？說明理由.

（學生在獨立思考的基礎(chǔ)上開展合作學習）

組1：我們組經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)，同一根鐵絲所圍成的不同長方形的面積不一樣，其中存在一定的規(guī)律，即當長與寬的數(shù)值越接近時，所獲得的長方形的面積越大. 其實這個規(guī)律大家都知道，咱們組討論的主題是怎么說明此規(guī)律，若提取幾組數(shù)據(jù)進行分析，只能獲得猜想，并不能說明問題. 因此，我們選擇列表（見表1）的方式，將數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出來，便于觀察分析.

師：不錯！你們借助表格將數(shù)據(jù)整理出來，其中的關(guān)系一目了然. 這種直觀、簡潔的思考方式非常可取，值得借鑒.

組2：我們組還有更加簡便、直觀的方法呢！我們想要知道邊長變化時，長方形的面積是怎么變化的，統(tǒng)計圖則能直觀地反映出其中的變化規(guī)律. 如表2，我們先將數(shù)據(jù)整理在表格中.

如圖1所示，將長方形的面積在方格紙上進行標注，找出這些點的分布規(guī)律，從點的走勢可以直觀地看到所圍成的長方形的最大面積為6.25，即邊長為2.5的正方形，這與我們原有的認知一致.

師：非常好！這種方法所呈現(xiàn)的視覺效果更加明顯，從圖中我們能一眼看出長方形兩邊邊長變化與面積的關(guān)系，其他組還有不同的見解嗎？

組3：總感覺數(shù)據(jù)太多了，而且我們也不可能將每一個數(shù)據(jù)都取到，那么所得到的結(jié)論就含有猜想成分，并不符合數(shù)學的嚴謹性特征，我們組在思考有沒有更具說服力的方法.

師：這個想法不錯，前兩組的結(jié)論都是根據(jù)“長+寬=5（米）”這個條件提取的特殊值，并借助表格和描點的方法尋找其中所蘊含的規(guī)律，此為典型的從一般到特殊的數(shù)學思想方法. 現(xiàn)在第三組提出要尋找一種更加合適的方法來表達規(guī)律的成立，此為從特殊到一般的方法. 將幾個小組的方法綜合在一起，則為探索數(shù)學事物一般規(guī)律的基本策略. 此問確實存在更加方便，且更具一般性的解決方法，這個知識將在后期二次函數(shù)的學習中與大家碰面.

至此，教師帶領(lǐng)學生回歸到原題，學生很快就自主解決了所有問題.

2. 教學分析

觀察以上教學實錄，主要呈現(xiàn)出以下幾個問題：①將一根10米長的鐵絲圍成一個長方形，是否可以知道它的長與寬？為什么？②有什么辦法讓所圍成的長方形有確定的長與寬？③將10米長的鐵絲圍出的長方形，寬比長少0.8米，求長與寬分別是多少. ④所圍成的長方形，長與寬的比為2 ∶ 1，求長方形的長與寬;⑤所圍成的長方形的長比寬的2倍少1米，求長與寬分別是多少. ⑥為什么大部分問題選擇方程來解決？⑦用方程解決數(shù)學問題的關(guān)鍵是什么？⑧所圍成的長方形的面積與長、寬之間有什么聯(lián)系？說明理由. ⑨尋找一種更具說服力的方法，來探尋長方形的面積與長、寬之間所存在的規(guī)律.

縱觀這些問題，會發(fā)現(xiàn)第一個問題屬于原生態(tài)問題，它來自生活實際，蘊含著豐富的數(shù)學思維. 這個問題的起點低，卻有很強的延伸性，初始問題為學生的思維提供了較大的思考空間，也為學生提供了深入探索的機會. 因此，第一個問題可以理解為本節(jié)課問題導學的靈魂，是接下來所有問題的引擎.

問題①③⑥⑦⑧均由教師提出，問題②④⑤⑨則由課堂自動生成. 其中，問題①③⑥⑧屬于發(fā)散性問題，同時只有⑥為一個聚合性問題. 由此可見，本節(jié)課的問題導學，主要針對建立方程模型而設(shè)計，以滲透數(shù)學思想方法為目標，意在培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題與解決問題的能力.

問題①③的提出，有效地調(diào)動了學生的探究熱情，讓學生將精力投入問題的探究中去，促進分析與推理能力的形成與發(fā)展，為其他問題的提出與生成奠定了良好的基礎(chǔ). 前7個問題都是圍繞“長+寬=5（米）”這個等量關(guān)系提出的，讓學生明確用方程解決問題的關(guān)鍵在于尋找等量關(guān)系.

問題⑧作為一個探究活動，讓學生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行小組合作學習，不僅訓練學生計算、觀察、推理與總結(jié)的能力，還有效地推動學生數(shù)據(jù)分析、歸納推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展. 因為有了問題⑧的探究性活動作為基礎(chǔ)，使得問題⑨應(yīng)運而生，為后期二次函數(shù)的學習做好鋪墊.

教師在處理這9個問題的過程中，引導學生獨立思考、自主探究與合作學習，不僅僅有效地活躍了學生的思維，更重要的是讓學生積累了自主解決問題的經(jīng)驗，獲得了良好的學習體驗，增進了學習的主人翁意識與團隊精神. 問題導學的過程中，師生、生生在積極的互動與交流中，有效地促進了邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等能力的發(fā)展，為數(shù)學核心素養(yǎng)的提升奠定了堅實的基礎(chǔ).

總之，問題導學法是新課改背景下，數(shù)學課堂創(chuàng)新理念的體現(xiàn)，是提高教學效率與質(zhì)量的基本措施. 實際教學過程中，可能會涌現(xiàn)出層出不窮的問題，作為一線的數(shù)學教師，應(yīng)做到與時俱進，結(jié)合實際情況設(shè)計出新穎、合理的問題.

參考文獻：

[1]鄭毓信. “問題意識”與數(shù)學教師的專業(yè)成長[J].數(shù)學教育學報，2017，26（05）：1-5，92.

[2]G·波利亞. 數(shù)學與猜想數(shù)學中的歸納與類比[M]. 李心燦，王日爽，李志堯，譯. 北京：科學出版社，2001.