活用基本圖形，解題水到渠成

侯燕香

【摘要】相似三角形是初中幾何中的重要的知識(shí)。在考試復(fù)習(xí)階段，往往由于教師對相似三角形中的基本圖形或以練代講，或以圖論題，或低估學(xué)生的解題能力，導(dǎo)致相似三角形這一知識(shí)點(diǎn)常常成為學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。相似三角形中基本圖形的復(fù)習(xí)課應(yīng)在系統(tǒng)羅列基本圖形的基礎(chǔ)上，把重點(diǎn)放在提高學(xué)生從復(fù)雜圖形中識(shí)別基本圖形和探索基本圖形之間聯(lián)系的能力上。教學(xué)實(shí)踐證明，快速識(shí)別與對應(yīng)相似三角形中基本圖形往往能有效突破難點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】相似三角形;基本圖形;復(fù)習(xí)課

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在初中階段對能力培養(yǎng)與方法習(xí)得方面要求：“能夠從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系;能由基本圖形的性質(zhì)導(dǎo)出較復(fù)雜圖形的性質(zhì)”。當(dāng)我們遇到一個(gè)較復(fù)雜的幾何題時(shí)，首先要認(rèn)真觀察、分析它的的圖形，并對圖形進(jìn)行分解，找出它由哪些基本圖形組合而成（有時(shí)需要添加輔助線，構(gòu)造基本圖形），然后運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)去推理或計(jì)算，從而使問題得以解決。

一、試題回放

二、學(xué)生反饋

第（1）小問能完整解答，并能提供多種解法;但第（2）（3）小問卻無從下手，找不到思路和突破口。

三、歸因分析

本題考查相似三角的判定和性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)和切線長定理、三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題。學(xué)生在解答中無從下手，表明還沒有切實(shí)掌握“相似三角形”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，尤其對其中的基本圖形很陌生，如雙垂直型下的“射影定理”。

復(fù)雜的題目往往可以分解為若干個(gè)簡單的題目。教師在解題教學(xué)中，首先要不斷引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)一些基本圖形，吃透這些基本圖形的本質(zhì)，然后讓學(xué)生在以后的解題過程中遇到復(fù)雜的圖形學(xué)會(huì)識(shí)別這些基本圖形，最后在熟練掌握這些基本圖形的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)構(gòu)造出這些基本圖形，以打開求解思路或獲得有效解法。

四、師生磨題

4.小結(jié)

解法中涉及的知識(shí)點(diǎn)：切線長定理，三角形全等，垂直平分線的判定定理，平行線分線段成比例定理等。思路方法總結(jié)：該問證明的方向明確，方法也頗多，可從不同角、不同知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，但都是通過找相等的角去證明相等的邊，這是通性通法，師生必須通曉。

（二） 第（2）小題，若DE·OB=40，求AD·BC的值。

1.結(jié)論特征分析：由DE·OB，AD·BC兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到處理此類問題的一般方法就是利用三角形相似，得到對應(yīng)邊成比例，然后變?yōu)榉e的形式即可。因此，嘗試用分析法尋找問題的思路。

2.分析法探求思路

要求AD·BC的值，可證AD，BC邊所在的三角形相似，結(jié)合圖形容易發(fā)現(xiàn)“三垂直”型即基本圖形4，易證從而有，所以AD·BC=OC·OD=OC2，而由OC2易聯(lián)想到OC2=OB2-BC2勾股定理，或射影定理OC2=OK·OB，通過與已知OE·OB=40的比較，我們選擇射影定理，結(jié)合“雙垂直”型即基本圖形5，即再一次證明進(jìn)而得到即OC2=OB·OK而由基本圖形6得所以AD·BC=即AD·BC=20.

主要涉及知識(shí)：射影定理（三角形相似），中位線定理。

涉及的基本圖形：

3.綜合法+分析法探求思路

由已知DE·BO=40結(jié)合基本圖形7，容易發(fā)現(xiàn)聯(lián)立兩式得即DE·DP=80結(jié)合圖形，認(rèn)真觀察，易發(fā)現(xiàn)基本圖形8，雙垂直模型。

得到，從而有OE·OP=CD2所以CD2=80，則由切線長定理得AD·BC=AE·BE再次發(fā)現(xiàn)雙垂直模型即基本圖形9，證，得到，從而得到AE·BE=OE2=OC2=20.

歸納總結(jié)：該問由相似三角形的面積比容易求出對應(yīng)邊的比，然后再根據(jù)三角形面積公式去求對應(yīng)的底和高，解題方向還算明確，但由于計(jì)算比較巧妙，還是有難度的。

五、教學(xué)啟示

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：應(yīng)當(dāng)注重和發(fā)展學(xué)生的模型思想。從某種意義上來說，數(shù)學(xué)就是一門研究模型的學(xué)科，數(shù)學(xué)離不開模型。廣義來說，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。模型化是所有的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用之心臟。在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對學(xué)生進(jìn)行模型意識(shí)與模型思想的滲透與培植也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。

由以上3個(gè)小問的解答可知，本題主要考查學(xué)生對以下相似三角形基本幾何圖形的掌握情況，尤其是雙垂直型下的相關(guān)結(jié)論。本題涉及到了絕大部分相似三角形的基本圖形，比較豐富，具體包括如下圖：

要想順利解答此題，這就對學(xué)生處理基本幾何圖形的能力提出了較高的要求。日常教學(xué)中，教師要不斷給學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化思想，面對較為復(fù)雜的幾何問題時(shí)，我們要認(rèn)真分析圖形，從中找出基本圖形，分析圖形之間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。其實(shí)復(fù)雜的幾何圖形往是由基本幾何圖形構(gòu)建與整合而成，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵常常就是對復(fù)雜圖形的分解與組合，即會(huì)靈活地進(jìn)行圖形運(yùn)算。因此，教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)雜圖形進(jìn)行合理分解與組合，并從中分離出基本圖形（有時(shí)需要添加輔助線），從中獲得一些積極的解題心理暗示，找到解題的突破口和思路，使解題思路有水到渠成之感。教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和識(shí)別基本圖形，歸納解題模型，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、構(gòu)圖能力和分析推理能力。

參考文獻(xiàn)：

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