例談解析幾何初步教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法

李榮軍

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)是傳授數(shù)學(xué)的雙基知識，而學(xué)習(xí)的更高任務(wù)是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，用數(shù)學(xué)的思想來學(xué)習(xí)、看待、感悟生活. 隨著高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心臟，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和重點. 依筆者看來，高中數(shù)學(xué)教學(xué)在一定程度上要將思想方法的教學(xué)滲透進數(shù)學(xué)教學(xué)中，對那些形式化的數(shù)學(xué)問題要結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法進行教學(xué)，才能使學(xué)生對其理解透徹. 本文以解析幾何初步為例，例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的滲透.

關(guān)鍵詞：解析幾何初步；分類討論思想；對稱變換思想；方程思想

從知識層面來說，高中數(shù)學(xué)有很多的基本知識，這是學(xué)生必須掌握的初級學(xué)習(xí)層次，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高層次是掌握數(shù)學(xué)思想方法，將千變?nèi)f化的試題化有形于無形中，通過思想方法看到問題的本質(zhì)、解決的思路，這是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的最終目標.掌握數(shù)學(xué)思想方法并能在考試中熟練運用，對學(xué)生來說并非易事.

從教學(xué)層面來說，新課程改革的不斷深入和《高中數(shù)學(xué)新課程標準》的實施，預(yù)示著新課改將繼續(xù)深化，其要求中學(xué)教育要不斷培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)、能力和創(chuàng)新精神，依靠題海戰(zhàn)術(shù)來提高高考分數(shù)而忽視學(xué)生能力培養(yǎng)的教學(xué)方式漸漸被淘汰. 依照著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授的話：“數(shù)學(xué)教育首先要培養(yǎng)學(xué)生的基本功，在這基礎(chǔ)之上慢慢磨煉學(xué)生的思維水平，即用數(shù)學(xué)思想來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.” 從如今高中數(shù)學(xué)教育的一線情形來看，一方面高中數(shù)學(xué)知識板塊內(nèi)容相對繁多、課時緊張，另一方面解題教學(xué)依舊是高考應(yīng)試最核心的教學(xué)方向，這勢必要求教師課堂教學(xué)有更高的效率——即以數(shù)學(xué)思想為基準進行解題教學(xué)的指導(dǎo)，來提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率和有效性. 本文正是在這樣的啟示下，結(jié)合解析幾何初步的教學(xué)實踐例談思想方法教學(xué)的實施.

解析幾何初步中的分類討論思想

眾所周知，分類討論思想一直是高中數(shù)學(xué)重點考查的數(shù)學(xué)思想方法之一，在解決很多高中數(shù)學(xué)問題諸如：導(dǎo)數(shù)壓軸題、分段函數(shù)問題、數(shù)列的絕對值和、排列組合求方法總數(shù)等等時常常使用. 其早在中國古代劉徽等人的專著《九章算術(shù)》中就已經(jīng)被多次使用，如今更是在高考數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)，成為區(qū)分學(xué)生思想完整性、發(fā)散性、靈活性、嚴謹性等考查的必備數(shù)學(xué)思想，值得教師研究和深化.

例1 在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合. 將矩形折疊，使A點落在線段DC上. 若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程.

分析：（1）題目已告訴直線斜率為k，即斜率存在；（2）從題意上看，斜率k可以為0，也可以不為0，所以要分類討論.

解析：（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程為y= .

（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，1），所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kAG·k=-1， k=-1？圯a=-k. 故G點坐標為G（-k，1），從而折痕所在的直線與AG的交點坐標（線段AG的中點）為M- ， . 折痕所在的直線方程為y- =kx+ ，即y=kx+ + .

所以k=0時，y= ；k≠0時，y=kx+ + .

說明：（1）求直線方程時，要考慮斜率是否存在、截距相等時是否為零以及相關(guān)位置關(guān)系，從而進行分類討論；（2）本題對斜率k為0和不為0進行分類討論.易錯點是忽略k=0的情況.

解析幾何初步中的對稱變換思想

對稱變換源自函數(shù)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)函數(shù)時，函數(shù)的奇偶性是對稱變換最基本、最原始的形態(tài). 隨著數(shù)學(xué)知識的深入，對稱變換思想也漸漸滲透到高中數(shù)學(xué)的其他章節(jié)，比如：抽象函數(shù)的對稱變換，排列組合中的位置變換、平均分組，解析幾何中的光線問題等等.

例2 光線沿直線l1：x-2y+5=0射入，遇直線l：3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.

分析：（1）入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于l對稱；（2）對稱點的連線被對稱軸垂直平分.

解析：法一：由x-2y+5=0，3x-2y+7=0得x=-1，y=2.所以反射點M的坐標為（-1，2）.又取直線x-2y+5=0上一點P（-5，0），設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點P′（x0，y0），由PP′⊥l可知，kPP′=- = . 而PP′的中點Q的坐標為 ， ，Q點在l上，所以3· -2· +7=0.

圖1

由 =- ， x0- -y0+7=0

得x0=- ，y0=- .

根據(jù)直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x-2y+33=0.

法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點P（x0，y0）關(guān)于直線l的對稱點為P′（x，y），則 =- . 又PP′的中點Q ， 在l上，所以3× -2× +7=0，由 =- ，3× -（y+y0）+7=0可得P點的坐標為x0= ，y0= ，代入方程x-2y+5=0中，化簡得29x-2y+33=0，所以反射光線所在的直線方程為29x-2y+33=0.

說明：（1）綜合利用物理學(xué)知識，利用對稱變換的思想方法是求解本題的關(guān)鍵；（2）構(gòu)建方程解方程組是本題的又一重要方法；（3）坐標轉(zhuǎn)移法是對稱變換中常用的方法之一；（4）本題的易錯點：一是計算錯誤，二是不能用對稱的思想求解，即找不到解決問題的突破口.

解析幾何初步中的方程思想

我們知道，數(shù)形結(jié)合是利用幾何圖形解決代數(shù)問題的典范，那么方程思想，正是用代數(shù)的觀念解決幾何問題的代表思想. 諸如在解決兩個函數(shù)f（x）=lnx和g（x）=x2交點的問題時，我們常?？梢詷?gòu)造新的函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），進而研究F（x）的零點即可，這就是將圖形問題代數(shù)化的典型體現(xiàn).

例3 已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑.

分析：（1）求圓心及半徑，關(guān)鍵是求m；（2）利用OP⊥OQ，建立x1x2+y1y2=0和根與系數(shù)的關(guān)系或利用圓的幾何性質(zhì).

解析：法一：將x=3-2y，代入方程x2+y2+x-6y+m=0，得5y2-20y+12+m=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1，y2滿足條件：y1+y2=4，y1y2= . 因為OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1，x2=3-2y2，所以x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2= . 故 + =0，解得m=3，此時Δ>0，圓心坐標為- ，3，半徑r= .

法二：設(shè)過P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+λ（x+2y-3）=0. 由OP⊥OQ知，點O（0，0）在圓上. 所以m-3λ=0，即m=3λ. 所以圓系方程可化為x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0，即x2+（1+λ）x+y2+2（λ-3）y=0，所以圓心M- ，3-λ. 又圓心在PQ上，所以- +2（3-λ）-3=0，所以λ=1，所以m=3. 所以圓心為- ，3，半徑為 .

說明：（1）在解決與圓有關(guān)的問題時，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使思路簡潔明了，簡化思路，簡便運算；（2）本題中兩種解法都是用方程思想求m值，即兩種解法圍繞“列出m的方程”求m值；（3）本題的易錯點是：不能正確構(gòu)建關(guān)于m的方程，找不到解決問題的突破口，或計算錯誤.

總之近年來，對高中數(shù)學(xué)思想方法的考查越來越受到各地高考試卷的重視，教師從高一教學(xué)開始就應(yīng)全面滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生通過問題看本質(zhì)的能力，使其在掌握雙基的同時，將知識點進行有機的整合，最終上升到思想方法的高度，久而久之的磨煉可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 用諾貝爾獎獲得者李政道教授的話說：“我覺得今天取得自己的一點成就離不開數(shù)學(xué)的功底，而數(shù)學(xué)的功底又在于我當年中學(xué)時代對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運用，其伴隨我研究一生.”