用幾何畫板探究圓錐曲線中的定值和定點(diǎn)問題

胡其振

摘 要：幾何畫板為解析幾何教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)造了一條便捷的通道，它不僅可以繪制曲線，同時(shí)可以解決學(xué)生難以想象的一些幾何動(dòng)態(tài)問題. 筆者以幾何畫板為載體采用“觀察—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的探究模式探究圓錐曲線的一個(gè)定值問題和一個(gè)定點(diǎn)問題，其中定值問題是筆者一節(jié)探究公開課的片段.

關(guān)鍵詞：幾何畫板；圓錐曲線；探究；定值；定點(diǎn)

定值問題

問題背景：（人民教育出版社高中數(shù)學(xué)選修2-1P41）例3 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是- ，求點(diǎn)M的軌跡方程.答案是： + =1（x≠±5）.

探究一：已知橢圓 + =1（a>b>0），A（-a，0），B（a，0），點(diǎn)M（不同于A，B）為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究直線MA與直線MB斜率之積是否為定值？

（學(xué)生觀察）

以橢圓方程 +y2=1為例進(jìn)行探究，如圖1，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，kAM，kBM的值分別在變化，而kAM·kBM=-0.25為定值.

（猜想）至此，學(xué)生心中已初步猜想到探究一中的直線MA與直線MB斜率之積為定值- ；

（教師）如何證明你們所猜想的結(jié)論呢？引導(dǎo)學(xué)生共同完成證明過程.

證：設(shè)點(diǎn)M（x，y），則kAM= ，kBM= ，

kAM·kBM= · = .

又因?yàn)?+ =1，所以y2=1- ·b2=- ，

所以kAM·kBM=- （為定值）.

探究二：已知橢圓 + =1（a>b>0），直線AB過原點(diǎn)，與橢圓交于A，B點(diǎn)，點(diǎn)M（不同于A，B且MA，MB不與坐標(biāo)軸平行）為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究直線MA與直線MB斜率之積是否為定值？

（學(xué)生實(shí)驗(yàn)）

如圖2，通過移動(dòng)點(diǎn)M和直線AB發(fā)現(xiàn)直線MA與直線MB斜率之積為定值，即kAM·kBM=-0.25.

圖2

經(jīng)過一番討論之后，學(xué)生給出了探究二的證明方法.

證：（1）若直線AB斜率不存在，易證得kAM·kBM=- .

（2）若直線AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx，

點(diǎn)M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

則kAM= ，kBM= ，

kAM·kAM= · =

= = = = .

又y2=- ，y =- ，所以kAM·kBM=- （為定值）.

綜上述，k ·k =- （定值）.

探究三：已知雙曲線 - =1（a>0，b>0），直線AB過原點(diǎn)，與雙曲線交于A，B點(diǎn)，點(diǎn)M（不同于A，B且MA，MB不與坐標(biāo)軸平行）為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究直線MA與直線MB斜率之積是否為定值？

（學(xué)生實(shí)驗(yàn)）

學(xué)生通過自己動(dòng)手操作，如圖3，易發(fā)現(xiàn)雙曲線也有這個(gè)性質(zhì)，并能得出結(jié)論為：kAM·kBM= .

圖3

證明類似探究二，此處不再贅述.

（教師）哪些曲線具備這個(gè)性質(zhì)？這些曲線有何共同的幾何特征？

（學(xué)生歸納結(jié)論）答案是：圓、橢圓、雙曲線；它們都是中心對(duì)稱圖形.

點(diǎn)評(píng)：傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，缺乏精確的作圖工具，雖然手工作圖很精確，但也很難呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)的幾何圖像；借助幾何畫板可以測(cè)量各種圖形的幾何量以及進(jìn)行各種運(yùn)算，在圖形的變化過程中，數(shù)量變化特征也可以直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，“以形助數(shù)”、“用數(shù)解形”，傳統(tǒng)教學(xué)中無(wú)法辦到，所以幾何畫板從這個(gè)方面來(lái)說，有效地激起學(xué)生的探究欲望，同時(shí)深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí).

定點(diǎn)問題

問題背景：已知拋物線y2=2px，點(diǎn)A，B為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB（O為原點(diǎn)），證明：直線AB過定點(diǎn)Q（2p，0）.

探究一：已知拋物線y2=2px，點(diǎn)M（x0，y0）為拋物線上的定點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且MA⊥MB，直線AB是否過定點(diǎn)？

如圖4，連接OM，過點(diǎn)M作直線MP垂直直線OM交拋物線于P點(diǎn)，Q為直線AB與直線OP的交點(diǎn)，通過移動(dòng)點(diǎn)A發(fā)現(xiàn)直線AB始終過定點(diǎn)Q，下面證明一般性結(jié)論：設(shè)點(diǎn)M（2pa2，2pa），A（2pt2，2pt），B（2ps2，2ps），其中a，t，s兩兩不相等.

圖4

因?yàn)镸A⊥MB，所以kMAkMB=-1，計(jì)算得

（t+a）（s+a）=-1，即ts+（t+s）a=-（1+a2）①.

直線AB的方程為：（s+t）y=x+2pts②.

①式兩邊同乘以2p，得2pts=-2p（1+a2）-（t+s）2pa，代入

②得（s+t）（y+2pa）-[x-2p（1+a2）]=0，

所以x=2p（1+a2）=2p+x0，y=-2pa= -y0，

即直線AB過定點(diǎn)Q（2p+x0，-y0）.

探究二：已知橢圓 + =1（a>b>0），點(diǎn)M（x0，y0）為橢圓上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A，B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且MA⊥MB，直線AB是否過定點(diǎn)？

如圖5，作直線MS，MR分別平行于x，y軸，通過移動(dòng)點(diǎn)B，容易發(fā)現(xiàn)直線AB始終過點(diǎn)定點(diǎn)Q（Q坐標(biāo)始終不變）.

分步探究：（1）假設(shè)直線AB過定點(diǎn)Q，怎么求定Q點(diǎn)坐標(biāo)？

如圖6：過M點(diǎn)的切線l方程為： x+ y=1，因此過點(diǎn)M且與直線l垂直的直線l′的方程為：

x- y- x0y0=0①.

直線MS，MR分別平行于x，y軸，則S（-x0，y0），R（x0，-y0），

所以直線RS的方程為x0y+y0x=0②.

由①②得定點(diǎn)Q x0， y0.

（2）如圖，探究二中的點(diǎn)A，B，若直線AQ斜率與直線BQ的斜率相等，則直線AB過定點(diǎn)Q.

設(shè)直線MA的方程：y-y0=k（x-x0），

聯(lián)立y-y0=k（x-x0）， + =1得（k2a2+b2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x0=- ，

所以x1= ，

y1=kx1+（y0-kx0）= ，

同理得x2= ，y2= .

y1-yQ= - = ，

x1-xQ= - = ，

所以kAQ= = ，

同理可得kBQ= = .

綜上述，直線AB過定點(diǎn)Q x0， y0.

探究三：已知雙曲線 - =1（a>0，b>0），點(diǎn)M（x0，y0）為雙曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A，B為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且MA⊥MB，直線AB是否過定點(diǎn)？

按照探究二的思路，可以得出：直線AB是定點(diǎn)Q x0， y0（其中a≠b）.

探究結(jié)論：已知圓錐曲線上一點(diǎn)M（x0，y0）（為定點(diǎn)），點(diǎn)A，B為圓錐曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且MA⊥MB，則直線AB過定點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：這里幾何畫板所提供的動(dòng)態(tài)功能，給我們一種耳目一新的視覺感受，使我們可以直觀地從圖象的變化過程中去尋求圖象的不變性質(zhì)（定點(diǎn)），并從圖形的動(dòng)態(tài)變化過程中去認(rèn)清數(shù)學(xué)的一些本質(zhì).

總結(jié)

數(shù)學(xué)具有抽象性，它的抽象性使得數(shù)學(xué)變得深刻，數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.” 幾何畫板讓學(xué)生從視覺上觀察到直觀具體的教學(xué)材料并誘發(fā)其直覺思維，從所呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)的思維材料中發(fā)現(xiàn)和猜想假設(shè)，在變化中尋找不變，所以利用“幾何畫板”輔助解析幾何的教學(xué)，有利于消除學(xué)生對(duì)解析幾何復(fù)雜問題的懼怕心理，提高學(xué)生的想象能力，發(fā)展學(xué)生的抽象思維，形成全面的數(shù)學(xué)觀.