一道學(xué)生的錯(cuò)解引發(fā)的思考

郭繼強(qiáng)

摘 要：本文結(jié)合江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度重點(diǎn)資助課題《高中數(shù)學(xué)核心概念后續(xù)教學(xué)的實(shí)踐研究》，借助探究等差數(shù)列最值問題一堂課，將本課題理念加以實(shí)踐，運(yùn)用函數(shù)中的核心概念“零點(diǎn)”加以分析，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)去研究數(shù)列問題，能使解數(shù)列的問題更有新意和綜合性，更能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)，以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)核心概念的理解.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；零點(diǎn)；最值；創(chuàng)新思維

《高中數(shù)學(xué)核心概念后續(xù)教學(xué)的實(shí)踐研究》這一課題是筆者參與的江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度重點(diǎn)資助課題. 近日筆者給學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的內(nèi)容，探究等差數(shù)列的最值問題時(shí)，一位學(xué)生的解答引發(fā)了筆者的思考，覺得高中數(shù)學(xué)核心概念的后續(xù)教學(xué)顯得尤為重要，并在此基礎(chǔ)上加以深入探究.眾所周知，數(shù)列可以看成是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)中的諸多思想方法均可應(yīng)用到數(shù)列中去，例如今年江蘇卷第19題，就是應(yīng)用了函數(shù)中的恒成立的思想. 特別值得關(guān)注的是，近幾年江蘇高考卷多次出現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)問題，譬如2012年江蘇卷第18題和2013年江蘇卷第20題. 這兩題都可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)加以分析，正如華羅庚老先生所言“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非”. 接下來筆者就結(jié)合函數(shù)中的核心概念——零點(diǎn)來談一談等差數(shù)列中的最值問題.

首先來看筆者這堂課的一個(gè)片段：

例1 在等差數(shù)列{an}中，a7>0，a7+a8<0.

（1）求使得Sn取得最大值時(shí)n的值；

（2）求使得Sn>0時(shí)n的最大值.

學(xué)生：因?yàn)閍7>0，a7+a8<0，所以a8<0，因?yàn)橹挥兴械恼龜?shù)之和最大，所以當(dāng)n=7時(shí)，Sn最大.

教師：很好！你能否總結(jié)出一般性的方法？

學(xué)生：如果一個(gè)等差數(shù)列，a1>0，d<0，那么當(dāng)n取得最后一個(gè)正數(shù)時(shí)，Sn取得最大值.

教師：你能夠?qū)⑦@個(gè)結(jié)論完善一下嗎？

學(xué)生：如果一個(gè)等差數(shù)列，a1<0，d>0，那么當(dāng)n取得最后一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，Sn取得最小值.

教師：太棒了！你能否告訴大家由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如何確定最后一個(gè)正數(shù)或者最后一個(gè)負(fù)數(shù)呢？比如an= -3n+20.

學(xué)生：如果令an=-3n+20=0，則n=■，那么最后一個(gè)正數(shù)n=6.

教師：不錯(cuò). 這位同學(xué)，請(qǐng)問an=-3n+21呢？這時(shí)Sn取得最大值時(shí)n的值是多少？

學(xué)生：an=-3n+21=0，則n=7，所以當(dāng)n=7時(shí)，Sn取得最大值.

教師：再想想.

學(xué)生：噢！n=6與n=7，Sn相等，對(duì)了！應(yīng)該是n=6或7！

教師：太棒了！這位同學(xué)，換一個(gè)角度，從等差數(shù)列的Sn來觀察，應(yīng)該怎么思考？

學(xué)生：等差數(shù)列的Sn形如無常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，要使Sn取得最大值，n應(yīng)取其對(duì)稱軸.

教師：很好！那你能說出此題的對(duì)稱軸嗎？

學(xué)生：因?yàn)镾6=S7，所以對(duì)稱軸是n=6.5.

教師：非常好！再進(jìn)一步思考，此二次函數(shù)的零點(diǎn)是多少呢？

學(xué)生：因?yàn)閷?duì)稱軸是n=6.5，所以二次函數(shù)的零點(diǎn)是n=13.

教師：（總結(jié)）太好了！同學(xué)們，a6= -3n+21=0，得到a6的零點(diǎn)是n=7. 由此零點(diǎn)我們能夠得出此等差數(shù)列前n項(xiàng)和S6的對(duì)稱軸與其零點(diǎn). 這對(duì)我們深刻理解等差數(shù)列的概念非常有幫助，這正是將函數(shù)中的相關(guān)概念以及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了數(shù)列問題中來. 不妨我們大家試著思考第2問.

？搖？搖對(duì)于本題的第2問，學(xué)生處理起來有了一些困難，筆者還是請(qǐng)了這位學(xué)生回答.

學(xué)生：因?yàn)閍7>0，a7+a8<0，所以a8<0，所以此數(shù)列單調(diào)遞減，且a70時(shí)n的最大值為14，請(qǐng)看我畫的圖1，圖1中陰影部分代表S■n.

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圖1

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圖2

這位學(xué)生是經(jīng)過深入思考的，但是沒有注意到圖1中的縱軸是an，起始點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是n=1，而這位學(xué)生將起始點(diǎn)誤認(rèn)為是n=0，導(dǎo)致了對(duì)稱點(diǎn)D的區(qū)間發(fā)生了錯(cuò)誤，其實(shí)D點(diǎn)的區(qū)間應(yīng)當(dāng)是（13，14），所以使得Sn>0時(shí)n的最大值為13. 事實(shí)上，這位學(xué)生是想借助圖1中線性函數(shù)的零點(diǎn)C來處理，想法很好，如果要想徹底弄清二者的關(guān)系，還須結(jié)合圖2，即Sn的圖象，其中點(diǎn)A為S■n的零點(diǎn)，n=B為拋物線的對(duì)稱軸，然后結(jié)合圖1中線性函數(shù)的零點(diǎn)C，當(dāng)然這里的點(diǎn)D即為圖2中的點(diǎn)A，接下來就來探究這里的三個(gè)點(diǎn)A，B，C之間存在著什么關(guān)系？

一、首先來探究點(diǎn)C與點(diǎn)D（即圖1中的點(diǎn)A）的關(guān)系. 這里要注意圖1中的起始點(diǎn)是n=1，所以O(shè)C=CD=C-1，即D點(diǎn)處取得的n=C+C-1=2C-1. 這樣就不難看出引例中使得an=0的零點(diǎn)n∈（7，7.5），那么使得Sn=0的零點(diǎn)n∈（13，14），從而得到使得Sn>0時(shí)n的最大值為13.

我們?cè)倥e一例.

例2 （高考題）在等差數(shù)列{an}中，S20>0，S21<0，求使得Sn取得最大值時(shí)n的值.

由題意可得，使得S■n=0的零點(diǎn)n∈（20，21），則由圖1可以知道，使得an=0的零點(diǎn)n∈（10.5，11），由圖1可知，當(dāng)n=10是最后一個(gè)正數(shù)，所以使得Sn取得最大值時(shí)n=10. 不但如此，還應(yīng)知道a10+a11>0.

二、其次來探究圖1中的零點(diǎn)C與圖2中的對(duì)稱軸n=B的關(guān)系，回到課堂上問學(xué)生“對(duì)于數(shù)列an=-3n+21，Sn取得最大值時(shí)n的值是多少？”學(xué)生最終回答n=6或7，而此數(shù)列的零點(diǎn)為n=7，也就是S6=S7，不難知道對(duì)稱軸為n=6.5. 那么對(duì)于圖1中的零點(diǎn)C，我們不難理解SC=SC-1，也就得到對(duì)稱軸為n=■=C-■.

三、最后是圖2中的對(duì)稱軸n=B與零點(diǎn)A的關(guān)系，這是很顯然的，A=2B. 不妨舉一例.

例3 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm=Sn（m≠n），求Sm+n的值.

這里的m+n即為Sn的零點(diǎn)，所以Sm+n=0. 再來看一道題.

例4 等差數(shù)列{an}中，a1>0，a80的最大自然數(shù)n的值為多少？

這是此題給出的答案：

解：依題意得d<0，故a9

即a1+7d

所以？搖14a1d+49d2<12a1d+36d2<16a1d+64d2，？搖？搖？搖？搖

即2a1d+13d2<0，a1d+7d2>0，？圯2a1+13d>0，a1+7d<0.

？圯-7<■<-■？圯■<-■<7.

Sn=■n2+a1-■n的對(duì)稱軸n=-■+■∈7，■，

所以Sn與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)x2∈（14，15），故使Sn>0的最大自然數(shù)n=14.

實(shí)際上，此題中不難得到此數(shù)列單調(diào)遞減，且a7>0，a9<0，因?yàn)閍7，a8，a9不可能同號(hào)，然后由a70，顯然此數(shù)列{an}的零點(diǎn)在（7.5，8），由圖1進(jìn)而知道Sn的零點(diǎn)在（14，15），故使Sn>0的最大自然數(shù)n=14.

本堂課在探究等差數(shù)列的最值問題時(shí)，能夠充分地從學(xué)生思維方式出發(fā)，順?biāo)浦?，很好地培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維習(xí)慣，促成學(xué)生沿著特殊到一般的思維方式，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成是以正整數(shù)集（或其子集）為定義域的函數(shù). 從這個(gè)意義上看，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)去研究數(shù)列問題，能使解數(shù)列的問題更有新意和綜合性，更能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí). 因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題，并進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)核心概念的理解.