例談數(shù)列教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法

楊凱

摘 要：數(shù)列是特殊的函數(shù)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教學(xué)的首要目標(biāo)是向?qū)W生傳授其基本的規(guī)律和兩種最基礎(chǔ)的數(shù)列模型，而其難點(diǎn)在于如何求解數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列求和以及數(shù)列的綜合問(wèn)題，在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想方法起到了很大的作用. 對(duì)于今天的新課程數(shù)列教學(xué)而言，筆者認(rèn)為數(shù)列知識(shí)最重要還是要站在思想方法的角度去滲透教學(xué)的精髓，因此本文將通過(guò)案例實(shí)際進(jìn)行層層分析，對(duì)數(shù)列問(wèn)題用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行結(jié)合教學(xué)，才能使學(xué)生對(duì)其理解透徹，真正明白為什么要學(xué)習(xí)數(shù)列？

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)列；數(shù)學(xué)教學(xué)

從課程改革來(lái)說(shuō)，新課改實(shí)施以來(lái)，教師面對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的兩大難題是：其一教學(xué)內(nèi)容相應(yīng)增加了（諸如引入大學(xué)教材中很多淺顯知識(shí)：概率、統(tǒng)計(jì)、微積分等等超出傳統(tǒng)教材范疇的知識(shí)），導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)總是課時(shí)緊，學(xué)生基本功不夠扎實(shí)，教學(xué)多年往往有這樣的感受，學(xué)生一屆比一屆基本功下降的多，想想這是什么造成的呢；其二是高考數(shù)學(xué)的大方向并沒有實(shí)質(zhì)性的改變，教師必須要顧及學(xué)生的高考成績(jī)，這要求教師對(duì)重點(diǎn)知識(shí)版塊，諸如數(shù)列等版塊的教學(xué)加強(qiáng)整合性教學(xué)、高觀點(diǎn)下的教學(xué)，如何去實(shí)現(xiàn)呢？如何來(lái)提高重要知識(shí)章節(jié)的課堂教學(xué)的效率呢？不能陷入題海教學(xué)的苦惱.

眾所周知，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 從知識(shí)層面來(lái)說(shuō)，數(shù)列有很多的基本知識(shí)，包含尋找數(shù)字之間的規(guī)律、了解最基本的數(shù)列模型——等差和等比、掌握數(shù)列通項(xiàng)的求解方法和求和方法等等，這是學(xué)生必須掌握的初級(jí)學(xué)習(xí)目標(biāo)；從高考應(yīng)試層面來(lái)看，數(shù)列的考查也往往不再以單一的知識(shí)進(jìn)行，其注重了各知識(shí)之間的銜接和整合的切入，此時(shí)我們不能再以題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)尋找問(wèn)題解決的突破口，由此數(shù)列教學(xué)的高級(jí)目標(biāo)——利用思想方法教學(xué)便應(yīng)運(yùn)而生. 通過(guò)思想方法教學(xué)，我們不僅大大提高了教學(xué)的效率和有效性，更站在系統(tǒng)的高度理解了數(shù)列是一種特殊函數(shù)的本質(zhì). 本文正是在這樣的背景下，結(jié)合數(shù)列的教學(xué)實(shí)踐例談思想方法教學(xué)的有效性.

數(shù)列中的整體思想和函數(shù)思想

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解決數(shù)列問(wèn)題就一定會(huì)涉及函數(shù)思想；又整體思想是高中數(shù)學(xué)各個(gè)章節(jié)中貫穿始終的數(shù)學(xué)思想，其主要體現(xiàn)在能否用整體的眼光去看待一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其是數(shù)學(xué)公式的重要運(yùn)用，有些學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”，正是因?yàn)槠錄]有用整體思想看待數(shù)學(xué)公式的使用，導(dǎo)致其解決問(wèn)題寸步難行，比如等差數(shù)列求和公式Sn=na1+ d=An2+Bn可用二次函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看待. 來(lái)看一個(gè)經(jīng)典案例：

案例1 （教材習(xí)題）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

分析：（1）Sm+n=a1（m+n）+ d=（m+n）a1+ d，只需求出a1+ d即可，由Sn，Sm可以構(gòu)造出a1+ d，并求出；（2）利用函數(shù)思想，理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn滿足的關(guān)系從函數(shù)的角度而言，是必過(guò)（0，0）點(diǎn)的二次函數(shù)，借此突破高效省事.

解析：方法一：設(shè){an}的公差為d，則由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

Sn=na1+ d=m， ①Sm=ma1+ d=n，②

②-①得（m-n）a1+ ·d=n-m，因?yàn)閙≠n，所以a1+ d= -1，

所以Sm+n=（m+n）a1+ d=（m+n）a1+ d=-（m+n）.

方法二：設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則Am2+Bm=n，③An2+Bn=m，④

③-④得A·（m2-n2）+B·（m-n）=n-m. 因?yàn)閙≠n，所以A（m+n）+B=-1，

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

說(shuō)明：（1）對(duì)本數(shù)列問(wèn)題而言，兩種解答均用到了數(shù)學(xué)的整體思想，其中法一把a(bǔ)1+ d看成一個(gè)整體，整體思想在解決問(wèn)題的過(guò)程中凸顯重要作用，但學(xué)生解決往往陷入無(wú)目的性的亂解；法二緊緊抓住等差數(shù)列求和公式是一種特殊的二次函數(shù)這一函數(shù)思想，進(jìn)而在運(yùn)算中把A（m+n）+B看成一個(gè)整體，大大簡(jiǎn)化了數(shù)列的運(yùn)算量. （2）針對(duì)數(shù)列整體思想的運(yùn)用，筆者建議首先要培養(yǎng)學(xué)生在公式運(yùn)算中的整體意識(shí)，包括很多數(shù)學(xué)公式運(yùn)算中要常常提起整體思想，諸如三角函數(shù)公式cos（α±β）的使用、抽象函數(shù)的展開化簡(jiǎn)、向量a-2b模長(zhǎng)的運(yùn)算等等都是整體思想最好的體現(xiàn). （3）對(duì)數(shù)列問(wèn)題中函數(shù)思想的運(yùn)用還可以滲透到等比數(shù)列的求和公式，即Sn=A+B·qn且A+B=0，還有諸如an+1=pan+f（n）中的構(gòu)造必需根據(jù)函數(shù)f（n）的模型來(lái)確定等等.

數(shù)列中的分類討論思想

從思想方法的重要性來(lái)說(shuō)，分類討論思想是高中數(shù)學(xué)最重要的思想方法之一，從高一學(xué)習(xí)數(shù)列基本問(wèn)題開始到高三數(shù)列綜合性問(wèn)題的求解等等，無(wú)不蘊(yùn)涵著分類討論思想. 學(xué)生對(duì)分類討論思想的認(rèn)知，基本停留在淺顯的地步，諸如比較明顯、常態(tài)的、習(xí)慣的討論，而對(duì)陌生問(wèn)題的討論切入點(diǎn)存在分析不足和認(rèn)知不夠，筆者認(rèn)為：對(duì)分類討論思想的教學(xué)立足兩點(diǎn)：其一是對(duì)高考常見數(shù)列問(wèn)題的板塊進(jìn)行典型分類討論的學(xué)習(xí)和探究，增長(zhǎng)學(xué)生在常態(tài)問(wèn)題上的熟悉程度；其二是分類討論教學(xué)請(qǐng)學(xué)生思考、辨析，為什么要在這樣的臨界點(diǎn)處進(jìn)行分類討論，以提高學(xué)生分類討論的切入點(diǎn)的準(zhǔn)確度.

案例2 數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則Sn的前60項(xiàng)和為（ ）

A. 3690 B. 1830

C. 1845？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. 3660

分析：初看本題往往給學(xué)生很茫然的感覺：這類型的數(shù)列遞推并不常見. 站在思想方法的角度而言，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析此類遞推數(shù)列模型，（-1）n是數(shù)學(xué)基本知識(shí)中常見的搖擺模型，因此以n為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類.

解析：由an+1+（-1）nan=2n-1，有：

若n為偶數(shù)，則an+1+an=2n-1，an+2-an+1=2n+1，兩式相加得an+2+an=4n，

若n為奇數(shù)，則an+1-an=2n-1，an+2+an+1=2n+1，兩式相減得an+2+an=2，

即相鄰兩奇數(shù)項(xiàng)之和為2，相鄰兩偶數(shù)項(xiàng)an+2與an之和為4n，

于是S60=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a57+a59）+（a2+a4）+…+（a58+a60）

？搖？搖=2+2+…+2+4×2+4×4+…+4×58=15×2+4× ×15=1830.

說(shuō)明：本題的分類較為明顯，但是學(xué)生對(duì)需要分類的數(shù)列接觸不多導(dǎo)致其分類思想的缺失. 以分類討論思想為數(shù)列的模型有很多，諸如典型的數(shù)列基礎(chǔ)問(wèn)題：若等差數(shù)列an=3n-21，求Tn=Σan，以an≥0和an<0作為切入點(diǎn)進(jìn)行分類討論.

數(shù)列中的構(gòu)造思想和轉(zhuǎn)化劃歸

數(shù)列中有很多的構(gòu)造數(shù)列求解通項(xiàng)問(wèn)題，其本質(zhì)是將一些特殊的數(shù)列模型通過(guò)構(gòu)造，即轉(zhuǎn)化劃歸為基本的等差數(shù)列和等比數(shù)列進(jìn)行解決. 這里，筆者要強(qiáng)調(diào)構(gòu)造是一種技巧，也能上升為一種思想方法，轉(zhuǎn)化劃歸是一種高層次的數(shù)學(xué)思想方法，將不能解決的數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能解決的基本數(shù)列模型.來(lái)看一個(gè)高考題：

案例3 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列.

（1）求a1的值（略）；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：由2Sn=an+1-2n+1+1及2Sn-1=an-2n+1（n≥2），可得an+1=3an+2n（n≥2），利用構(gòu)造解決本遞推即可.

解析：運(yùn)用整體思想，an+1=3an+2n？圯an+1+2n+1=3（an+2n），所以數(shù)列{an+2n}（n≥2）是一個(gè)以a2+4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列. 由2a1=a2-3可得，a2=5，所以an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2），當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，也滿足該式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-2n（n∈N*）.

說(shuō)明：構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)是數(shù)列知識(shí)中的重要技巧和思想，尤其在高考和競(jìng)賽數(shù)學(xué)中有重要的比例. 針對(duì)數(shù)列構(gòu)造思想的運(yùn)用，筆者以探究性學(xué)習(xí)的方式讓學(xué)生做了一次嘗試，以an+1=pan+f（n）的基本遞推數(shù)列為模型，進(jìn)行了探究性學(xué)習(xí)，筆者和學(xué)生一致發(fā)現(xiàn)構(gòu)造思想在此類數(shù)列模型中的運(yùn)用幾乎可以稱之為通法通解，具有典型的一般性：

（1）形如an+1=pan+f（n），f（n）為一次函數(shù)時(shí)，

如an+1=pan+bn+c，構(gòu)造an+1+λn+u=p[an+λ（n-1）+u]，利用待定系數(shù)求出λ與u即可；

（2）f（n）為二次函數(shù)時(shí)，

構(gòu)造：an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v），利用待定系數(shù)求出λ、u與v即可；

（3）f（n）為指數(shù)函數(shù)時(shí)，當(dāng)an+1=pan+qn時(shí)，按等比建構(gòu)，（i）p=q時(shí)，

構(gòu)造：an+1+λ（n+1）pn+1=p（an+λnpn），得：λ=- ，故an- npn是等比數(shù)列；

（ⅱ）當(dāng)p≠q時(shí)，構(gòu)造：an+1+λqn+1=p（an+λqn），得：λ= ，an+ qn是等比數(shù)列.

綜上，本文從典型問(wèn)題的角度闡述了數(shù)列教學(xué)中應(yīng)該注重的一些數(shù)學(xué)思想方法. 筆者最后想說(shuō)，高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)都體現(xiàn)著思想方法教學(xué)的重要性，我們不僅要解決基本知識(shí)，也要站在思想方法的系統(tǒng)高度幫助學(xué)生高效的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué). 用澳洲華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒的話說(shuō)：“數(shù)學(xué)思想方法是一種結(jié)晶，是指導(dǎo)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精髓所在，值得研究和深化.”