數(shù)學(xué)教學(xué)中要體現(xiàn)思維與技能的統(tǒng)一

陸春懷

摘 要：整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展過程其實(shí)就是不斷建立數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用模型的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生善于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 數(shù)學(xué)思維不僅有生動(dòng)活潑的探究過程，而且有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，我們常說“先思考再行動(dòng)，三思而后行，審題要慢做題要快，想在算之前”等，都是在說明教學(xué)中一是教學(xué)生數(shù)學(xué)思維，二是教學(xué)生數(shù)學(xué)技術(shù)，兩者相輔相成，高度統(tǒng)一，不可偏頗.

關(guān)鍵詞：思維；技能；統(tǒng)一

“古代中國認(rèn)為數(shù)學(xué)是‘術(shù)，是用來解決生產(chǎn)和生活問題的計(jì)算方法. 歷史上著名的《周脾算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等‘算經(jīng)十書，充分反映了中國古代數(shù)學(xué)追求實(shí)用、注重算法、寓理于算的特點(diǎn). 而古希臘卻認(rèn)為數(shù)學(xué)是理念，是關(guān)于世界本質(zhì)的學(xué)問，數(shù)學(xué)對象是一種不依賴于人類思維的客觀存在，但可以通過親身體驗(yàn)，借助實(shí)驗(yàn)、觀察和抽象獲得有關(guān)的知識(shí).” “隨著時(shí)代的發(fā)展與研究的深入，對‘?dāng)?shù)學(xué)是什么的回答又有過很多經(jīng)典的說法. 比如：‘?dāng)?shù)學(xué)是科學(xué)，數(shù)學(xué)更是一門創(chuàng)造性的藝術(shù)，‘?dāng)?shù)學(xué)是一種語言，是一些科學(xué)的公共語言，‘?dāng)?shù)學(xué)是一種文化體系，‘?dāng)?shù)學(xué)是科學(xué)，數(shù)學(xué)也是一門技術(shù)等等”，甚至有人說：“高科技本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù).” 加里寧說“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操.” “數(shù)學(xué)思維不僅有生動(dòng)活潑的探究過程，其中包括想象、類比、聯(lián)想、直覺、頓悟等方面，而且有嚴(yán)謹(jǐn)性的證明過程，通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是最好、最經(jīng)濟(jì)的方法.” 由此，對于數(shù)學(xué)教學(xué)自然存在兩種認(rèn)識(shí)：一是教學(xué)生數(shù)學(xué)思維，二是教學(xué)生數(shù)學(xué)技術(shù).

教思維還是教技術(shù)？在很多教師的心理是比較模糊的. 認(rèn)識(shí)的不同，直接影響教師的教學(xué)行為. 因?yàn)榧夹g(shù)強(qiáng)調(diào)熟練，要通過大量甚至重復(fù)的練習(xí)而達(dá)到目標(biāo)，即所謂的“熟能生巧”. “題海戰(zhàn)術(shù)”實(shí)質(zhì)上就是把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種技術(shù)的行為體現(xiàn). 認(rèn)為數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，把數(shù)學(xué)看做是一種思維訓(xùn)練的教師，在教學(xué)中就會(huì)強(qiáng)調(diào)效率，強(qiáng)調(diào)教學(xué)的有效性，就會(huì)時(shí)刻圍繞著激發(fā)學(xué)生思維，提高學(xué)生思維能力作為出發(fā)點(diǎn)和歸宿. 在教學(xué)設(shè)計(jì)上，就會(huì)深入淺出，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn). 在教學(xué)過程中就會(huì)妙趣橫生，高潮不斷產(chǎn)生，學(xué)生的積極性自然高漲，思維能力得到迅速提升.

教思維是必然的，然而數(shù)學(xué)又是一項(xiàng)技術(shù)，教學(xué)生技術(shù)也是必需的. 因此，一定量的訓(xùn)練很必要. 同時(shí)，沒有一定量的練習(xí)，思維的訓(xùn)練也得不到鞏固. 所以，兩者如何有效結(jié)合起來就是教師們必須面對的問題.解決得好，就會(huì)形成一個(gè)通途，學(xué)生會(huì)感到輕松，興趣也會(huì)大增；否則，學(xué)生就會(huì)沉入到書堆之中，沉入到題海之中，靠岸無力，興趣當(dāng)然蕩然無存了. 其實(shí)，在某些方面學(xué)生厭學(xué)，教師（或家長）負(fù)有不可推卸的責(zé)任.

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是教會(huì)學(xué)生如何數(shù)學(xué)地思考問題，分析問題和解決問題，從而提高思考能力，提高素質(zhì). 如果把數(shù)學(xué)單純地當(dāng)做技術(shù)教，就會(huì)“越教學(xué)生越死”，思維得不到聯(lián)通，學(xué)生越學(xué)越吃力，甚至產(chǎn)生厭學(xué)心理.

因此，課堂上我們應(yīng)該把發(fā)展學(xué)生思維作為一條主線，在選題、做題和講題上深入挖掘其中所蘊(yùn)涵的思維成分，在學(xué)生學(xué)“數(shù)學(xué)技術(shù)”的同時(shí)，思維能力得到提高.

高中數(shù)學(xué)到底怎么教？我們知道，同樣的原材料，但不同水平的廚師做出來的菜肴卻大相徑庭. 同樣一堂內(nèi)容的課，不同水平或不同理念的教師上出來的效果也不盡相同，甚至天壤之別.菜肴是否可口，品嘗者說了算；課是否好，學(xué)生說了算. 然而，我們站在公正的立場去評價(jià)，高低上下總會(huì)一目了然. 這好比是數(shù)學(xué)里的最小數(shù)原理一樣，“在有限個(gè)實(shí)數(shù)中必然有一個(gè)最小的.”

那么，如何上好高中數(shù)學(xué)課呢？或者說高中數(shù)學(xué)課應(yīng)該怎么上呢？筆者認(rèn)為，要處理好下面幾個(gè)問題：

（1）把思維當(dāng)做主線去組織內(nèi)容

“課堂教學(xué)貫穿思維這個(gè)主線”是我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有的理念. 理念決定行為，行為影響效果. 在備課時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，編制教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)問題. 對于基礎(chǔ)較差的學(xué)生做到“低起點(diǎn)，小步子”；對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以適當(dāng)把起點(diǎn)放得高一些. 步子適當(dāng)放得大一些，做到讓學(xué)生“跳一跳，可以夠得著；想一想，能夠想得到.”

“數(shù)學(xué)教學(xué)過程是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行的積極的思維活動(dòng)過程，數(shù)學(xué)教學(xué)具有活動(dòng)性特征，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的活動(dòng)既有外部的具體行為操作，又有內(nèi)部的抽象思維操作，是學(xué)生由表及里的活動(dòng)，并且以內(nèi)部的積極思維為主要形式，因此，思維活動(dòng)應(yīng)成為課堂的‘主角.” 始終以思維活動(dòng)為著重點(diǎn)，交給學(xué)生思維方法，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，一切按“訓(xùn)練學(xué)生思維”這條主線展開，會(huì)使學(xué)生越學(xué)越活，真正感悟到問題的本質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).“進(jìn)一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個(gè)人發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步的需要.”

案例1 已知 + =1，其中a>0，b>0，求a+b的取值范圍.

思路1：消元法，由已知得b= ，則a+b=a+ = . 至此，有的學(xué)生分離常數(shù)，有的學(xué)生用導(dǎo)數(shù)，思維異?；钴S……

思路2：基本不等式法1：因?yàn)?+ =1≥2 ，所以ab≥6，所以a+b≥2 .

教師：對嗎？問題出現(xiàn)在哪？到底應(yīng)該怎么辦？于是，學(xué)生們紛紛給出下列解法：

基本不等式法2：消元法，a+b=a+ +3=（a-2）+ +5≥5+2 .

基本不等式法3：整體處理法，a+b=（a+b）· + =5+ + ≥5+2 .

基本不等式法4：分解變換法， + =1？圯ab=3a+2b？圯（a-2）（b-3）=6，所以a+b=（a-2）+（b-3）+5≥5+2 =5+2 .

接著，教師繼續(xù)啟發(fā)，學(xué)生又得到如下思路.

思路3：構(gòu)造直線 + =1，等價(jià)于過點(diǎn)P（2，3）的直線交x軸的正半軸和y軸的正半軸于點(diǎn)A，B，作PE⊥x軸，作PF⊥y軸，垂足為F，求OA+OB的最小值. 設(shè)AE=m，BF=m，由 + ，得mn=6，則a+b=OA+OB=m+n+5≥5+ =5+2 。

（2）選擇適當(dāng)?shù)木毩?xí)題

適當(dāng)?shù)挠?xùn)練非常重要. 技術(shù)需要訓(xùn)練，思維也需要訓(xùn)練，沒有恰當(dāng)及時(shí)的鞏固練習(xí)，學(xué)生就達(dá)不到應(yīng)有的效果. 不同的內(nèi)容需要的訓(xùn)練量是不同的. 有的知識(shí)點(diǎn)可能只需要兩個(gè)練習(xí)題就夠了，第3個(gè)題就是多余的；有的知識(shí)點(diǎn)需要10個(gè)不同類型題的訓(xùn)練，只練習(xí)9個(gè)題就不夠，就達(dá)不到應(yīng)有的效果.因此，一定量的練習(xí)很重要.

訓(xùn)練題需要一定的數(shù)量，更需要很好的質(zhì)量. 因此，訓(xùn)練題要精心選擇，要把思維蘊(yùn)涵在每一道習(xí)題之中，即“讓題說話”. 因此，可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)，分層設(shè)計(jì)練習(xí)題. 如A＼B組，A組為必會(huì)題（或稱過關(guān)題），B組為提升題. 這樣，學(xué)生會(huì)各得其所，也可以確保每名學(xué)生都會(huì)得到不同程度的提高.

（3）課堂上要善于激發(fā)學(xué)生思維

激發(fā)學(xué)生思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該處處顯現(xiàn)智慧之光. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，關(guān)鍵是緊緊抓住學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生的思維處于活躍狀態(tài). 激發(fā)思維的方法很多，比如：①從解題入手，一題多解，啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思維能力；多題一解，激發(fā)學(xué)生概括抽象能力，從而感悟到問題的本質(zhì)所在. ②從讓學(xué)生編題入手，教師首先提供一個(gè)基礎(chǔ)題，然后讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上生成新題. 在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維一直處于積極狀態(tài).

如某教師在黑板上寫出一道題：求函數(shù)f（x）=x+2，x∈[0，1]的值域，要求學(xué)生編題.

學(xué)生1. 若f（x）=ax+m，x∈[0，1]的值域是[2，3]，求m和n的值.

學(xué)生2. 若函數(shù)f（x）=nsinx+m的值域是[2，3]，求m和n的值.

學(xué)生3. 對？坌k∈[1，2]，？坌m∈[2，3]，函數(shù)f（x）=kx+m（k，m為常數(shù)）的值恒正，求x的取值范圍.

學(xué)生4. 設(shè)f（x）=x+2的定義域?yàn)閇an，bn]，值域?yàn)閇an+1，bn+1]，n∈N*，且a1=1，b1=2，求數(shù)列{an-2bn}的前n項(xiàng)和.

③從正誤辨析上入手.通過辨析，使學(xué)生澄清問題的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生思維.

如已知函數(shù)f（x）=x 在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，那么最小的正數(shù)a=________.

教師要求學(xué)生對下面的解析提出問題：

解析：由冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，故 <0.

又因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，故冪函數(shù)必定為偶函數(shù)，

所以 為負(fù)偶數(shù)，

即 =-2k（k∈N*），

所以a=6k+1，

當(dāng)k=1時(shí)，amin=7，故a=7.

通過分析，部分學(xué)生認(rèn)為是正確的. 有一個(gè)學(xué)生舉出一個(gè)例子y=x- 是符合題目條件的函數(shù)，但此時(shí)a=3. 因此，最小值不是7. 此時(shí)教室里一片嘩然. 因此，討論和思考進(jìn)一步深入下去……

④從題目的變式上入手. 題目的變式，表面上是給學(xué)生搭梯子，建臺(tái)階，實(shí)質(zhì)上是引領(lǐng)學(xué)生從現(xiàn)象到本質(zhì)的飛躍過程.

通過變式教學(xué)，使學(xué)生步步提升，思維自然得到激發(fā)，問題的本質(zhì)逐步顯露，學(xué)生的感悟能力也得到不同程度的提高，解題技能也會(huì)節(jié)節(jié)攀升.