用聯(lián)系發(fā)展的觀點看解析幾何

劉奇玲+王若維

摘 要：作者作者用辯證唯物法的觀點，用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光對初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與高職解析幾何學(xué)習(xí)在內(nèi)容和研究方法上進行了比較，結(jié)合時下對解析幾何的重新審視，得出了對解析幾何的新的理解：數(shù)形結(jié)合的思想方法是解析幾何的一個核心思想方法；高職的解析幾何是對初高中解析幾何內(nèi)容的發(fā)展和補充，但更是在研究方法上的提煉和升華。

關(guān)鍵詞：聯(lián)系的；發(fā)展的；解析幾何；數(shù)形結(jié)合

唯物辯證法告訴我們，世界是普遍聯(lián)系、變化發(fā)展的。而社會的進步與發(fā)展，不僅需要有專業(yè)訓(xùn)練的公民，更需要的是有教養(yǎng)的公民。車爾尼雪夫斯基說，要使人成為真正有教養(yǎng)的人，必須具有三個品質(zhì)：淵博的知識、良好的思維習(xí)慣和高尚的情操。人格教育是數(shù)學(xué)教育的目的之一。

數(shù)學(xué)教育作為教育的一部分。在發(fā)展人、發(fā)展社會方面起著重要作用。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是傳授給學(xué)生一定量的數(shù)學(xué)知識，更重要的是教師通過知識載體對學(xué)生實施能動的心理和智能的引導(dǎo)。以啟迪智慧，挖掘潛能，發(fā)展思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和解決問題的能力。這對于解析幾何教學(xué)尤為重要。我們認為強化“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)是實現(xiàn)上述目標的重要舉措。

數(shù)學(xué)是職教的一門公共必修課，解析幾何是數(shù)學(xué)的一個重要的部分，現(xiàn)在人們越來越認識到數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，數(shù)學(xué)是一門關(guān)鍵的技術(shù)，數(shù)學(xué)教育在人的全面發(fā)展中的功能應(yīng)是工具功能、育智功能和自我完善功能的統(tǒng)一體，而解析幾何則是實現(xiàn)這些功能最直觀高效的手段。

數(shù)學(xué)又是一種文化，這就決定了數(shù)學(xué)教育的文化性目的。正像語言詞匯不能全然與語法、句法或?qū)嶋H的民族文化教育相分離一樣，數(shù)學(xué)知識不能孤立于該領(lǐng)域中共生的方法、理論及社會文化發(fā)展這個大系統(tǒng)。數(shù)學(xué)教育在傳授知識、培養(yǎng)能力的同時，還應(yīng)充分注意其應(yīng)有的文化教育價值，解析幾何的發(fā)展史就是古典數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展史，從開普勒到伽利略，到笛卡爾、費馬，這些科學(xué)家的經(jīng)典軼事、解析幾何的研究歷程所擁有的學(xué)術(shù)價值是無可估量的、其文化價值更是燦爛璀璨的。

用普遍聯(lián)系的、變化發(fā)展的觀點來看待解析幾何，可以發(fā)現(xiàn)：高職的解析幾何是對初高中解幾內(nèi)容的發(fā)展和補充，但更是在研究方法上的提煉和升華。

解析幾何是依據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想方法建立起來的一門學(xué)科，解析幾何的基本思想就是用代數(shù)方法研究幾何，最基本的做法就是把空間幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化、數(shù)量化。即先把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)的知識解決后再返回到幾何中去。

解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。其中平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，這種方法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)；在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。

而這種聯(lián)系的、發(fā)展的觀點在解析幾何的研究中是普遍存在的。在解析幾何創(chuàng)立以前，幾何與代數(shù)是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，使形與數(shù)統(tǒng)一起來，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大突破。數(shù)形結(jié)合的思想促使人們運用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。它對近代數(shù)學(xué)的機械化證明也提供了有力的工具

初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是這種數(shù)形結(jié)合的思想形成的過程：初中階段在建立了用字母代表數(shù)字的代數(shù)思想，了解了代數(shù)式、一元一次方程和簡單幾何圖形后接觸了平面直角坐標系，第一次把一個點和一對有序的實數(shù)對應(yīng)起來。在接下來的二次函數(shù)、平面幾何的學(xué)習(xí)中不斷在滲透這種由形到數(shù)，再由數(shù)到形的思想方法。到了高中階段，直線與方程之間建立起了直接的對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)系的、發(fā)展的解析幾何的思想形成了。之后一元二次不等式的求解，三角函數(shù)的了解，圓錐曲線的研究以及線性規(guī)劃的應(yīng)用都是這種思想方法的實踐。甚至向量也有坐標表示，立體幾何的研究中更是建立了空間直角坐標系，把平面解析幾何發(fā)展到了空間解析幾何。

在“空間直角坐標系”這一課的教學(xué)中，老師一般都會在課上介紹了法國數(shù)學(xué)家笛卡兒，正是向傳統(tǒng)和權(quán)威挑戰(zhàn)的巨大勇氣，使他創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，特別是笛卡兒理論中的兩個概念——坐標概念和利用坐標方法把兩個來知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線的概念。在笛卡兒之前，數(shù)學(xué)家們也研究F（x，y）=0這樣的不定方程，但都只關(guān)心它的整數(shù)解，并不關(guān)心，F(xiàn)（x，y）=0的一切實數(shù)解。笛卡兒破天荒地第一次將它視為一條平面曲線，這就是笛卡兒的偉大之處。這些軼事使學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的解析幾何產(chǎn)生了極大的好奇心?？梢娐?lián)系的、發(fā)展的解析幾何的思想其實是始終貫穿在初高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中的。

但是，初高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容畢竟有限，研究方法也是稚嫩的。例如：位置是空間中最原始的概念。兩點間位置的位差就是一個最基本的幾何量，而向量正是位差的抽象化，向量的運算就是基本幾何性質(zhì)的代數(shù)化。向量的加法反映了位移和平行四邊形定理，向量的倍積反映了相似。向量的內(nèi)積、外積反映了面積、長度、角度的關(guān)系。這些不但說明向量代數(shù)可作為解析幾何的研究工具，也利于加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解。但高中數(shù)學(xué)對向量的運算僅僅只在加，減，數(shù)乘之外了解了一下點乘運算而已。又比如，二次曲面（橢球面、雙曲面與拋物面）的研究蘊涵著數(shù)形結(jié)合、化歸和變換等重要的思想方法。由于這些曲面都是用解析法（即方程）來定義的，它們的幾何特征都不明顯，所以必須通過方程來了解曲面的性質(zhì)，進而推想出它所表示的曲面的大致形狀，而高中解析幾何的研究也局限于代數(shù)運算能力，對柱面、錐面、球面、旋轉(zhuǎn)曲面是回避的。

然而即便這樣，解析幾何的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法卻一直是初高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、類比，建立函數(shù)模型，用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是學(xué)生在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最大收獲。尤其是數(shù)形結(jié)合思想，現(xiàn)在我們知道數(shù)形結(jié)合的基本思想是在研究問題的過程中，把數(shù)與形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題。實現(xiàn)了由數(shù)到形和由形到數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，進而使抽象問題具體化，直觀問題深刻化，復(fù)雜問題簡單化，特殊問題一般化。

例如：在復(fù)平面上，點，向量與復(fù)數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。可見復(fù)數(shù)與向量有著密切的聯(lián)系，將向量與復(fù)數(shù)結(jié)合起來，可方便地解決某些涉及到旋轉(zhuǎn)的圖形問題。

所以數(shù)形結(jié)合思想方法其實是貫穿解析幾何全部內(nèi)容的。例如，由形到數(shù)，從幾何性質(zhì)出發(fā)，建立直線與平面的方程；由數(shù)到形，從平面、直線方程出發(fā)，探求點、線、面之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系、從二次曲線的方程出發(fā)，探究其所代表的線的形狀，不僅從直觀上了解曲線的大致形狀，而且為進一步化簡作了準備。

總之：“數(shù)形結(jié)合”溝通了代數(shù)與幾何最基本對象之間的聯(lián)系，使幾何的概念得以用代數(shù)方式表示，幾何目標得以用代數(shù)方法達到。反之，代數(shù)語言因為得到幾何解釋而變得直觀、易懂。用聯(lián)系的觀點看待幾何和代數(shù)，用發(fā)展的觀點反觀初高中的解析幾何學(xué)習(xí)，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合的思想方法是高職解析幾何的一個核心思想方法。也就是說高職的解析幾何是對初高中解析幾何內(nèi)容的發(fā)展和補充，但更是在研究方法上的提煉和升華。