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    用聯(lián)系發(fā)展的觀點看解析幾何

    2016-10-14 03:05劉奇玲王若維
    科學(xué)與財富 2016年28期
    關(guān)鍵詞:解析幾何數(shù)形結(jié)合

    劉奇玲+王若維

    摘 要:作者作者用辯證唯物法的觀點,用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光對初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與高職解析幾何學(xué)習(xí)在內(nèi)容和研究方法上進行了比較,結(jié)合時下對解析幾何的重新審視,得出了對解析幾何的新的理解:數(shù)形結(jié)合的思想方法是解析幾何的一個核心思想方法;高職的解析幾何是對初高中解析幾何內(nèi)容的發(fā)展和補充,但更是在研究方法上的提煉和升華。

    關(guān)鍵詞:聯(lián)系的;發(fā)展的;解析幾何;數(shù)形結(jié)合

    唯物辯證法告訴我們,世界是普遍聯(lián)系、變化發(fā)展的。而社會的進步與發(fā)展,不僅需要有專業(yè)訓(xùn)練的公民,更需要的是有教養(yǎng)的公民。車爾尼雪夫斯基說,要使人成為真正有教養(yǎng)的人,必須具有三個品質(zhì):淵博的知識、良好的思維習(xí)慣和高尚的情操。人格教育是數(shù)學(xué)教育的目的之一。

    數(shù)學(xué)教育作為教育的一部分。在發(fā)展人、發(fā)展社會方面起著重要作用。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是傳授給學(xué)生一定量的數(shù)學(xué)知識,更重要的是教師通過知識載體對學(xué)生實施能動的心理和智能的引導(dǎo)。以啟迪智慧,挖掘潛能,發(fā)展思維,培養(yǎng)創(chuàng)新意識和解決問題的能力。這對于解析幾何教學(xué)尤為重要。我們認為強化“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)是實現(xiàn)上述目標的重要舉措。

    數(shù)學(xué)是職教的一門公共必修課,解析幾何是數(shù)學(xué)的一個重要的部分,現(xiàn)在人們越來越認識到數(shù)學(xué)是一門科學(xué),數(shù)學(xué)是一門關(guān)鍵的技術(shù),數(shù)學(xué)教育在人的全面發(fā)展中的功能應(yīng)是工具功能、育智功能和自我完善功能的統(tǒng)一體,而解析幾何則是實現(xiàn)這些功能最直觀高效的手段。

    數(shù)學(xué)又是一種文化,這就決定了數(shù)學(xué)教育的文化性目的。正像語言詞匯不能全然與語法、句法或?qū)嶋H的民族文化教育相分離一樣,數(shù)學(xué)知識不能孤立于該領(lǐng)域中共生的方法、理論及社會文化發(fā)展這個大系統(tǒng)。數(shù)學(xué)教育在傳授知識、培養(yǎng)能力的同時,還應(yīng)充分注意其應(yīng)有的文化教育價值,解析幾何的發(fā)展史就是古典數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展史,從開普勒到伽利略,到笛卡爾、費馬,這些科學(xué)家的經(jīng)典軼事、解析幾何的研究歷程所擁有的學(xué)術(shù)價值是無可估量的、其文化價值更是燦爛璀璨的。

    用普遍聯(lián)系的、變化發(fā)展的觀點來看待解析幾何,可以發(fā)現(xiàn):高職的解析幾何是對初高中解幾內(nèi)容的發(fā)展和補充,但更是在研究方法上的提煉和升華。

    解析幾何是依據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想方法建立起來的一門學(xué)科,解析幾何的基本思想就是用代數(shù)方法研究幾何,最基本的做法就是把空間幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化、數(shù)量化。即先把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,用代數(shù)的知識解決后再返回到幾何中去。

    解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。其中平面解析幾何的基本思想有兩個要點:第一,在平面建立坐標系,一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應(yīng);第二,在平面上建立了坐標系后,平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到,這種方法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決,而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。在平面解析幾何中,除了研究直線的有關(guān)性質(zhì)外,主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關(guān)性質(zhì);在空間解析幾何中,除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外,主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。

    而這種聯(lián)系的、發(fā)展的觀點在解析幾何的研究中是普遍存在的。在解析幾何創(chuàng)立以前,幾何與代數(shù)是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合,使形與數(shù)統(tǒng)一起來,這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大突破。數(shù)形結(jié)合的思想促使人們運用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題,一旦運用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。它對近代數(shù)學(xué)的機械化證明也提供了有力的工具

    初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是這種數(shù)形結(jié)合的思想形成的過程:初中階段在建立了用字母代表數(shù)字的代數(shù)思想,了解了代數(shù)式、一元一次方程和簡單幾何圖形后接觸了平面直角坐標系,第一次把一個點和一對有序的實數(shù)對應(yīng)起來。在接下來的二次函數(shù)、平面幾何的學(xué)習(xí)中不斷在滲透這種由形到數(shù),再由數(shù)到形的思想方法。到了高中階段,直線與方程之間建立起了直接的對應(yīng)關(guān)系,聯(lián)系的、發(fā)展的解析幾何的思想形成了。之后一元二次不等式的求解,三角函數(shù)的了解,圓錐曲線的研究以及線性規(guī)劃的應(yīng)用都是這種思想方法的實踐。甚至向量也有坐標表示,立體幾何的研究中更是建立了空間直角坐標系,把平面解析幾何發(fā)展到了空間解析幾何。

    在“空間直角坐標系”這一課的教學(xué)中,老師一般都會在課上介紹了法國數(shù)學(xué)家笛卡兒,正是向傳統(tǒng)和權(quán)威挑戰(zhàn)的巨大勇氣,使他創(chuàng)立了解析幾何學(xué),特別是笛卡兒理論中的兩個概念——坐標概念和利用坐標方法把兩個來知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線的概念。在笛卡兒之前,數(shù)學(xué)家們也研究F(x,y)=0這樣的不定方程,但都只關(guān)心它的整數(shù)解,并不關(guān)心,F(xiàn)(x,y)=0的一切實數(shù)解。笛卡兒破天荒地第一次將它視為一條平面曲線,這就是笛卡兒的偉大之處。這些軼事使學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的解析幾何產(chǎn)生了極大的好奇心??梢娐?lián)系的、發(fā)展的解析幾何的思想其實是始終貫穿在初高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中的。

    但是,初高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容畢竟有限,研究方法也是稚嫩的。例如:位置是空間中最原始的概念。兩點間位置的位差就是一個最基本的幾何量,而向量正是位差的抽象化,向量的運算就是基本幾何性質(zhì)的代數(shù)化。向量的加法反映了位移和平行四邊形定理,向量的倍積反映了相似。向量的內(nèi)積、外積反映了面積、長度、角度的關(guān)系。這些不但說明向量代數(shù)可作為解析幾何的研究工具,也利于加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解。但高中數(shù)學(xué)對向量的運算僅僅只在加,減,數(shù)乘之外了解了一下點乘運算而已。又比如,二次曲面(橢球面、雙曲面與拋物面)的研究蘊涵著數(shù)形結(jié)合、化歸和變換等重要的思想方法。由于這些曲面都是用解析法(即方程)來定義的,它們的幾何特征都不明顯,所以必須通過方程來了解曲面的性質(zhì),進而推想出它所表示的曲面的大致形狀,而高中解析幾何的研究也局限于代數(shù)運算能力,對柱面、錐面、球面、旋轉(zhuǎn)曲面是回避的。

    然而即便這樣,解析幾何的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法卻一直是初高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、類比,建立函數(shù)模型,用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是學(xué)生在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最大收獲。尤其是數(shù)形結(jié)合思想,現(xiàn)在我們知道數(shù)形結(jié)合的基本思想是在研究問題的過程中,把數(shù)與形結(jié)合起來考察,斟酌問題的具體情形,把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題,或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題。實現(xiàn)了由數(shù)到形和由形到數(shù)的相互轉(zhuǎn)化,進而使抽象問題具體化,直觀問題深刻化,復(fù)雜問題簡單化,特殊問題一般化。

    例如:在復(fù)平面上,點,向量與復(fù)數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。可見復(fù)數(shù)與向量有著密切的聯(lián)系,將向量與復(fù)數(shù)結(jié)合起來,可方便地解決某些涉及到旋轉(zhuǎn)的圖形問題。

    所以數(shù)形結(jié)合思想方法其實是貫穿解析幾何全部內(nèi)容的。例如,由形到數(shù),從幾何性質(zhì)出發(fā),建立直線與平面的方程;由數(shù)到形,從平面、直線方程出發(fā),探求點、線、面之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系、從二次曲線的方程出發(fā),探究其所代表的線的形狀,不僅從直觀上了解曲線的大致形狀,而且為進一步化簡作了準備。

    總之:“數(shù)形結(jié)合”溝通了代數(shù)與幾何最基本對象之間的聯(lián)系,使幾何的概念得以用代數(shù)方式表示,幾何目標得以用代數(shù)方法達到。反之,代數(shù)語言因為得到幾何解釋而變得直觀、易懂。用聯(lián)系的觀點看待幾何和代數(shù),用發(fā)展的觀點反觀初高中的解析幾何學(xué)習(xí),可以發(fā)現(xiàn),數(shù)形結(jié)合的思想方法是高職解析幾何的一個核心思想方法。也就是說高職的解析幾何是對初高中解析幾何內(nèi)容的發(fā)展和補充,但更是在研究方法上的提煉和升華。

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