《線(xiàn)性代數(shù)》教學(xué)中提高學(xué)生幾何思維能力的培養(yǎng)研究

張開(kāi)拓

摘要：線(xiàn)性代數(shù)和解析幾何有著密切的聯(lián)系，然而很多學(xué)生在學(xué)習(xí)行列式和矩陣時(shí)，常常只從代數(shù)角度強(qiáng)制記憶運(yùn)算規(guī)則，事倍功半，同時(shí)導(dǎo)致其學(xué)習(xí)興趣不足。本文結(jié)合筆者個(gè)人教學(xué)實(shí)際，淺談如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何思維方式來(lái)學(xué)習(xí)、理解線(xiàn)性代數(shù)中的若干問(wèn)題，以期提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力和學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：線(xiàn)性代數(shù)；解析幾何；幾何思維方式；獨(dú)立思考能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）15-0151-02

線(xiàn)性代數(shù)作為一門(mén)工具學(xué)科，可以處理科學(xué)技術(shù)各個(gè)領(lǐng)域中廣泛存在的線(xiàn)性問(wèn)題，是理工科的重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課。例如：工程學(xué)中經(jīng)常遇到某一動(dòng)力系統(tǒng)在擾動(dòng)下的穩(wěn)定性問(wèn)題，而能夠處理此類(lèi)問(wèn)題的“李雅普諾夫方法”，就利用了矩陣本征值的性質(zhì)。只有熟練掌握了這門(mén)工具學(xué)科，才能較好地運(yùn)用到各個(gè)專(zhuān)業(yè)中。大多學(xué)生在中學(xué)時(shí)期并未接觸過(guò)行列式及矩陣，而《線(xiàn)性代數(shù)》一開(kāi)始就會(huì)出現(xiàn)許多代數(shù)符號(hào)和運(yùn)算規(guī)則。因此，學(xué)生入門(mén)較困難，并且學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的計(jì)算法則時(shí)會(huì)感到枯燥乏味，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣降低。本文從筆者個(gè)人教學(xué)實(shí)際，淺談將代數(shù)與幾何結(jié)合在課程教學(xué)過(guò)程中所起的作用，特別是對(duì)工程數(shù)學(xué)用書(shū)，做一具體分析。

x-3 2=-4 5，那么問(wèn)題就變成了，能否找到一組數(shù)字x、x，使得x倍的向量21和x2倍的向量-3 2合成第三個(gè)向量-4 5（又可以稱(chēng)為能否用向量21和-3 2線(xiàn)性表示-4 5這個(gè)向量。學(xué)生較容易看出前兩個(gè)向量是不共線(xiàn)的，且x、x分別取1和2即可成立。在此基礎(chǔ)上提問(wèn)：如果將常數(shù)項(xiàng)向量-4 5改成其他它的向量，例如42、 3-2、10 7等，方程有沒(méi)有解。學(xué)生們經(jīng)過(guò)思考，能夠總結(jié)出：在二維空間中兩個(gè)不共線(xiàn)的向量總可以唯一地線(xiàn)性表示出第三個(gè)任意的向量。接著，讓學(xué)生計(jì)算由兩個(gè)不共線(xiàn)的列向量組成的行列式，易得出其值不為零，進(jìn)而在教師的引導(dǎo)下明白：系數(shù)項(xiàng)組成的二階行列式不等于零，對(duì)應(yīng)著列向量不共線(xiàn)的情況，因此方程組有唯一解。然后，推廣到三維空間的情況，學(xué)生經(jīng)過(guò)思考會(huì)得出結(jié)論：三個(gè)不共面的向量總可以唯一地線(xiàn)性表示出第四個(gè)任意的向量。在課堂的最后留下一個(gè)思考問(wèn)題：猜想三個(gè)不共面的三維向量組成的三階行列式值的情況，以及其值為什么會(huì)不等于零。以上從中學(xué)幾何出發(fā)講解行列式，利用學(xué)生已學(xué)過(guò)的向量合成法則推導(dǎo)出行列式與線(xiàn)性方程組的關(guān)系，一方面可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和幾何思維能力，另一方面為以后向量空間的教學(xué)內(nèi)容做好鋪墊。特別是在后面章節(jié)介紹完線(xiàn)性相關(guān)的概念后，可以很自然地過(guò)渡到接下來(lái)的結(jié)論：如果一個(gè)n階方陣對(duì)應(yīng)的行列式的值不等于零，則組成方陣的n個(gè)列向量不共“面”（此處的面指的是n維空間的n-1維超曲面），n個(gè)列向量中的任何一個(gè)都無(wú)法用其他向量線(xiàn)性表示，因此其列向量組是一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

第三、四章分別從代數(shù)和幾何上分析線(xiàn)性方程組解的情況。首先一個(gè)很重要的概念——矩陣的秩，其定義為矩陣的最高階非零子式所含有的階數(shù)。以上是代數(shù)描述，從幾何上來(lái)說(shuō)，矩陣的行秩或列秩對(duì)應(yīng)于矩陣的行向量組或者列向量組所含獨(dú)立（線(xiàn)性無(wú)關(guān)）向量的個(gè)數(shù)，且行秩等于列秩。學(xué)生有了幾何概念后，更容易理解秩的一些重要定理，例如，若AB=C，則R（C）=minR（A），R（B）。這需要結(jié)合我們上面介紹的矩陣的兩種“幾何”乘法（“列乘以列”和“行乘以行”），由（3）式可以看出：矩陣C的各個(gè)列向量是由矩陣A的列向量線(xiàn)性表示的，因此C的秩必然小于等于A的秩；同理，由（4）式可以看出：矩陣C的各個(gè)行向量是由矩陣B的行向量線(xiàn)性表示的，因此C的秩也必然小于等于B的秩。以上如果只用代數(shù)解釋?zhuān)瑢W(xué)生們很難理解并記住，但是從幾何上解釋就較容易接受了。在熟練掌握秩的定理和性質(zhì)后，便可以介紹它的應(yīng)用。下面分析由m個(gè)s元一次方程組成的線(xiàn)性方程組（1）式，矩陣記法為Ax=c（簡(jiǎn)寫(xiě)成Ax=c）。先將增廣矩陣B=（A，c）通過(guò)行變換化為行最簡(jiǎn)型，然后比較系數(shù)矩陣A的秩和增廣矩陣B的秩：如果兩者相等，則方程有解；反之則無(wú)解。這在幾何上代表：如果秩相等，則向量c可以用A的各個(gè)列向量α，α，…α線(xiàn)性表示（即c=xα+xα+…+xα）；反之，如果秩不相等，則A的列向量α，α，…α不能線(xiàn)性表示出向量c。接著進(jìn)一步討論秩相等所對(duì)應(yīng)的具體情況：若R=R=s，則方程有唯一解（相當(dāng)于方程組有s個(gè)未知數(shù)，也有s個(gè)獨(dú)立的方程，因此方程有唯一解）；若R=R=r

由此可見(jiàn)，對(duì)于這門(mén)課程，幾何和代數(shù)是相輔相成、密不可分的。而且線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛，只看一本教材是不夠的，需要學(xué)生參考其他中英文書(shū)籍文獻(xiàn)[2-4]，多做習(xí)題。但是這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是比較困難的，尤其大一新生課程很多。因此在教學(xué)過(guò)程中，需要老師將各章節(jié)連成一個(gè)系統(tǒng)來(lái)講，并適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生思考，從一開(kāi)始就培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力。以上內(nèi)容淺談了如何將單一的代數(shù)運(yùn)算結(jié)合幾何思維方式來(lái)講解，有助于改善工科數(shù)學(xué)教學(xué)中多數(shù)學(xué)生將代數(shù)、幾何分開(kāi)學(xué)習(xí)的情況。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線(xiàn)性代數(shù)[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]Gilbert Strang，Linear Algebra and Its Applications，Thomson Brooks Cole Press，F(xiàn)ourth edition（2004）.

[3]Steven J.Leon，Linear Algebra with Applications，Prentice Hall Press，Sixth edition（2006）.

[4]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）[M].第二版.北京：高等教育出版社，1990.