關(guān)于一個“繩瞬間繃直”問題的思考

沈文炳

摘 要：通過輕繩連接的小球在豎直平面下落后輕繩瞬間繃直并做圓周運動的模型是中學(xué)物理的典型模型。通過構(gòu)建剛性金屬絲圓軌道，并利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)和幾何畫板作圖，認識到了小球能否再次從圓軌道回到最低點的條件。最后，利用該模型解決了電場中的繩瞬間繃直的問題。

關(guān)鍵詞：瞬間繃直；金屬絲圓軌道；數(shù)學(xué)求導(dǎo)；幾何畫板

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）11-0043-2

1 問題的提出

通過輕繩連接的小球在豎直平面的圓周運動是高中物理研究的一個典型模型，其中涉及到的“繩瞬間繃直”問題是難點[1，2]。如圖1所示，長度為R的輕繩一端固定在O點，另一端連接質(zhì)量為m的小球，A、B、C、D是半徑為R的豎直平面的圓周上的四點。把小球從與水平方向成θ角的位置1由靜止釋放，小球自由下落到圓周上的位置2時速度為v，并在瞬間速度發(fā)生突變，輕繩方向的速度消失，速度變?yōu)関1，然后沿圓周運動。

一般的試題中，主要是求解小球第一次到達最低點B的速度。那么，在角度θ改變時，小球能否再次沿圓周通過最低點B？

2 問題的解決

小球從位置2向右沿圓周運動時，如果到達的最高點位于D點及以下時，就會沿圓周再次回到最低點B；如果能越過D點，則會從D點上方的圓周上某點脫離圓周，然后向左上方做斜拋運動。

為了簡單，假設(shè)從位置2向右的圓周用光滑的剛性金屬絲做成，有孔小球到達位置2后開始穿入圓軌道并向右運動。小球向右運動的最高點3與CD夾角為α。若點3在CD下方則α為正，在CD上方則α為負。由動能定理，小球從位置1到位置2過程中，2mgRsinθ=mv2；從位置2到最高點3的過程中，-mgR（sinθ-sinα）=0- mv ；又v1=vcosθ。聯(lián)立上述方程可以得到sinα=2sin θ-sinθ，其中0≤θ≤0.5π。

對方程求導(dǎo)，有（sinα）=（6sin2θ-1）cosθ，令（sinα）=0，可知，當(dāng)θ=0.5π時，sinα有最大值1，小球下落后靜止在B點；當(dāng)sinθ= 時，sinα有最小值- ≈-0.27，小球到達D點時速度最大。利用幾何畫板作方程的圖像如圖2所示。

從圖2可以看出，當(dāng)0<θ<0.25π時，小球會從D點上方某點脫離圓弧，向左上方做斜拋運動，不會沿圓弧到達B點；當(dāng)0.25π<θ<0.5π時，小球會在圓弧CBD上做往復(fù)運動，會出現(xiàn)第二次沿圓弧到達B點。

3 問題的遷移

人民教育出版社課程教材研究所和物理課程教材研究開發(fā)中心編著的《教師教學(xué)用書》選修3-1第69頁第10題涉及到“繩瞬間繃直”的電場問題，可以用上述重力場的模型類比解決。

例 如圖3所示，空間存在水平方向的勻強電場E=2.0×104 N/C，在A處有一個質(zhì)量為0.3 kg的質(zhì)點，所帶電荷量q=+2.0×10-4 C，用一長L=600 cm的不可伸長的絕緣細線與固定點O連接。AO與電場線平行處于水平狀態(tài)，取g=10 m/s2?，F(xiàn)讓該質(zhì)點在A處靜止釋放，求：

（1）質(zhì)點第一次到達O點正下方時增加的機械能ΔE；

（2）質(zhì)點第一次到達O點正下方時的速度大小v1。

如圖4所示，A、B、C、D、G、H、K為半徑為L的圓周上的點，HB和GK垂直，GK和AD平行，OC為豎直方向。由于小球受的向左的電場力qE=4 N，重力mg=3 N，合力F=5 N，方向指向AD方向，AO和HB間夾角θ=53 °。小球第一次到達O點正下方的位置為P點。

如果要判斷小球能否沿圓周通過O點正下方的C點，就可以用上述的結(jié)論來類比。合力F類比于圖1中的mg，GK類比于圖1中的BA，HB類比于圖1中的DC。由于θ=53 °，滿足0.25π≤θ≤0.5π，小球到達D點后沿圓周向左運動到H點下方某處速度為零，然后返回通過C點。利用功能關(guān)系和動能定理可以求解小球再次通過O點正下方時的速度大小。

參考文獻：

[1]賈金虎. 高考物理試題的審題方法和技巧[J]. 物理教學(xué)探討，2009，27（05）：27—31.

[2]王志民. 物體將繩瞬間繃直現(xiàn)象的分析與求解[J]. 中學(xué)物理教學(xué)參考，2000，29（11）：27—29.

（欄目編輯 羅琬華）