例談幾何畫板在一次函數(shù)應(yīng)用題的教學(xué)嘗試

張惠瑜

摘 要：讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并利用模型解決問題，可以使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解，同時(shí)在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.幾何畫板具有準(zhǔn)確性、快速性、動態(tài)性等優(yōu)點(diǎn)，運(yùn)用它來探究一次函數(shù)模型應(yīng)用題，可以改變以往的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生以更加積極主動的姿態(tài)參與到問題的研究中，從而讓學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；模型；應(yīng)用題；幾何畫板

引言

一次函數(shù)是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的第一種函數(shù)，在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以體會函數(shù)的特點(diǎn)及函數(shù)的思維方式、研究方法和應(yīng)用模式.學(xué)好一次函數(shù)可為學(xué)習(xí)其他函數(shù)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).一次函數(shù)模型的應(yīng)用問題是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.幾何畫板是一個(gè)優(yōu)秀的教學(xué)軟件，它提供一個(gè)通用的數(shù)學(xué)和物理的教學(xué)環(huán)境，具有豐富而方便的創(chuàng)造功能.作為一個(gè)有力的幾何作圖工具，它可以把點(diǎn)和各類函數(shù)的圖象在坐標(biāo)系中準(zhǔn)確快速地描繪出來[1 ].幾何畫板與一次函數(shù)模型的應(yīng)用題整合，可為師生的教學(xué)構(gòu)建一個(gè)做數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)平臺，能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方式的直觀性、動態(tài)性等不足，有利于重點(diǎn)難點(diǎn)的突破，提高學(xué)習(xí)的效率，優(yōu)化課堂的教學(xué).

筆者參加了《數(shù)學(xué)建模視角下的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究》課題，展開了相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和實(shí)踐.下面談?wù)剮缀萎嫲暹\(yùn)用于一次函數(shù)模型應(yīng)用題的實(shí)踐：

1 比較大小問題

一次函數(shù)方案選擇問題是一次函數(shù)應(yīng)用題中一個(gè)重要題型，其中往往需要比較兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系。

1.1 問題實(shí)踐

例1 一種節(jié)能燈的功率為10瓦（即0.01千瓦）售價(jià)為60元，一種白熾燈功率為60瓦（即0.06千瓦）售價(jià)為3元.兩種燈的照明效果一樣，使用壽命也相同（3000小時(shí)以上）.如果電費(fèi)價(jià)格為0.5元/千瓦·時(shí)，消費(fèi)者選用哪種燈省錢？

分析可得，用節(jié)能燈的總費(fèi)用為：y1=0.5×0.01x+60，使用白熾燈的總費(fèi)用為：y2=0.5×0.06x+3，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板生成的y1，y2圖象，用圖象法比較大小，在x軸的正半軸取點(diǎn)D，作過點(diǎn)D垂直于x軸的直線與y1，y2的圖象分別交于B、C兩點(diǎn)，隨著D點(diǎn)在x軸上運(yùn)動，可以追蹤B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況，如圖1.

由圖1學(xué)生可以直觀地感受隨著x的變化y1，y2的大小關(guān)系的變化情況.從而體會用圖象法比較函數(shù)大小的直觀性.

1.2 體會

借助圖象比較兩函數(shù)的大小是比較函數(shù)大小常見的方法.以往動態(tài)問題的教授要在黑板上不斷比劃或者是畫出多圖，比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力.而現(xiàn)在讓學(xué)生借助幾何畫板制圖，能讓原本靜止的直線動起來，交點(diǎn)也隨之動起來，進(jìn)而生成兩動點(diǎn)的坐標(biāo)，圖象的信息準(zhǔn)確而豐富，讓學(xué)生進(jìn)行分析和討論，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.學(xué)生在對比動態(tài)中兩交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)時(shí)，能夠更加清晰地了解函數(shù)的大小隨自變量的變化情況.

2 擬合函數(shù)問題

函數(shù)與圖形的擬合，是指通過觀察圖形，讀取問題中的數(shù)據(jù)，合理地選擇相關(guān)的函數(shù)，并利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，從而解決問題.

2.1 問題實(shí)踐

例2 奧運(yùn)會每4年舉辦一次，奧運(yùn)會的游泳成績不斷地被刷新.如男子400m自由泳項(xiàng)目，1996年奧運(yùn)冠軍的成績比1960年的約提高了30s，下面是該項(xiàng)目冠軍的一些數(shù)據(jù)：見表1.

根據(jù)上面資料，能否估計(jì)2012年倫敦奧運(yùn)的冠軍成績？

可以利用幾何畫板把年份和對應(yīng)的冠軍的成績作為坐標(biāo)畫在平面直角坐標(biāo)系中，為了更好地觀察點(diǎn)，可以把1980年認(rèn)為橫坐標(biāo)為0，從而有（0，231.31），（4，231.23），……，如下圖2，可直觀感受到這一串點(diǎn)基本在同一直線上，且從左到右呈下降趨勢，從而確定選用一次函數(shù)來擬合，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板畫直線的功能，選取其中兩點(diǎn)作一條直線，進(jìn)行觀察.經(jīng)多次選取觀察可得，當(dāng)直線過第2點(diǎn)和第8點(diǎn)時(shí)，則這八個(gè)點(diǎn)有的這直線上，有的在直線兩側(cè)且比較接近直線，如圖2.

用第2點(diǎn)（4，231.23）及第8點(diǎn)（28，221.86）的坐標(biāo)，求得冠軍成績與年份的近似符合的函數(shù)關(guān)系為y=-0.3904x+ 232.792.

運(yùn)用所求得的函數(shù)可得：2012年時(shí)的x值為32，得y=-0.3904×32+232.792=220.2992（s）.因此，可以預(yù)測2012年奧運(yùn)會男子400m自由泳的冠軍的成績約是220.2992s（事實(shí)上，2012年倫敦奧運(yùn)會我國選手孫楊以3分40秒14的成績，即220.23s取得了冠軍，與預(yù)測的值相僅0.0008s！此次預(yù)測非常準(zhǔn)確！）2016年時(shí)的x值為36，得y=-0.3904×36 +232.792=219.7376s，預(yù)測2016年的冠軍成績?yōu)?19.7376s.從而體會通過擬合函數(shù)可以建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究和預(yù)測的實(shí)際意義.

2.2 體會

生活中利用函數(shù)進(jìn)行擬合分析是很有用的，但一些實(shí)際應(yīng)用問題，數(shù)據(jù)可能比較大，比較不規(guī)整，若手工作圖，既費(fèi)時(shí)費(fèi)力且誤差會比較大，不利于分析，幾何畫板能夠準(zhǔn)確快速生成坐標(biāo)和函數(shù)，能克服這些問題.其次，對于給定的離散的點(diǎn)，需要嘗試才能確定函數(shù)的形式，正如上述的操作，需要多次作出圖象來判定其接近程度，使用幾何畫板能夠快速地進(jìn)行擬合，建立模型，為后續(xù)運(yùn)用函數(shù)解決問題節(jié)約了時(shí)間.

3 分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù).分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種情況以上，解答時(shí)需分段討論.在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段的實(shí)際問題，例如分段計(jì)費(fèi)、分段路程、分段面積等，因此，分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型.

3.1 問題呈現(xiàn)

例3 依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，國家征收個(gè)人工資、薪金所得稅是分段計(jì)算的：總收入不超過2 000元的，免征個(gè)人工資、薪金所得稅；超過2 000元部分需征稅，設(shè)全月納稅所得額（所得額指工資、薪金中應(yīng)納稅的部分）為x，x=全月總收入-2 000元，稅率如表2所示.

（1）若應(yīng)納稅額為f（x），試用分段函數(shù)表示1～3級納稅額f（x）的計(jì)算公式；

（2）小張2008年10月份工資總收入為4 200元，試計(jì)算小張10月份應(yīng)納個(gè)人所得稅多少元？

（3）已知小吳2008年11月份的應(yīng)納個(gè)人所得稅額為475元，試計(jì)算小吳當(dāng)月的工資總收入.

以下利用幾何畫板進(jìn)行實(shí)踐活動.

經(jīng)過分析得函數(shù)解析式化簡得：

借助幾何畫板生成函數(shù)圖象（由于不能重復(fù)命名，第二、三段函數(shù)暫時(shí)分別以g（x）、h（x）表示），將圖象生成為如圖3所示，第（2）問：當(dāng)小張的工資總收入為4200元時(shí)，則此時(shí)的全月應(yīng)納稅所得額x=2200，代入第三段函數(shù)解析式可得應(yīng)納稅額為205元.也可利用幾何畫板作直線x=2200與分段函數(shù)的交點(diǎn)，所得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為應(yīng)納個(gè)人所得稅額.第（3）問：以往的做法是令f（x）=475，分別代入三段函數(shù)的解析式，求得對于的x的值，再檢驗(yàn)所得的x的值是否在對于的自變量的取值范圍之內(nèi).這樣做需要進(jìn)行多次的計(jì)算.而學(xué)生利用畫板作出直線y=475與分段函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則易得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4000，如圖3，即為全月應(yīng)納稅所得額4000元，則當(dāng)月的工資總收入為6000元.

3.2 體會

利用幾何畫板模擬分段函數(shù)圖像可讓我們直觀地感受到在不同的自變量的取值范圍下，函數(shù)的不同的變化趨勢，能夠方便得出每一個(gè)分段的最值，利用函數(shù)圖象可解決已知自變量的值求函數(shù)值的問題，或者已知函數(shù)值求自變量的值的問題，在分段函數(shù)中第二個(gè)問題往往需要討論，利用圖形法提高解題的效率，從而進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合方法的妙用。

4 體會與感悟

讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，并利用模型解決問題，可以使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解，同時(shí)在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展.幾何畫板具有準(zhǔn)確性、快速性、動態(tài)性等優(yōu)點(diǎn)，運(yùn)用它來探究一次函數(shù)模型應(yīng)用題，可以改變以往的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生以更加積極主動的姿態(tài)參與到問題的研究中，通過觀察、猜想、交流、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理、自主探究，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的形成，提高了學(xué)生解決問題的能力，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體驗(yàn)了科技的便捷性.正如新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去.”“信息技術(shù)與課程整合”是我國面向21世紀(jì)教育教學(xué)改革的新視點(diǎn).教師要積極主動地更新觀念，在學(xué)科教學(xué)中多嘗試各種教育技術(shù)工具，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)境，以提高教學(xué)的效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]李發(fā)斌. 利用“幾何畫板”動態(tài)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)[J]. 軟件導(dǎo)刊，2005（2）：32-33.