一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系分析

鄧清松

【摘要】根據(jù)當(dāng)前華師大初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的安排，七年級學(xué)生需要了解與掌握一元一次方程與解法。在七年級下半學(xué)期，學(xué)生將對一元一次不等式相關(guān)知識的延伸學(xué)習(xí)，八年級學(xué)生要在學(xué)習(xí)一元一次函數(shù)知識的基礎(chǔ)上加強對函數(shù)圖像的了解與掌握。初中生對一次函數(shù)與方程不等式的學(xué)習(xí)重點放在了單獨知識點學(xué)習(xí)中，對單獨的知識點學(xué)習(xí)較為透徹，但對于一次函數(shù)與一次方程、一次不等式三者之間的關(guān)聯(lián)還知之甚少，這方面急需老師的引導(dǎo)。因此，教師應(yīng)著重教導(dǎo)學(xué)生這三方面知識的連貫性，通過學(xué)生對這三者知識點的連貫理解，把握三者的相互聯(lián)系，將使他們在數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)過程中更為輕松快樂。

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù) 方程 不等式

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0071-01

在數(shù)學(xué)模型中，函數(shù)有著刻畫世界變化規(guī)律的功能[1]。初中階段是學(xué)生對函數(shù)認(rèn)知了解的初級階段，初中階段對函數(shù)的學(xué)習(xí)為以后能深入學(xué)習(xí)函數(shù)知識奠定了堅實的基礎(chǔ)。開始進(jìn)入學(xué)習(xí)函數(shù)的階段，學(xué)生通常被其深奧而感到學(xué)習(xí)上的吃力，理解上也必然存在一定的困難。對此，本文根據(jù)華師大數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求，對一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系進(jìn)行了進(jìn)一步的探討。本文首先站在運動變化的角度，串聯(lián)以往不等式學(xué)習(xí)中的知識點，以函數(shù)的觀點來加強對以往學(xué)習(xí)過的方程和不等式相關(guān)內(nèi)容的了解，從而建立融會貫通、相互發(fā)展的知識體系。通過在教學(xué)過程融入知識之間的聯(lián)系，統(tǒng)領(lǐng)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自主分析，最終獲得良好的學(xué)習(xí)成效。

一、一次函數(shù)和一次方程之間的關(guān)系

初中學(xué)生對一元一次方程的解答ax+b=0 （a、b為常數(shù)，b≠0）僅停在了移項這一方法，通過把未知數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為1，進(jìn)而解出方程的答案。學(xué)生在解答數(shù)學(xué)函數(shù)題時，解答方法已經(jīng)是非常熟練，但是為了幫助學(xué)生進(jìn)一步探究一次函數(shù)和方程的關(guān)系，以下為此教學(xué)環(huán)節(jié)。

①目標(biāo)導(dǎo)學(xué)：（1）會求直線y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）當(dāng)函數(shù)值為0時的自變量的值。（2）使用兩種方法，即直接解方程和函數(shù)圖像法來解方程2x+5=17。

②主動學(xué)習(xí)解答課本上面出示的兩個問題：（1）解方程2x+20=0。 （2）自變量x為何值時函數(shù)y=2x+20的值為0？

③分組研究以上兩個問題的關(guān)系：將學(xué)生分為每組四人的小組，進(jìn)行互相討論。

④匯報展示：每組中由小組代表講出意見，最后老師引導(dǎo)學(xué)生就正確解題意見達(dá)成共識：在問題（1）中解方程2x+20=0，得x=-10。

解問題（2）就是要考慮函數(shù)y=2x+20的值為0的時候，所對應(yīng)的自變量x為何值。在這可以通過假設(shè)解方程2x+20=0，來得出x=-10。這兩個問題實質(zhì)是同一個問題。畫出函數(shù)y=2x+20的圖像之后，讓學(xué)生再次回到圖像上進(jìn)行觀察，直線y=2x+20與X軸線的交點坐標(biāo)為（-10，0）這就說明方程2x+20=0的解為x=-10。讓學(xué)生思考：以上兩個問題關(guān)系當(dāng)中，能進(jìn)一步得到解方程ax+b=0（a、b為常數(shù)，a≠0）與求自變量x為何值的時候，一次函數(shù)y=ax+b的值為0，有什么關(guān)系？

⑤歸納加強：在解答一次方程有效轉(zhuǎn)化某一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)自變量的值。

⑥鞏固增強：采取兩種方法來解答方程2z+5=17，例如：直接解方程法和函數(shù)圖像法，把兩組的特點進(jìn)行對比。從而補充總結(jié)：直接對方程進(jìn)行解答比函數(shù)要稍微簡單一點，但函數(shù)圖像能顯示出一次函數(shù)和方程之間的聯(lián)系。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中站在不同的位置去看待任何函數(shù)問題，使得新舊知識聯(lián)合比較，突出函數(shù)在生活中占據(jù)的重要位置。

二、一次函數(shù)和一次不等式之間的關(guān)系

對于一次函數(shù)和不等式關(guān)系的認(rèn)識，也對其教導(dǎo)實行六步教學(xué)法。通過學(xué)生根據(jù)目標(biāo)主動學(xué)習(xí)找出答案，進(jìn)而進(jìn)行相互交流。給出以下題目：用畫函數(shù)圖像法解答不等式6x+3<4x+8，兩種方法，解法①將原不等式化為3x-6<0，畫出直線y=3x-6的圖像。在圖像上便可以看出當(dāng)x<2時，直線上面的點在X軸下方。因此不等式3x-6<0的解集為x<2。解法②分別畫出直線y=5x+4和y=2x+10的圖像，能看出它們的交點橫坐標(biāo)為2。當(dāng)x<2的時候，在同一個X，直線y=5x+4上的點在y=2x+10相應(yīng)點下方，因此不等式5x+4<2x+10的解集為x<2。很多學(xué)生在解題上會存在這樣的疑問：用一次函數(shù)圖像去解答方程和不等式有點多此一舉，甚至無法接受。在這樣情況下可適當(dāng)進(jìn)行知識點的點撥，最后與學(xué)生的理解達(dá)成共識。在函數(shù)角度的理解層面，就是尋求一次函數(shù)y=kx+b的值大于0的自變量X的取值范圍。最后，站在函數(shù)角度上，能確定直線y=kx+b在X軸上下方全部點的橫坐標(biāo)構(gòu)成集合。對于認(rèn)知不怎么深刻的初中學(xué)生，通過互相討論將更加豐富學(xué)生的知識。

三、一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系

學(xué)生通過對一次函數(shù)和方程、不等式的學(xué)習(xí)之后，他們對這兩個知識內(nèi)容有了基本的了解。在課上先讓學(xué)生自行思考后，再小組討論進(jìn)行解答。通過設(shè)置問題“二元一次方程：3x+5y=8如何轉(zhuǎn)化成y的方程式？”讓學(xué)生清楚理解到點和二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系。對下一步研究二元一次方程組的解和直線焦點坐標(biāo)有了很實用的基礎(chǔ)作用。我們從函數(shù)的角度上看待問題，能清楚看見一次函數(shù)、方程和不等式的直接聯(lián)系。站在直觀角度看待如何使用圖形來表示方程的解和不等式的解，這樣才能將學(xué)生已學(xué)過的知識進(jìn)行深刻溫習(xí)，鞏固效果。

四、結(jié)語

按照華師大初中數(shù)學(xué)教材的教學(xué)大綱要求，教師需要對初中學(xué)生的一次函數(shù)與不等式的學(xué)習(xí)進(jìn)行延伸，特別是對于一次函數(shù)和一次方程、一次不等式、二元一次方程的互相聯(lián)系的知識教導(dǎo)，不僅激發(fā)學(xué)生自主分析數(shù)學(xué)問題的能力，而且讓學(xué)生在知識聯(lián)系中實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的溫故知新，鞏固學(xué)習(xí)效果，達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]王蘭蘭.一次函數(shù)與方程不等式的聯(lián)系[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014，11（10）：08