例談分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用

【摘要】分類討論思想又被稱為邏輯劃分，指的是將事物進行分類，之后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法。在函數(shù)單調(diào)性問題中采用分類討論思想，有助于學(xué)生更好地對問題進行理解和解答，幫助學(xué)生在解題時做到舉一反三，進一步提高學(xué)生的解題技巧。本文在闡述分類討論思想涵義的基礎(chǔ)上，明確分類討論思想解答問題的步驟，并深入探討了分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用，旨在為分類討論思想在教學(xué)中的應(yīng)用提供理論上的指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】分類討論思想 函數(shù)單調(diào)性 應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）23-0071-02

一、分類討論思想涵義概述

在我們遇到難解的問題時，首先要看的就是題目中所具備的條件是否能推論出一個確定答案，一旦出現(xiàn)無法求解的問題時，就要采用分類討論的思想來將原問題分解成相對獨立的“小問題”來逐步回答，通過解答這些小問題最終推證出原問題的答案，整個推論的過程就是分類討論。分類討論思想是一種至關(guān)重要的數(shù)學(xué)解題思想，秦九韶、劉微、康托、拉格朗日等許多著名的數(shù)學(xué)家都曾將分類討論思想作為解決數(shù)學(xué)難題的重要途徑，這些數(shù)學(xué)家的作答直接促進了分類討論思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

綜上所述，分類討論思想的實質(zhì)就是將整體問題劃分為部分問題，增加問題的定解條件，將問題化整為零、各個擊破，然后再化積為整的解題策略。每個數(shù)學(xué)結(jié)論都是由其所成立的條件所決定的，按照問題的性質(zhì)解題者需使用相應(yīng)的解題策略。在面對有些問題結(jié)論的不確定性時，解題者要打破統(tǒng)一解題形式的枷鎖，以分類轉(zhuǎn)化等手段對各個問題一一擊破。

二、分類討論思想解答問題的步驟

1.確定分類討論思想的對象

確定分類討論思想的對象是分類討論面臨的首要問題，將引起分類討論的原因找出對于分類討論的論述來說是一個非常良好的開頭。張紅軍曾在其《數(shù)學(xué)基本思想方法的探討--分類討論思想》一文中提出：分類討論主要有概念分類型、運算需要型、參數(shù)變化型、圖形變動型等五種討論對象。在函數(shù)單調(diào)性問題上，函數(shù)分類討論大致分為分段函數(shù)和函數(shù)性質(zhì)問題兩大類，前者是將問題分類討論后才能進行解答，后者是將含有參數(shù)的問題進行解答。數(shù)學(xué)中常見的分類討論思想對象有：按照函數(shù)性質(zhì)中的奇偶性對區(qū)間上的單調(diào)性進行解答；函數(shù)參數(shù)k的情況與單調(diào)性問題解答；二次函數(shù)的對稱軸以及參數(shù)討論；對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的分類；數(shù)學(xué)問題中參數(shù)的不確定性與導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性等等。

2.按照原則對討論對象進行合理分類

在確定分類討論思想的對象之后，我們需要按照原則對討論對象進行合理分類。分類討論思想的原則有：按統(tǒng)一標準對每一級別進行分類、逐級進行分類、不得進行越級分類。

3.總結(jié)分類討論

分類討論思想實際上就是要求解題者要以“合—分—合”的結(jié)構(gòu)對討論對象進行解答。在分類討論之前，討論的對象具有一定的完整性，解題者按照一定的標準對討論對象進行分類，把整個問題化整為零、化難為易來解答。按照分類討論逐步解答各項小問題的結(jié)論后，解題者還應(yīng)對所有的結(jié)論進行總結(jié)歸納。一般來講，分類討論思想的總結(jié)有以下三種類型：首先是并列總結(jié)法；其次是并集歸納法；最后是交集歸納法。

三、分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用

分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性等問題中有著廣泛的運用，在高考試卷上也占有很大的比例，但分類討論卻是很多考生的弱點。我們通過以下幾個例子來探討下分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用。

每次分類的對象不遺漏、不重復(fù)、分層次、不越級討論當(dāng)問題中出現(xiàn)多個不確定因素時，要以起主導(dǎo)作用的因素進行劃分，做到不重不漏，然后對劃分的每一類分別求解，再整合后得到一個完整的答案.數(shù)形結(jié)合是簡化分類討論的重要方法。

在實際教學(xué)中，很多學(xué)生對題干中的隱含條件及可能性分析存在偏差，對參數(shù)a的分類難以做到不重不漏。因此在解決函數(shù)單調(diào)性問題時，一旦需要分類討論，便感到困難。然而分類討論作為一種重要數(shù)學(xué)思想，它的培養(yǎng)不是一朝一夕就能完成的，需要我們用較長時間持續(xù)滲透，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟。

教學(xué)啟示：分類思想作為一種基本的邏輯方法適用于自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究之中，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。學(xué)生在運用分類討論思想解答函數(shù)單調(diào)性問題的過程中，可以將思考的周密性與條理性發(fā)揮到極致，有助于提高學(xué)生合理解題的能力。分類討論思想與其他解題方法相比，最大的不同是它更依賴于經(jīng)驗和解題的習(xí)慣。所以教師在日常的授課中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，在解題教學(xué)中化隱為顯、循序漸進，引導(dǎo)學(xué)生用分類討論思想攻破問題，并在解題結(jié)束后，隨機提問學(xué)生分類標準、分類優(yōu)勢等等問題，以提高學(xué)生的思維縝密性。

四、結(jié)語

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中常用的解題思想方法之一，對培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力有很大的幫助，并且有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴謹性、填密性和靈活性。在日常教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生運用分類討論思想解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決問題的規(guī)律與共性，以達到迅速、準確解題的效果。

參考文獻：

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作者簡介：

崔文坤（1987-），男，漢族，山東泰安人，福州第四中學(xué)數(shù)學(xué)老師。