分類討論的數(shù)學(xué)思想遵循的教學(xué)原則

黎建英

【摘 要】分類討論的數(shù)學(xué)思想是研究初中數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中。 初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)必須遵循一定的教學(xué)原則，才能使大量繁雜的數(shù)學(xué)材料條理化、系統(tǒng)化，有效提高學(xué)生的綜合解題能力，才能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】分類討論思想;教學(xué)原則;循序漸進(jìn)原則;同一性原則;學(xué)生參與原則

分類討論作為一種數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生的思維發(fā)展中有著不可估量的作用。我在初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)中，除了運用通常的教學(xué)原則外，我總結(jié)了以下的三點的教學(xué)原則。

一、循序漸進(jìn)原則

分類討論的數(shù)學(xué)思想的形成難于知識的理解與掌握。分類討論的數(shù)學(xué)思想和方法一般要經(jīng)歷三個階段：

（1）模仿形成階段，學(xué)生往往只注意了數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識的觀點，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法和技巧，即使有所覺察，也是處于“朦朦朧朧”、“似有所悟”的境界。就以學(xué)習(xí)絕對值為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對值定義初，即使把絕對值定義背到滾瓜爛熟。學(xué)生腦海中依然會忽略絕對值的其它可能性。所以教學(xué)時必須反復(fù)強調(diào)絕對值定義引出的三種情況。

例1：填空題|a|=3 ，則a=（ ?）。班上則有三分之二的學(xué)生填 a=3。因為學(xué)生對絕對值定義理解還是朦朧的，學(xué)生還是忽略了另一種可能性a =-3。正確的答案應(yīng)該是a=（+3）。

（2）初步應(yīng)用階段，即學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識開始已經(jīng)明朗，開始理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也會分類分析概括總結(jié)出來。

例2：當(dāng)a取任意實數(shù)時，求|a-3|的值。到了這階段學(xué)生會水到渠成的對絕對值這類型題進(jìn)行分類討論：

當(dāng)a≥3時，因為a-3≥0，所以|a-3|=a-3;

當(dāng)a≤3時，因為a-3≤0，所以|a-3|=3-a。

（3）自覺應(yīng)用階段，當(dāng)學(xué)生對絕對值學(xué)習(xí)到一定程度的時候，學(xué)生做到能根據(jù)數(shù)學(xué)問題，恰當(dāng)運用分類討論思想方法進(jìn)行探索，以求得問題的解決。

例3：若abc≠0，則的值不可能為（ ）

A.-1 ? ? ? ? ?B.1 ? ? ? ? C.2 ? ? ? ? D.3

分析：

這里沒有說明a、b、c是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，所以該式有多個取值，但我們可以很容易得到，，。

解析：

①若a、b、c都是正數(shù)，則該式的值為3;

②若a、b、c都是負(fù)數(shù)，則該式的值為-3;

③若a、b、c中有一正兩負(fù)，則該式的值為-1;

④若a、b、c中有一負(fù)兩正，則該式的值為1.

因此，該題答案為C.

學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程，決定了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則不可能一步到位，也有一個相應(yīng)的循序漸進(jìn)、由淺入深的過程，因此要按照”反復(fù)強調(diào)、初步形成、應(yīng)用發(fā)展”的順序來完成數(shù)學(xué)分類討論思想方法的教學(xué)。

二、同一性原則

同一性原則簡言之即“不遺漏”、“不重復(fù)”，要分清主次。分類討論的數(shù)學(xué)思想方法還必須遵循同一性的原則，才能使分類科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，從而能正確、合理地解題。

例4：等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，則其它兩個內(nèi)角為（D）

A.50°，80°B.65°，65°C.50°，65°D.50°，80°或65°，65°

分析：題目中等腰三角形的一個內(nèi)角50°是銳角，所以本題要分類討論50°可以指頂角，也可以指底角。再結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊綜合分析，也就有兩種可能性。故選擇D。

例5：點A，B，C 在同一條直線上，AB=3cm，BC=1 cm.求AC的長.

分析：由于線段可以由兩個大寫字母表示，并且字母沒有先后順便，學(xué)生習(xí)慣上將線段BC直接拼在線段AB的后側(cè)，而往往忽略了拼在其左側(cè)的情況，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生明確線段的表示方法基礎(chǔ)上做出圖形，最后綜合得解。

解析：

（1）如圖①，因AB=3㎝ ，BC=1㎝，所以，AC=AB+BC=3+1=4（cm）.

（2）如圖②，因AB=3㎝，BC=1㎝，所以AC=AB-BC=3-1=2（cm）.

對于由圖形位置變化引起的分類討論問題，教師可以用“數(shù)形結(jié)合法”加以解釋。對各種情況用圖形進(jìn)行輔助說明，這樣可以使得較為抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化、直觀化，學(xué)生也比較容易理解和接受，同時，這樣的教學(xué)方法也能夠提高學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性。

對問題中的某些條件進(jìn)行分類，要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。需理清分類的界限，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)，不遺漏。

三、學(xué)生參與原則

由于分類討論的數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更抽象，不可能照搬、復(fù)制。分類討論數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，重在思辨操作，離開學(xué)生參與教學(xué)活動過程，數(shù)學(xué)分類討論思想方法教學(xué)就也就無從談起。只有激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，興趣是最好的老師、是一種無形的動力。在興趣的推動下組織學(xué)生積極參與分類討論教學(xué)，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下逐步領(lǐng)悟、形成、掌握分類討論數(shù)學(xué)思想方法，才能用自己的思維方式構(gòu)建出數(shù)學(xué)分類討論思想方法體系。

例6：解關(guān)于x的不等式a（x+3）>x+a

分析：

本題考查的是不等式的性質(zhì)在求解不等式的解集時對未知數(shù)的系數(shù)的符號進(jìn)行判斷或分類這一知識技能。

解析：

我先讓學(xué)生觀察該不等式，再要求學(xué)生動筆計算，這時學(xué)生就急于通過移項、合并同類項將其化簡，得到：（a-1）x>-2a ，進(jìn)一步系數(shù)化為1，得到：

.

我在課堂上巡視了一周，這時學(xué)生就美滋滋的認(rèn)為這個結(jié)果是正確的。但是，這樣的答案是不完全正確的。我再次啟發(fā)學(xué)生，在不等式的左右兩邊同時除以式子a-1時，應(yīng)該考慮a-1是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0。特別強調(diào)當(dāng)a-1為負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變。所以該題的答案是：

①當(dāng)a=1時，x為任意實數(shù);

②當(dāng)a <1時，x<-;

③當(dāng)a>1時，x>-。

學(xué)生如果不參與第一環(huán)節(jié)的計算過程，就不會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a=1時，當(dāng)a<1時;當(dāng)a>1時的三種情況，而且這三種情況必須要都要考慮的。

學(xué)生在求解該類不等式的解集時，很容易忽略未知數(shù)系數(shù)為負(fù)數(shù)這種特殊的情況而出現(xiàn)分析不全面的情況。因此，教師只有讓學(xué)生動口、動手、動腦參與數(shù)學(xué)課堂，才能提高學(xué)生綜合分析能力。

這是我在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，探討分類討論思想總結(jié)出以上三點教學(xué)原則。從以上的例題中不難看出，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)練習(xí)的運用中占有很重要的地位。所以教師在教學(xué)中要對分類討論的數(shù)學(xué)思想，有意識地對學(xué)生加以滲透，對于蘊含在數(shù)學(xué)知識中的分類討論思想適時予以揭示，反復(fù)強化以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。只有這樣才能有效提高學(xué)生自身的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂巍.《分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中運用的一些思考》.科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2011年04期

[2]饒盛祥.廣東教育-高中，《備考中不可忽略的分類討論思想》，2011年第11期