數(shù)學(xué)建模的思想和方法的應(yīng)用

郭勝紅

摘 要：本文中，筆者首先結(jié)合我國高數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀，分析了建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，并且闡述了數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用到教學(xué)中應(yīng)遵循的相關(guān)原則，并結(jié)合具體問題探究建模思想的應(yīng)用價值，以其能夠產(chǎn)生一定的實際意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模思想；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)原則；重要性

前言：眾所周知，高等數(shù)學(xué)是高校理工科學(xué)生重要的必修課之一，而且高數(shù)這一學(xué)科往往抽象性強、理論程度深、數(shù)學(xué)規(guī)律和定律較多，在教學(xué)時比較枯燥乏味，致使學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高。并且很多學(xué)生認為，高等數(shù)學(xué)是一門“無用”的課程，生活中難以讓高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生一定的實用價值。作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)及解題過程中的重要思想和方法，數(shù)學(xué)建模思想對于高效的解決各類復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題至關(guān)重要。常見的微積分、導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)概念往往都比較抽象，運用建模思想則可以讓其具象化。在解決實際數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用過程中，建模思想的作用更加突出。

一、建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

建模，顧名思義就是建立模型，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，建模的過程往往是對一個具體的對象，為了達到某種目的，遵照其內(nèi)外規(guī)律，對復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)做出進一步的簡化，提出假設(shè)，并利用合理的數(shù)學(xué)工具或者公式，通過正確的運算，來構(gòu)建成為一種數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)。簡單的說，建模就是通過數(shù)學(xué)公式或者圖形等數(shù)學(xué)語言來對數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)象進行的描述。隨著高校高數(shù)教育教學(xué)的發(fā)展，高數(shù)建模思想也在不斷發(fā)展。但是從實際情況來看，我國高數(shù)教學(xué)創(chuàng)新理念不高，教學(xué)方式單一，枯燥無聊的數(shù)學(xué)課堂讓學(xué)生們提不起興趣，最終影響了學(xué)生思維的靈活性和個性化成長。因此，新時期的高數(shù)教學(xué)中，需要不斷增加和融入了數(shù)學(xué)建模思想，對于學(xué)生思維活性和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的發(fā)揮作用明顯。學(xué)生在數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)下，積極進行數(shù)學(xué)創(chuàng)新，并主動發(fā)現(xiàn)、分析和處理相應(yīng)的實際問題，大大提高了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效率和質(zhì)量水平。建模思想對于高等數(shù)學(xué)整體教學(xué)水平的提升具有深遠的意義。

二、數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用到教學(xué)中應(yīng)遵循的原則

1.實例要簡明易懂

在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，雖然模型建立至關(guān)重要，但是對于模型實例來講，應(yīng)當(dāng)是簡明易懂的。由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有較強的理論性、規(guī)律性和邏輯性，甚至有些定理比較晦澀，因此教師應(yīng)當(dāng)積極借助相關(guān)的生活實例來展開教學(xué)，簡明的生活實例能夠幫助學(xué)生深入淺出的進行學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情，循序漸進的引導(dǎo)學(xué)生從實際問題分析入手，探究其中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與奧妙，并深刻理解和掌握知識。尤其是對于微積分和該類方面，教師要深化學(xué)生的學(xué)習(xí)理念，提高學(xué)生的建模意識，引導(dǎo)學(xué)生認識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，并展開深入的學(xué)習(xí)。

2.堅持因材施教

任何學(xué)科的教學(xué)都應(yīng)當(dāng)注重因材施教，針對學(xué)生特點進行個性化的、有針對性的教育，而且由于各個學(xué)校教學(xué)都有其自身特征，對于理工科專業(yè)和文史專業(yè)而言，高數(shù)教學(xué)的模式和方法應(yīng)當(dāng)是有所差異的。為了提高數(shù)學(xué)建模思想在教學(xué)中的應(yīng)用，高數(shù)教學(xué)應(yīng)當(dāng)做到因材施教，提高教學(xué)的實效性，并在教學(xué)過程中積極開展科研工作，不斷發(fā)現(xiàn)、分析、處理和解決問題，提高教學(xué)質(zhì)量。

3.教師應(yīng)編寫可以融入的教學(xué)單元

在互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展的今天，教師可以借助互聯(lián)網(wǎng)資源或技術(shù)，積極分析高數(shù)課程教學(xué)實際問題，并建立和挖掘數(shù)學(xué)建模的素材，對高數(shù)教學(xué)從問題陳述、建模、求解、驗證等過程進行研究與思考，并將其與現(xiàn)有的教學(xué)單元有效融入，幫助教師進行教學(xué)與科研，進而提升單元教學(xué)水平，促進教師教學(xué)風(fēng)格的塑造與教學(xué)水準的提高。

4.對新生要進行重點教學(xué)

對于新入學(xué)的學(xué)生，即大一秋學(xué)期的學(xué)生應(yīng)當(dāng)積極開展數(shù)學(xué)建模思想意識強化，幫助學(xué)生建立并形成數(shù)學(xué)建模的正確思維模式，由易到難的引導(dǎo)學(xué)生利用建模實現(xiàn)對實際問題進行分析與探究，引導(dǎo)學(xué)生理解高數(shù)對生活的重要作用，并結(jié)合一定的理念強化和理論知識灌輸，讓學(xué)生認識到建模思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

三、建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.在概念教學(xué)中運用建模思想

高數(shù)中的概念較多，這無形中增加了學(xué)生對高數(shù)學(xué)習(xí)的難度。加上概念本身所具有的抽象性，讓學(xué)生理解起來較為困難，其記憶的難度也同樣予以增加。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)高數(shù)的概念的時候往往會出現(xiàn)畏難情緒，容易讓其本身的學(xué)習(xí)積極性受到打擊。教師在進行概念教學(xué)時候融入建模思想，則可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加形象化、具體化，有助于學(xué)生對概念的進一步了解和認識。

比如，筆者在講授定積分概念的時候，便建立了兩個模型。

（1）求變速直線運動的路程；

（2）變力沿直線做功。

對于問題（1）的求解，其可以利用公式：路程=速度×?xí)r間進行求解，但是此時問題的關(guān)鍵便在于速度的可變性。于是，教師在進行教學(xué)的時候便可以考慮“化整為零”，將時間段進行小區(qū)間劃分，將其進行足夠小時的分割，讓每一個小區(qū)間段的速度接近一個常數(shù)，用這一小段的時間乘以速度。這樣可以將每個小段內(nèi)的路程相加得到路程的相似值。當(dāng)然，如果想要得到更加精準的數(shù)值，則需要將時間進行更加精細的分割，其劃分越細得到的數(shù)值越精確。通過計算我們可以得到路程的表達式為：

此表達式中v（t）是速度函數(shù)， fi是分割后的小段時間間隔，[ti-1，ti ]上任意選取一個時刻，△ti則是各個小段時間長， 是各個小段時間間隔中最大者。由此，可以得到問題（2）的表達式：

學(xué)生通過這兩個表達式可以對定積分的定義有所認識，也能夠通過自我總結(jié)了解到定積分的概念。

2.課外習(xí)題中對建模思想的應(yīng)用

簡單課堂中的教學(xué)難以讓學(xué)生真正認識到建模思想的重要性，教師還需要將課堂踐行延伸，讓學(xué)生能夠在進行習(xí)題練習(xí)的時候?qū)Ｋ枷脒M行靈活應(yīng)用，一方面讓學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)習(xí)的知識進行鞏固，另一方面還能夠讓學(xué)生感受到高數(shù)學(xué)習(xí)的樂趣，同時還能夠讓學(xué)生感受到高數(shù)在解決實際問題方面的重要價值。

比如，教師在進行微積分教學(xué)的時候便可以運用“嫌疑犯確定”的習(xí)題讓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到提升。

某晚7：30分，發(fā)現(xiàn)一名被害者尸體，法醫(yī)于晚上8：20趕到案發(fā)現(xiàn)場，測得被害者體溫為32.6℃；1小時候后，該尸體被抬走，此時尸體溫度為31.4℃，室內(nèi)溫度在此過程中始終保持在21.1℃。經(jīng)排查，嫌疑最大者為李某，但是李某辯稱自己無罪，并提供了證人說“下午李某一直和其在一起，5：00時候接到一個電話才離開”。而李某到被害人處僅需要5分鐘時間，通過以上條件，請判斷李某是不是殺人犯？

此題目能夠最大化的激發(fā)學(xué)生好奇心，能夠讓學(xué)生將所學(xué)習(xí)的知識與問題結(jié)合在一起。通過牛頓冷卻定律，我們可以知道，系統(tǒng)與環(huán)境的溫差不大的情況下，系統(tǒng)溫度變化率與系統(tǒng)溫度和環(huán)境溫度之差成正比，其數(shù)學(xué)表達式為：

其中T為系統(tǒng)溫度，T0為環(huán)境溫度，t為客觀時間，k為散熱系數(shù)。我們將尸體看成一系統(tǒng)，環(huán)境為死者的家，那么尸體的溫度變化就會服從牛頓冷卻定律。晚上8：20則成為t=0時刻，通過實測數(shù)據(jù)可以得出：

T（0）=32.6℃，T（1）=31.4℃

如果死者死亡時候的體溫正常，那么T（t0）=37℃，確定死者的死亡時間t0，即求T（t）=37℃的解。如果李某在t0時間范圍內(nèi)沒有與證人在一起，那么李某的嫌疑則不能夠被排除。

高數(shù)的計算題轉(zhuǎn)變成為一道有趣的懸疑題，可以讓學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣高漲，可以讓學(xué)生溫習(xí)所學(xué)習(xí)的知識，可以讓學(xué)生們認識到建模思想的作用。

結(jié)語：

建模思想的應(yīng)用讓學(xué)生們的學(xué)習(xí)思維予以拓展，讓學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣得到提升，有助于學(xué)生們對高數(shù)的靈活應(yīng)用。教師要對建模思想進行深入研究和探索，為培養(yǎng)新世紀的人才做好鋪墊。

參考文獻：

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