試論類比推理在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用

宋顥

【摘要】類比推理是一種重要的科學(xué)研究方法，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，合理地應(yīng)用類比推理，不僅能顯著提高教學(xué)成效，而且能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新思維，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

【關(guān)鍵詞】類比推理 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）21-0031-02

一、引言

類比推理是在已知兩個(gè)或兩類對(duì)象部分屬性（如特征、屬性、關(guān)系等）相同的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出其他屬性也相同的思維方式。類比推理是一種重要的科學(xué)研究方法，是從特殊推向特殊的推理過程，科學(xué)家常根據(jù)類比推理得出重要結(jié)論，尋找和發(fā)現(xiàn)真理。類比推理可分為簡(jiǎn)單類比、復(fù)雜類比；概念性類比、過程性類比；性質(zhì)類比、關(guān)系類比等等。類比推理拓展了人們的思維空間，為人們的“自由創(chuàng)造”提供了廣闊的天地。

二、類比教學(xué)法的模式及教育價(jià)值

類比推理作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從特殊到一般，由此及彼的過程，其基本模式為：若A對(duì)象具有屬性a，b，c，d，且B對(duì)象具有屬性a，b，c，猜想：B對(duì)象具有屬性d。通過這種方法推理出的結(jié)果，可能不一定精準(zhǔn)、可靠，但是極具創(chuàng)造性，思維方法生動(dòng)活潑、富有創(chuàng)造性，能給人帶來深刻的啟迪。例如，數(shù)學(xué)家笛卡爾受到天文和地理經(jīng)緯度啟發(fā)，運(yùn)用類比推理的方法，建立了坐標(biāo)幾何學(xué)，奠定了微積分發(fā)展的基礎(chǔ)；一些高深數(shù)學(xué)理論也是通過類比推理獲得的，例如，平面幾何、線性代數(shù)之間的分析類比，從平面幾何向量的長(zhǎng)度可類比推理出線性代數(shù)n維向量的模。

在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用類比推理進(jìn)行教學(xué)，具有積極的實(shí)踐價(jià)值：第一，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生提出新的問題、新的可能性，并運(yùn)用既有的知識(shí)，去從新的角度發(fā)現(xiàn)另一事物的某一方面的特點(diǎn)，從而幫助學(xué)生做到溫故而知新，提高發(fā)現(xiàn)問題的能力。第二，通過類比推理教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究問題本質(zhì)，學(xué)會(huì)多維度分析問題。高等數(shù)學(xué)涉及到很多抽象、艱澀的概念和公式，學(xué)生難以較好地理解和記憶，借助類比推理，可以讓抽象的概念變得更加條理，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯分析能力和數(shù)學(xué)思維有很大助益。第三，通過類比推理教學(xué)，能夠?qū)⒅R(shí)點(diǎn)的形成過程和邏輯關(guān)系，清楚、條理地表現(xiàn)出來，有利于學(xué)生領(lǐng)悟其中的本質(zhì)聯(lián)系，利用已學(xué)知識(shí)創(chuàng)新解決問題。

三、類比推理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.《高等數(shù)學(xué)》類比法教學(xué)程序的建構(gòu)

一元函數(shù)微積分與多元函數(shù)微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，教師可根據(jù)一元函數(shù)與多元函數(shù)的共性特點(diǎn)，即都是對(duì)一個(gè)變量與另外（一個(gè)或多個(gè)）變量之間關(guān)系的描述，通過類比推理，從一元函數(shù)推理出多元函數(shù)也可能具有相同或相似的結(jié)論，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。其教學(xué)程序見圖1所示。

2.高等數(shù)學(xué)中類比推理教學(xué)實(shí)例及應(yīng)用策略

（1）概念類比推理

數(shù)學(xué)概念是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的抽象與概括，學(xué)生只有正確地理解數(shù)學(xué)概念，才能從根本上理解和掌握概念的本質(zhì)屬性，為下一步數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。教師可從具體事例或相近概念出發(fā)，應(yīng)用類比思想導(dǎo)入教學(xué)，將會(huì)收到事半功倍的教學(xué)效果。例如：

（2）性質(zhì)類比推理

高等數(shù)學(xué)中不少概念都有相似的性質(zhì)，教師可以應(yīng)用類比推理，引導(dǎo)學(xué)生找出不同概念性質(zhì)之間的聯(lián)系和特點(diǎn)，然后，有針對(duì)性地進(jìn)行區(qū)分和記憶。例如，一元函數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最值定理和介值定理，利用類比思想，可得多元函數(shù)在閉區(qū)域上有類似的最值定理和介值定理性質(zhì)。再如，常數(shù)k乘以一個(gè)函數(shù)有一系列相似的性質(zhì)，極限，可類比推理出導(dǎo)數(shù)，繼續(xù)推理，可得微分，層層推理下，可相繼得到不定積分、定積分、二重積分；等等。

另外，在高等數(shù)學(xué)常微分方程中，部分方程的通解也具有相似的性質(zhì)，例如，根據(jù)結(jié)論：一階線性非齊次微分方程的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解加該非齊次微分方程的任一特解，利用類比推理，可以推導(dǎo)出如下相似結(jié)論：二階線性非齊次微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解加上該非齊次微分方程的任一特解；線性非齊次方程組的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解加上該非齊次方程組的任一特解；非齊次的矩陣微分方程的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解加上該非齊次方程的任一特解，等等。

（3）公式類比推理

高等數(shù)學(xué)中的公式比較多，但若運(yùn)用類比推理，則能很容易地掌握其內(nèi)在聯(lián)系。例如，對(duì)于牛頓-萊布尼茨公式、格林公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師可利用類比推理的方式，幫助學(xué)生進(jìn)行區(qū)分和記憶。牛頓-萊布尼茨公式，

建立了一元函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的定積分與其原函數(shù)在區(qū)間邊界值的聯(lián)系，借助類比推理，可得格林公式，格林公式可視為牛頓-萊布尼茨公式的二維推廣。

四、結(jié)語

綜上所述，教學(xué)實(shí)踐表明，類比推理在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有良好的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)踐效果，不僅能增強(qiáng)教學(xué)效果，而且能有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和運(yùn)用既有知識(shí)解決問題的能力。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)努力為學(xué)生創(chuàng)造應(yīng)用類比推理的“最佳思維環(huán)境”，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，使學(xué)生敢于創(chuàng)新猜想，大膽類比推理，細(xì)心檢驗(yàn)和嚴(yán)格論證，從而不斷提升數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張友梅.類比思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].開封教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，04：123-125

[2]徐亦霞.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中類比教學(xué)法的實(shí)踐與思考[J].科技視界，2016，13：222