分類討論思想方法解決含參一元二次不等式問題

栗曉倩

摘要：新課標中明確提出要求學生掌握求解一元二次不等式的基本方法，通過對不等式的研究，將不等式、方程與函數(shù)有機地結合起來。含參一元二次不等式問題需要對參數(shù)的值進行分類討論，在解題過程中考察學生的邏輯性、綜合性、探索性，思維條理性和概括性。

關鍵詞：含參；一元二次不等式；分類討論思想

中圖分類號：G634.6文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）12-0036-01

數(shù)學中的分類討論思想方法，是指有些問題的結論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，或者些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，雖然需要討論，但就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，所以在解題過程中并不復雜，只需條理清晰。即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學思想，稱之為分類討論思想。

不等式是高考的一個重要考點，其中解一元二次不等式是重點考查的內(nèi)容，在近幾年的高考試題中，導數(shù)一直是作為必考的重點內(nèi)容出現(xiàn)的，而在利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值以及求有關參數(shù)取值范圍的問題中，往往基本點都是關于一元二次不等式的基本解法，借助于解一元二次不等式（求一元二次方程的根、畫一元二次方程的圖象、解一元二次不等式來解一些含有參數(shù)的不等式。）來判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而研究函數(shù)的其他性質(zhì)。而其中含參一元二次不等式更是高考導數(shù)內(nèi)容的難點，由于參數(shù)的不確定性和任意性加大了不等式求解的難度，對參數(shù)的值需要分類討論，最后綜合各類結果總結。其中一元二次不等式參數(shù)位置主要在二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項。首先若二次項系數(shù)為0則方程退化為一元一次不等式，若二次項系數(shù)不為0，則參數(shù)正負決定開口方向；一次項系數(shù)和常數(shù)項決定了Δ正負即圖像與x軸交點個數(shù)和交點坐標。下面給出五道例題分別針對參數(shù)的不同位置對參數(shù)進行討論：例1參數(shù)是二次項系數(shù)，需考慮退化為一次函數(shù)的情況；例2參數(shù)是一次項系數(shù)需討論Δ的三種情況；例3方程可因式分解需討論兩根的大小；例4首先對二次項系數(shù)進行分類討論，然后對方程根的個數(shù)進行分類討論，當Δ>0時又對方程的根的大小進行分類討論；例5是不等式組，求解時需要注意對x的范圍取交集。

（作者單位：哈爾濱師范大學）

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