淺析函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用

閔云霞

【摘要】函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本思想.其中，函數(shù)思想是用變化的觀點(diǎn)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)、利用函數(shù)的性質(zhì)解題；方程思想是將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為方程模型來(lái)解題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；方程思想；函數(shù)與方程思想

近年來(lái)我國(guó)許多考綱已明確提出不僅要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力，還要考查學(xué)生思想方法的運(yùn)用能力.其中函數(shù)與方程的思想是眾多考試考查的最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一.學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程的知識(shí)是不夠的，應(yīng)通過(guò)解題和對(duì)解題過(guò)程的反思來(lái)領(lǐng)悟函數(shù)與方程的思想.

一個(gè)函數(shù)若有解析表達(dá)式，那么這個(gè)表達(dá)式就可看成是一個(gè)方程.一個(gè)二元方程，兩個(gè)變量存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，那么這個(gè)方程可以看成是一個(gè)函數(shù)，一個(gè)一元方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)，方程的解即為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，許多有關(guān)方程的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題可以用方程的方法解決.

一、在集合方面的運(yùn)用

函數(shù)思想本身也是集合對(duì)應(yīng)的思想，它用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化、解決問(wèn)題.因此函數(shù)和方程思想在解集合相關(guān)題目時(shí)具有一定的指導(dǎo)作用，下面舉例說(shuō)明.

例150名學(xué)生報(bào)名參加A、B兩項(xiàng)課外興趣小組，報(bào)名參加A組的人數(shù)是全體學(xué)生數(shù)的五分之三，報(bào)名參加B組的人數(shù)比報(bào)名參加A組的人數(shù)多3人，兩組都沒(méi)有報(bào)名的人數(shù)是同時(shí)報(bào)名參加兩組的人數(shù)的三分之一多1人，求同時(shí)報(bào)名參加A、B兩組的人數(shù)和兩組都沒(méi)有報(bào)名的人數(shù).

可以看出此題是道應(yīng)用題，若尋求集合與集合交集借助符合題意的文氏圖，再利用方程思想就可很容易解決.因此可設(shè)A∩B的元素為x個(gè)，則（30-x）+x+（33-x）+13x+1=50，解出x=21，從而得到答案.

如果問(wèn)題中變量間的關(guān)系可以用解析式表示出來(lái)，則可把關(guān)系式看作一個(gè)方程，通過(guò)對(duì)方程的分析使問(wèn)題獲解.特別的，當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí)，是構(gòu)造一元二次方程的明顯信號(hào)，如遇到b+c=1-a，bc=a2-a，可知道b、c是關(guān)于x的一元二次方程x2-（1-a）x+a2-a=0的兩根.

二、在不等式方面的運(yùn)用

函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0 時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f（x）>0，借助于函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以解決不等式的有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開(kāi)解不等式.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

我們注意到8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1且題中出現(xiàn)x3+5x，啟示我們可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3+5x去解決問(wèn)題.因此可把不等式化為2x+13+52x+1>x3+5x，然后令f（x）=x3+5x，則不等式化為f2x+1>f（x），這樣利用函數(shù)單調(diào)性就很容易解決問(wèn)題.

例3求最大的常數(shù)c，使得對(duì)滿足0

分離參數(shù)法.我們觀察到此題中含有兩個(gè)變量c及t，其中t的范圍已知，另一變量c的范圍即為所求.故可考慮將c及t分離，把原不等式化為：c≤1-3t2t=-3t+1t，0

三、在數(shù)列方面的運(yùn)用

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或其子集，數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和就是以自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要.在運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題的同時(shí)，也是對(duì)數(shù)列概念的本質(zhì)理解.

例4已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-10n+9，這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)起，各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大？從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正？數(shù)列中是否存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)？

易見(jiàn)，數(shù)列{an}的點(diǎn)都在函數(shù)y=x2-10x+9的圖像上，如右圖通過(guò)圖像根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，這個(gè)數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始，各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大，從第9項(xiàng)起，各項(xiàng)的數(shù)值均為正數(shù)，第9項(xiàng)是與首項(xiàng)相同的項(xiàng).

函數(shù)與方程屬于代數(shù)領(lǐng)域，但實(shí)際上它們貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)、其他學(xué)科及現(xiàn)實(shí)生活中都有著廣泛的應(yīng)用.由以上解題過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)，只要我們勤于動(dòng)腦，善于動(dòng)腦，樹(shù)立起運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題的意識(shí)，就一定會(huì)在解題中有新的發(fā)現(xiàn)，新的創(chuàng)新，從而將數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)活，使我們的數(shù)學(xué)解題能力不斷提高.